第二讲-扩散系数与浓度的关系2011.doc
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第二讲扩散系数与浓度的关系—俣野方法
一、问题引出
前面在处理扩散问题时都是假定D为常数,通过解析法求解扩散方程。
但实际上,扩散系数D是与浓度C(从而也与空间坐标)相关的。
菲克第二定律式(7-11):
(7-11)
式中的D不能从括号中提出,因此不能用普通的解析法求解。
俣野(Matano)从实验得出的浓度分布曲线C(x)出发,解决了计算不同浓度下的扩散系数D(C)的方法,一般称这种方法为俣野法。
二、数学处理
设式(7-11)的定解条件为:
初始条件:
t=0时,(7-92)
边界条件:
时,(7-93)
采用Boltzmann变换,
(7-94)
使偏微分方程式(7-11)变为常微分方程。
(7-95)
(7-96)
式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得
(7-97)
对式(7-97)中的dC从C1到C积分
(7-98)
注意到浓度分布曲线上的任一点表示同一时刻C-x的关系,因此t为常数,可把与t相关的因子提到积分号前边,则式(7-98)变为
即(7-99)
注意边界条件式(7-93)为
(7-100)
所以(7-101)
式(7-101)即扩散系数D与浓度C之间的关系式。
式中是C-x曲线上浓度为C处斜率的倒数;为从C1到C的积分。
¨下面再分析一下式(7-101)。
由于扩散系数D与浓度C有关,在扩散过程中浓度分布曲线往往不会保持式(7-47)、(7-48)所示的中心对称关系。
可以进行坐标变换,使
图7-25根据浓度分布曲线求不同浓
度下的扩散系数
(7-102)
因为,所以由式(7-101)可知式(7-102)所定的条件是必要的。
¨从几何上看,这样变换坐标的目的,是要使的平面把图7-25中画有影线的面积划分为面积相等的两部分A和B,所决定的平面就是俣野面。
很明显,只有当扩散体系的体积不变时,俣野面才与原始焊接面重合。
经式(7-102)坐标变换后式(7-101)变为
(7-103)
¨俣野法根据式(7-103)求浓度C=Cm时的扩散系数D(C)值的方法如下:
①试样经t时间扩散后,根据实验结果画出浓度分布曲线;
②用作图法找出俣野面,即使图7-25中的面积A=B;
③求积分值,因为,所以,即图7-25中的面积B-(A-A1)=A1,为C-x曲线在浓度C处的斜率的倒数。
时间已知,则式(7-103)右边各项均可求得,即可求出该浓度下的扩散系数D(C)。
经过一次退火,可以获得该温度下对应于不同浓度的一系列扩散系数D(C)。
俣野面的重要物理意义是,物质流经此平面进行扩散,扩散流入的量与扩散流出的量正好相等。
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