内蒙古赤峰市中考数学试卷(解析版).doc
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2015年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑,每小题3分,共24分)
1.(2015•赤峰)﹣2的相反数是( )
A. 2 B. C. D. |﹣2|
考点:
相反数.
分析:
一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
解答:
解:
﹣2的相反数是2,
故选A
点评:
本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
2.(2015•赤峰)为了加速内蒙古经济建设,国家计划投资204.4亿元修建赤峰市至喀左的“高铁”,204.4亿用科学记数法表示正确的是( )
A. 0.2044×1011 B. 20.44×109 C. 2.044×108 D. 2.044×1010
考点:
科学记数法—表示较大的数.
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:
204.4亿=20440000000=2.044×1010,
故选D.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.(2015•赤峰)下面四个“艺术字”中,轴对称图形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考点:
轴对称图形.
分析:
根据轴对称图形的定义即可得出结论.
解答:
解:
由轴对称图形的性质可知,四个字中的轴对称图形有:
美、赤.
故选B.
点评:
本题考查的是轴对称图形,熟知轴对称图形的定义是解答此题的关键.
4.(2015•赤峰)如图,直线AB∥CD,一个含60°角的直角三角板EFG(∠E=60°)的直角顶点F在直线AB上,斜边EG与AB相交于点H,CD与FG相交于点M.若∠AHG=50°,则∠FMD等于( )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 50°
考点:
平行线的性质.
分析:
先根据平行线的性质求出∠CKG的度数,再由三角形外角的性质得出∠KMG的度数,根据对顶角相等即可得出结论.
解答:
解:
∵直线AB∥CD,∠AHG=50°,
∴∠AKG=∠XKG=50°.
∵∠CKG是△KMG的外角,
∴∠KMG=∠CKG﹣∠G=50°﹣30°=20°.
∵∠KMG与∠FMD是对顶角,
∴∠FMD=∠KMG=20°.
故选B.
点评:
本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:
两直线平行,同位角相等.
5.(2015•赤峰)解不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
考点:
在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.
分析:
分别求得不等式组中的两个不等式的解集,然后取其交集,并表示在数轴上.
解答:
解:
解不等式
(1),得
x≤﹣1.
解不等式
(2),得
x>﹣3,
则原不等式组的解集为:
﹣3<x≤﹣1.
表示在数轴上为:
.
故选:
C.
点评:
本题考查了解不等式组,在数轴上表示不等式的解集.把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
6.(2015•赤峰)为了了解某校学生的课外阅读情况,随机抽查了10学生周阅读用时数,结果如下表:
周阅读用时数(小时) 4 5 8 12
学生人数(人) 3 4 2 1
则关于这10名学生周阅读所用时间,下列说法正确的是( )
A. 中位数是6.5 B. 众数是12 C. 平均数是3.9 D. 方差是6
考点:
方差;加权平均数;中位数;众数.
分析:
A:
根据中位数的求法,把这10名学生周阅读所用时间从大到小排列,则中间两个数的平均数即是这10名学生周阅读所用时间的中位数.
B:
根据众数的求法,这10名学生周阅读所用时间中出现次数最多的,即为这10名学生周阅读所用时间的众数.
C:
根据算术平均数的求法,求出这10名学生周阅读所用时间的平均数是多少即可.
D:
根据方差的计算方法,求出这10名学生周阅读所用时间的方差是多少即可.
解答:
解:
这10名学生周阅读所用时间从大到小排列,可得
4、4、4、5、5、5、5、8、8、12,
∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是:
(5+5)÷2=10÷2=5,
∴选项A不正确;
∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时,
∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5,
∴选项B不正确;
∵(4×3+5×4+8×2+12)÷10
=60÷10
=6
∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6,
∴选项C不正确;
∵[(4﹣6)2+(4﹣6)2+(4﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(5﹣6)2+(8﹣6)2+(8﹣6)2+(12﹣6)2]
=[4+4+4+1+1+1+1+4+4+36]
=60
=6
∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6,
∴选项D正确.
故选:
D.
点评:
(1)此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.
(2)此题还考查了方差的含义和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
(3)此题还考查了中位数、众数的含义和求法,要熟练掌握.
