初三数学九上圆所有知识点总结和常考题型练习题.doc
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圆知识点
一、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
(补充)2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点;
2、直线与圆相切有一个交点;
3、直线与圆相交有两个交点;
四、垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在⊙中,∵∥
∴弧弧
五、圆心角定理
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:
①;②;
③;④弧弧
六、圆周角定理
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:
∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:
在⊙中,∵、都是所对的圆周角
∴
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:
在⊙中,∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:
在△中,∵
∴△是直角三角形或
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
七、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在⊙中,
∵四边形是内接四边形
∴
八、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
∵且过半径外端
∴是⊙的切线
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
九、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∵、是的两条切线
∴
平分
十、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:
;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
十一、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:
(1)弧长公式:
;
(2)扇形面积公式:
:
圆心角:
扇形多对应的圆的半径:
扇形弧长:
扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图(选学)
=
(2)圆锥侧面展开图(选学)
(1)=
十二、圆与圆的位置关系(选学)
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
圆练习
一.选择题
1.在⊙O中,弦AB A.OE>OFB.OE=OFC.OE 2.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,若AB=10cm,CD=8cm,则A、B两点到直线CD的距离之和为() A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm 3.下列命题正确的是( ) A.相等的圆心角所对的弧是等弧B.等圆周角对等弧 C.任何一个三角形只有一个外接圆D.过任意三点可以确定一个圆 4.如图,圆内接四边形ABCD中,AC、BD交于E点,且BC=DC,则图中共有相似三角形( ) A.2对B.4对C.6对D.8对 5.如图,弦AB∥CD,E为弧CD上一点,AE平分,则图中与相等(不包括)的角共有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个 6.两个扇形的面积相等,其圆心角分别为、,且,则两个扇形的弧长之比( )A.1: 2B.2: 1C.4: 1D.1: 7.一段铁路弯成圆弧形,圆弧的半径是2km,一列火车以每小时28km的速度行驶,经过10s通过弯道,那么弯道所对的圆心角的度数为( ) A.4.4°B.44°C.2.2°D.22° 8.在半径为4的圆中,垂直平分半径的弦长为( ) A.B.2C.3D.4 9.如图4,AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设∠APB=y(单位: 度),那么y与点P运动的时间x(单位: 秒)的关系图是( ) 二、填空题 1.若三角形的三条边长分别为5,12,13,则这个三角形外接圆的半径为___________. 2.一条弦把圆分成2: 3两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为______________. 3.如图,A、B、C是⊙O上顺次三点,若,则=_______________. 4.如图△ABC是圆内接三角形,AB是直径,BC=4cm,∠A=30°,则AC=______________. 5.如图,=100°,则圆周角=__________. 6.已知扇形周长为14cm,面积为12cm2,则扇形的半径为_____________cm. 7.如图,以正方形ABCD的边AD、BC、CD为直径画半圆,阴影部分的面积记为m,空白部分的面积记为n,则m与n的关系为_____________. 8.若⊙O是△ABC的外接圆,OD⊥BC于D,且,则=___________. 9.如图,正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连结DQ.给出如下结论: ①DQ=1;②;③S△PDQ=;④cos∠ADQ=.其中正确结论是_________.(填写序号) 三、解答题 1.如图27-13,某排水管模截面,已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m,当水面上升0.2m时水面宽多少? 2.已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链,那么,这条锁链拉直后的长度为多少? 3.如图,一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上,皮带长为14,在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少? 4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD B A C D E G O F 交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F. (1)求证: BC与⊙O相切; (2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数. 5.如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C. C P D O B A E (1)求弦AB的长; (2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由; (3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长. 6.如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点. (1)判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由; (2)求线段CD长的最小值; (3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为 .
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