数学中的黄金分割.docx
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数学中的黄金分割
美学价值:
因为它在造型艺术中具有美学价值,在工艺美术和日用品的长宽设计中,采用这一比值能够引起人们的美感,在实际生活中的应用也非常广泛,建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割,舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央,而是偏在台上一侧,以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方,如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中,选取方案常用一种0.618法,即优选法,它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用,所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割(GoldenSection)是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14一样。
。
并且人们认为如果符合这一比例的话,就会显得更美、更好看、更协调。
在生活中,对“黄金分割”有着很多的应用。
最完美的人体:
肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618
最漂亮的脸庞:
眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618
在企业经营管理中,从经验来看,资产负债率(即负债总额除资产总额)应以黄金分割点为临界点,如果高于这个点就可能面临较大经营风险(当然象银行这类企业可以例外),目前正在进行科学论证中。
举例与应用
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始,它的前面几个数是:
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…。
.这个数列的名字叫做"菲波那契数列",这些数被称为"菲波那契数"。
特点是即除前两个数(数值为1)之外,每个数都是它前面两个数之和。
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢?
经研究发现,相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n-1)-→1.618…。
由于菲波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的,我们的国旗上就有五颗,还有不少国家的国旗也用五角星,这是为什么?
因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形,都是黄金分割三角形。
由于五角星的顶角是36度,这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度。
编辑本段生活实例
植物叶子
,千姿百态,生机盎然,给大自然带来了美丽的绿色世界。
尽管叶子形状随种而异,但它在茎上的排列顺序(称为叶序),却是极有规律的。
你从植物茎的顶端向下看,经细心观察,发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。
如果每层叶子只画一片来代表,第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°,以后二到三层,三到四层,四到五层……两叶之间都成这个角度数。
植物学家经过计算表明:
这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。
叶子的排布,多么精巧!
今人惊讶的是,人体自身也和0.618密切相关。
对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现,人的肚脐位于身长的0.618处。
科学家们还发现,当外界环境温度为人体温度的0.618倍时,人会感到最舒服。
古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618,成了举世闻名的完美建筑。
建筑师们发现,按这样的比例来设计殿堂,殿堂更加雄伟、壮丽;去设计别墅,别墅将更加舒适、美丽。
连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。
高雅的艺术殿堂里,自然也留下了黄金数的足迹。
画家们发现,按0.618∶1来设计腿长与身高的比例,画出的人体身材最优美,而现今的女性,腰身以下的长度平均只占身高的0.58,因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿,使之与身高的比值为0.618,从而创造艺术美。
难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋,而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时,不时地踮起脚尖。
音乐家发现,二胡演奏中,“千金”分弦的比符合0.618∶1时,奏出来的音调最和谐、最悦耳。
只要留心,到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹。
运用于科学实验和工农业生产的优选法中的0.618法,还能给我们带来巨大的经济效益呢!
黄金数0.618,真是一件造福人类的绚丽瑰宝!
希腊古城雅典有一座用大理石砌成的神庙,神庙大殿中央的女神像是用象牙和黄金雕成的。
女神的体态轻柔优美,引人入胜。
经专家研究发现,她的身体从脚跟到肚脐间的距离与整个身高的比值,恰好是0.618。
不仅雅典娜女神身材如此美好,其他许多希腊女神的身体比例也是如此。
人们所熟悉的米洛斯“维纳斯”,太阳神阿波罗的形象,海姑娘――阿曼等一些名垂千古的雕像,都可以找到0.618的比值。
1483年左右,达芬奇画的一副未完成的油画,包围着圣杰罗姆躯体的黑线,就是一个黄金分割的矩形,当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。
“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一副油画,它的画杠结构比例也正是0.618的比值。
英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中,工绘有96幅美人图。
每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。
如果仔细量一下她们的比例也都和雅典娜相似。
建筑:
早在公元前五世纪,希腊建筑家就知道0.618的比值是协调,平衡的结构。
文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异。
但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。
古时候的一些神庙,在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立,他们认为这样的长方形看来是较美观。
黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上,人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台,便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。
据研究,从猿到人的进化过程中,骨骼方面以头骨和腿骨变化最大,躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小,人体结构中有许多比例关系接近0.618,从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。
人类最熟悉自己,势必将人体美作为最高的审美标准,由物及人,由人及物,推而广之,凡是与人体相似的物体就喜欢它,就觉得美。
于是黄金分割律作为一种重要形式美法则,成为世代相传的审美经典规律,至今不衰!