7.(2015•赤峰)如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是( )
A. B. C. D.
考点:
简单组合体的三视图.
专题:
计算题.
分析:
从几何体上方观察,得到俯视图即可.
解答:
解:
如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体,其俯视图是.
故选D
点评:
此题考查了简单组合体的三视图,俯视图即为从上方观察几何体得到的试图.
8.(2015•赤峰)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
A. B. C. D.
考点:
二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.
分析:
根据二次函数图象与系数的关系确定a>0,b<0,c<0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案.
解答:
解:
由抛物线可知,a>0,b<0,c<0,
∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,
反比例函数y=的图象在第二、四象限,
故选:
B.
点评:
本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系,掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键.
二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共24分)
9.(2015•赤峰)因式分解:
3a2﹣6a= 3a(a﹣2) .
考点:
因式分解-提公因式法.
分析:
直接提取公因式3a,进而分解因式即可.
解答:
解:
3a2﹣6a=3a(a﹣2).
故答案为:
3a(a﹣2).
点评:
此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确得出公因式是解题关键.
10.(2015•赤峰)若关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别为2和b,则ab= 4 .
考点:
根与系数的关系.
分析:
根据根与系数的关系得到,通过解该方程组可以求得a、b的值.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣(a+5)x+8a=0的两个实数根分别是2、b,
∴由韦达定理,得,
解得,.
∴ab=1×4=4.
故答案是:
4.
点评:
本题考查了根与系数的关系.x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=,反过来也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.
11.(2015•赤峰)在分别写有﹣1,0,1,2的四张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1的概率为 .
考点:
概率公式.
分析:
让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率,即可选出.
解答:
解:
因为﹣1,0,1,2的四张卡片中随机抽取一张,所抽取的数字平方后等于1有2张,
所以所抽取的数字平方后等于1的概率为,
故答案为:
点评:
本题考查随机事件概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
12.(2015•赤峰)如图,M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点,分别以AE、BF为折痕,使点D、点C落在MN的点G处,则△ABG是 等边 三角形.
考点:
翻折变换(折叠问题);等边三角形的判定;正方形的性质.
分析:
由折叠的性质可知AG=AD,BG=BC,然后根据正方形的性质可知:
AD=AB=BC,从而可知:
AG=AB=BC.
解答:
解:
由折叠的性质可知AG=AD,BG=BC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC.
∴AG=AB=BC.
∴△ABG是等边三角形.
故答案为:
等边.
点评:
本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质,由折叠的性质证得:
AG=AD,BG=BC是解题的关键.
13.(2015•赤峰)如图,AB是⊙O的直径,OB=3,BC是⊙O的弦,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接OD,若∠BAC=20°,则的长等于 π .
考点:
弧长的计算;圆周角定理.
分析:
根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°,再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC,然后根据角平分线的定义求出∠ABD,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD,然后根据弧长公式列式计算即可得解.
解答:
解:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=20°,
∴∠ABC=90°﹣20°=70°,
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,
∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°,
∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°,
∴的长==π.
故答案为:
π.
点评:
本题考查了弧长的计算,圆周角定理,直角三角形两锐角互余的性质,比较简单,熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键.
14.(2015•赤峰)如图,平行四边形ABCD中,AB=AC=4,AB⊥AC,O是对角线的交点,若⊙O过A、C两点,则图中阴影部分的面积之和为 4 .
考点:
扇形面积的计算;平行四边形的性质.
分析:
先根据∠AOB=∠COD可知S阴影=S△AOB,再由平行四边形的性质得出OA=AC,由三角形的面积公式即可得出结论.
解答:
解:
∵∠AOB=∠COD,
∴S阴影=S△AOB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=×4=2.
∵AB⊥AC,
∴S阴影=S△AOB=OA•AB=×2×4=4.
故答案为:
4.
点评:
本题考查的是扇形面积的计算,熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键.
15.(2015•赤峰)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是DC上一点,连接BE并延长交AD延长线于点F,请你只添加一个条件:
BD∥FC 使得四边形BDFC为平行四边形.
考点:
平行四边形的判定.
分析:
利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形,进而得出答案.
解答:
解:
∵AD∥BC,当BD∥FC时,
∴四边形BDFC为平行四边形.
