初中数学：二次函数商品利润最大问题专练.docx

初中数学：二次函数商品利润最大问题专练.docx

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【例一】最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。

某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。

经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：

w=-2x+80。

设这种产品每天的销售利润为y（元）。

（1）求y与x之间的函数关系式；解：

y=（x-20）w

=（x-20）（-2x+80）

=-2x²+120x-1600，

∴y与x的函数关系式为：

y=-2x²+120x-1600；

（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

解：

y=-2x²+120x-1600

=-2（x-30）²+200，

∴当x=30时，y有最大值200，

∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

解：

当y=150时，可得方程：

-2（x-30）2+200=150，

解这个方程，得

x1=25，x2=35，（8分）

根据题意，x2=35不合题意，应舍去，

∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．

【例二】与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。

经调查分析，该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间满足函数关系式，已知3月份、4月份的利润分别是9万元、16万元。

（1）该厂每月获得的利润y（万元）和月份x之间的函数关系式；解：

把点（3，9），（4，16）代入函数关系式：

解得：

a=14；b=-24 ∴y=-x²+14x-24

（2）该厂在第几个月份获得最大利润？

最大利润为多少？

解：

当时，y最大=25∴7月份获得最大利润，最大利润是25万元．

（3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？

通过计算说明。

解：

当y=0时，有方程：

x2-14x+24=0

解得：

x1=2，x2=12．

所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数，因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份．

【例三】某旅馆有30个房间供旅客住宿。

据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。

该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。

当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？

解：

设每天的房价为60+5x元，

则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．

∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．

∴y=（30-x）•5•（8+x）

=5（240+22x-x²）

=-5（x-11）²+1805．

因此，当x=11时，y取得最大值1805元，

即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。

【例四】某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。

（1）商家一次购买这种产品多少，销售单价恰好为2600元？

解：

设件数为x，依题意，得3000-10（x-10）=2600，解得x=50，

答：

商家一次购买这种产品50件，销售单价恰好为2600元；

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；解：

当0≤x≤10时，y=（3000-2400）x=600x，

当10＜x≤50时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即y=-10x²+700x

当x＞50时，y=（2600-2400）x=200x∴函数关系式为：

y=600x（0≤x≤10）且x为整数y═-10x²+700x（10＜x≤50）且x为整数（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。

为使商家一次购买的数量越来越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？

（其他销售条件不变）解：

由y=-10x²+700x可知抛物线开口向下，当x=35时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000-10（x-10）=2750元，

答：

公司应将最低销售单价调整为2750元．

【例五】在长株潭建设两型社会的过程中。

为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。

已知生产这种产品的成本价为每件20元。

经过市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：

。

（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？

解：

∵25＜28＜30，y=40-x（25≤x≤30） 25-0.5x（30＜x≤35）∴把x=28代入y=40-x得，∴y=12（万件），

答：

当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；

（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（件）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？

若盈利,最大利润是多少？

若亏损，最少亏损是多少？

解：

①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，

故当x=30时，W最大为-25，即公司最少亏损25万；

②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-1/2x²+35x-625=-1/2（x-35）²-12.5故当x=35时，W最大为-12.5，即公司最少亏损12.5万；

对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；

答：

投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：

一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。

若出去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的单位。

解：

①当 25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x²+61x-862.5≥67.5，-x2+61x-862.5≥67.5，

化简得：

x2-61x+930≤0 解得：

30≤x≤31，

当两年的总盈利不低于67.5万元时，x=30；

②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10=-1/2 x²+35.5x-547.5≥67.5化简得：

x2-71x+1230≤0解得：

30≤x≤41，

当两年的总盈利不低于67.5万元时，30≤x≤35，

答：

到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．