近年来,在研究黄金分割与人体关系时,发现了人体结构中有14个“黄金点”,12个“黄金矩形”和2个“黄金指数”黄金点:
(1)肚脐:
头顶-足底之分割点;
(2)咽喉:
头顶-肚脐之分割点;(3)、(4)膝关节:
肚脐-足底之分割点;(5)、(6)肘关节:
肩关节-中指尖之分割点;(7)、(8)乳头:
躯干乳头纵轴上这分割点;(9)眉间点:
发际-颏底间距上1/3与中下2/3之分割点;(10)鼻下点:
发际-颏底间距下1/3与上中2/3之分割点;(11)唇珠点:
鼻底-颏底间距上1/3与中下2/3之分割点;(12)颏唇沟正路点:
鼻底-颏底间距下1/3与上中2/3之分割点;(13)左口角点:
口裂水平线左1/3与右2/3之分割点;(14)右口角点:
口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
面部黄金分割律面部三庭五眼黄金矩形:
(1)躯体轮廓:
肩宽与臀宽的平均数为宽,肩峰至臀底的高度为长;
(2)面部轮廓:
眼水平线的面宽为宽,发际至颏底间距为长;(3)鼻部轮廓:
鼻翼为宽,鼻根至鼻底间距为长;(4)唇部轮廓:
静止状态时上下唇峰间距为宽,口角间距为长;(5)、(6)手部轮廓:
手的横径为宽,五指并拢时取平均数为长;(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙(左右各三个)轮廓:
最大的近远中径为宽,齿龈径为长。
(二)比例关系是用数字来表示人体美,并根据一定的基准进行比较。
用同一人体的某一部位作为基准,来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法(见中图)。
分为三组:
系数法,常指头高身长指数,如画人体有坐五、立七,即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍;百分数法,将身长视为100%,身体各部位在其中的比例;两分法:
即把人体分成大小两部分,大的部分从脚到脐,小的部分为脐到头顶。
标准的面型,其长宽比例协调,符合三停五眼(见右图)。
三停是指脸型的长度,从头部发际到下颏的距离分为三等分,即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分,各称一停共三停;五眼是指脸型的宽度,双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度,除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度,其是五眼长度称五眼。
(三)角度关系从不同的角度观察,所反映的人体形态也各不相同。
Belt和Campen等人提出的侧角学说,就是通过角度来体现人体形体美的。
其中Campen的学说是以鼻下点与耳孔点的直线连线为基准,来测量侧面观察时额头的倾斜角度的方法,这样可以把复杂的立体感的头部,用简单的轮廓线进行描述-被称为侧面定性分析方法。
用连接鼻尖点和颏下点的直线来观察唇的突出度,评价面下部的美丑。
鼻尖、下唇红前缘、颏下点在同一条直线上,称为Ricketts美学平面,是一种美的标志。
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摄影·黄金分割法
一幅优秀的摄影作品,不仅要有深刻的主题思想和内容,同时还应具备与内容相一致的优美形式和协调的构图。
初学摄影,在取景时了解和掌握黄金分割法。
对于提高作品美学价值很有帮助。
黄金分割法,就是把一条直线段分成两部分,其中一部分对全部的比等于其余一部分对这一部分的比,常用2:
3,3:
5,5:
8等近似值的比例关系迸引美术设计和摄影构图,这种比例也称黄金律。
在摄影构图中,常使用的概略方法,就是在画面上横、竖各画两条与边平行、等分的直线,将画面分成9个相等的方块,称九宫图。
直线和横线相交的4个点,称黄金分割点。
根据经验,将主体景物安排在黄金分割点附近,能更好地发挥主体景物在图面上的组织作用,有利于周围景物的协调和联系,容易引起美感,产生较好的视觉效果,使主体景物更加鲜明、突出。
另外,人们看图片和书刊有个习惯,就是由左向右移动,视线经过运动,往往视点落于右侧,所以在构图时把主要景物、醒目的形象安置在右边,更能收到良好的效果。
初学摄影取景,可选选用“黄金分割法”的练习构图,经过多次实践,有了自己的经验和体会以后,就可根据实际情况自己进行创作了。
如果都千篇一律,生搬硬套这一种形式,也不可取,时间久了反而会束缚自己的创作思想,使拍出的照片四平八稳,缺乏变化,贫乏无味,就谈不上有什么艺术
性。
用黄金分割法确定主体的位置,并没有完成构图的整个过程,还应注意安排必要的空间,考虑主体与陪体之间的呼应,充分表达主题的思想内容。
同时,还要考虑影调,光线处理,色彩的表现等等。
为了提高基本功,还有很重要的一点,就是要认真学习美学知识,加强美学修养,并通过拍摄实践,不断总结,积累经验,多拍出一些有较高艺术水平的照片来。
原理1
图A
如图A:
“黄金分割”公式可以从一个正方形来推导,将正方形底边分成二等分,取中点X,以X为圆心,线段XY为半径作圆,其与底边直线的交点为Z点,这样将正方形延伸为一个比率为5︰8的矩形,(Y’点即为“黄金分割点”),A︰C=B︰A=5︰8。
幸运的是,35MM胶片幅面的比率正好非常接近这种5︰8的比率(24︰36=5︰7.5)
原理2
图B
如图B:
通过上述推导我们得到了一个被认为很完美的矩形,连接该矩形左上角和右下角作对角线,然后从右上角向Y’点(黄金分割点,见图A)作一线段交于对角线,这样就把矩形分成了三个不同的部分。
现在,在理论上已经完成了黄金分割,下一步就可以将你所要拍摄的拔锎笾掳凑照馊?
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蛉グ才牛?
部梢越?
疽馔挤?
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80度或旋转90度来进行对照。
图B·实景范例
三分法则
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- 数学 中的 黄金分割