故答案为:
BD∥FC.
点评:
此题主要考查了平行四边形的判定,正确把握判定方法是解题关键.
16.(2015•赤峰)“梅花朵朵迎春来”,下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案,按图中规律,第n个图形中小梅花的个数是 (2n﹣1)(n+1) .
考点:
规律型:
图形的变化类.
分析:
第一个图形是由2个图形组成,第二个图形是由9个图形组成,第三个是由20个图形组成,找到规律则第n个的表达式能写出来.
解答:
解:
第一个图案是由2个组成:
即为:
2=1×2;
第二个图案是由9个组成:
即为:
9=3×3;
第3个图案是由5×4=20个组成:
即为:
20=5×4;
第4个图案是由35个组成:
即为:
35=7×5;
以此类推:
第n个图案的个数:
(2n﹣1)(n+1).
故答案为:
(2n﹣1)(n+1).
点评:
本题考查图形的变化规律,观察得出“每一行和每一列的个数的关系”是解题的关键.
三、解答题(在答题卡上解答,在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共10题,满分102分)
17.(6分)(2015•赤峰)计算:
|﹣|﹣(﹣π)0﹣sin30°+(﹣)﹣2.
考点:
实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
分析:
先分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数的值,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
解答:
解:
原式=﹣1﹣+4
=3.
点评:
本题考查的是实数的运算,熟知绝对值的性质、0指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键.
18.(6分)(2015•赤峰)解二元一次方程组:
.
考点:
解二元一次方程组.
专题:
计算题.
分析:
方程组利用加减消元法求出解即可.
解答:
解:
,
①×2+②得:
7x=14,即x=2,
把x=2代入①得:
y=﹣3,
则方程组的解为.
点评:
此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:
代入消元法与加减消元法.
19.(10分)(2015•赤峰)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标为A(﹣3,4),B(﹣4,2),C(﹣2,1),且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称.
(1)画出△A1B1C1,并写出A1的坐标;
(2)P(a,b)是△ABC的AC边上一点,△ABC经平移后点P的对称点P′(a+3,b+1),请画出平移后的△A2B2C2.
考点:
作图-旋转变换;作图-平移变换.
分析:
(1)首先作出A、B、C的对应点,然后顺次连接即可求得;
(2)把△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度,向上平移1个单位长度即可得到对应点,然后顺次连接即可.
解答:
解:
(1)如图所示:
A1的坐标是(3,﹣4);
(2)△A2B2C2是所求的三角形.
点评:
本题考查了图形的对称和图形的平移,理解P(a,b)的对称点P′(a+3,b+1),即把已知的点向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度即可得到对应点是关键.
20.(10分)(2015•赤峰)如图,在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC,李明同学为了测量信号塔的高度,在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°,然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处,又测得信号塔顶端C的仰角为60°,CD⊥AB与点E,E、B、A在一条直线上.请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度(结果保留整数,≈1.7,≈1.4)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析:
利用30°的正切值即可求得AE长,进而可求得CE长.CE减去DE长即为信号塔CD的高度.
解答:
解:
根据题意得:
AB=18,DE=18,∠A=30°,∠EBC=60°,
在Rt△ADE中,AE===18
∴BE=AE﹣AB=18﹣18,
在Rt△BCE中,CE=BE•tan60°=(18﹣18)=54﹣18,
∴CD=CE﹣DE=54﹣18﹣18≈5米.
点评:
本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形;难点是充分找到并运用题中相等的线段.
21.(10分)(2015•赤峰)中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注,为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的,分为四种类型:
A接听电话;B收发短信;C查阅资料;D游戏聊天.并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 200 名学生;
(2)将图1、图2补充完整;
(3)现有4名学生,其中A类两名,B类两名,从中任选2名学生,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法).
考点:
列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.
专题:
计算题;数形结合.
分析:
(1)用A类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数;
(2)分别计算出B、D两类人数和C、D两类所占百分比,然后补全统计图;
(3)先画树状图展示所有有12种等可能的结果数,再找出两名学生为同一类型的结果数,然后根据概率公式求解.
解答:
解:
(1)100÷50%=200,
所以调查的总人数为200名;
故答案为200;
(2)B类人数=200×25%=50(名);D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10(名);
C类所占百分比=×100%=20%,D类所占百分比=×100%=5%,
如图:
(3)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中两名学生为同一类型的结果数为4,
所以这两名学生为同一类型的概率==.
点评:
本题考查了列表法或树状图法:
通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.也考查了扇形统计图和条形统计图.
22.(10分)(2015•赤峰)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:
PB是的切线.
(2)若PB=6,DB=8,求⊙O的半径.
考点:
切线的判定与性质.
专题:
计算题.
分析:
(1)由已知角相等,及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似,利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角,即可得证;
(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB,由PD﹣PC求出CD的长,在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8﹣r,利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解得到r的值,即为圆的半径.
解答:
(1)证明:
∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,
∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB为圆的半径,
∴PB为圆O的切线;
(2)解:
在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,
根据勾股定理得:
PD==10,
∵PD与PB都为圆的切线,
∴PC=PB=6,
∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4,
在Rt△CDO中,设OC=r,则有DO=8﹣r,
根据勾股定理得:
(8﹣r)2=r2+42,
解得:
r=3,
则圆的半径为3.
点评:
此题考查了切线的判定与性质,勾股定理,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
23.(12分)(2015•赤峰)如图,直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,过点C作CD⊥x轴,点P是x轴下方直线CD上的一点,且△OCP与△OBC相似,求过点P的双曲线解析式.
考点:
相似三角形的判定与性质;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式.
分析:
由直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,易得OC=2,OB=4,再分两种情况①当∠OBC=∠COP时,△OCP与△OBC相似,②当∠OBC=∠CPO时,△OCP与△OBC相似分别求出点的坐标,再求出过点P的双曲线解析式.
解答:
解:
∵直线y=﹣2x+4与坐标轴分别交于C、B两点,
∴令y=0,可得﹣2x+4=0,解得x=2,即C(2,0),OC=2,
令x=0,可得y=4,即B(0,4),OB=4,
①如图1,当∠OBC=∠COP时,△OCP与△OBC相似,
∴=,即=,解得CP=2,
∴P(2,﹣1),
设过点P的双曲线解析式y=,把P点代入得﹣1=,解得k=﹣2,
∴过点P的双曲线解析式y=,
②如图2,当∠OBC=∠CPO时,△OCP与△OBC相似,
在△OCP和△COB中,
∴△OCP≌△COB(AAS)
∴CP=BO=4,
∴P(2,﹣4)
设过点P的双曲线解析式y=,把P点代入得﹣4=,解得k=﹣8,
∴过点P的双曲线解析式y=,
点评:
本题主要考查了相似三角形的判定与性质,待定系数求反比例函数,解题的关键是分两种情况正确画出图形.
24.(12分)(2015•赤峰)李老师家距学校1900米,某天他步行去上班,走到路程的一半时发现忘带手机,此时离上班时间还有23分钟,于是他立刻步行回家取手机,随后骑电瓶车返回学校.已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟,且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟.
(1)求李老师步行的平均速度;
(2)请你判断李老师能否按时上班,并说明理由.
考点:
分式方程的应用.
分析:
(1)设李老师步行的平均速度为xm/分钟,骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟,根据题意可得,骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟,据此列方程求解;
(2)计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间,然后和23进行比较即可.
解答:
解:
(1)设李老师步行的平均速度为xm/分钟,骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟,
由题意得,﹣=20,
解得:
x=76,
经检验,x=76是原分式方程的解,且符合题意,
则5x=76×5=380,
答:
李老师步行的平均速度为76m/分钟,骑电瓶车的平均速度为380m/分;
(2)由
(1)得,李老师走回家需要的时间为:
=12.5(分钟),
骑车走到学校的时间为:
=5,
则李老师走到学校所用的时间为:
12.5+5+4=21.5<23,
答:
李老师能按时上班.
点评:
本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.
25.(12分)(2015•赤峰)如图,四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,∠EDF=60°,当CE=AF时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF.
(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF时,如图2小芳的结论是否成立?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;
(2)再次旋转三角形纸片,当点E、F分别在CB、BA的延长线上时,如图3请直接写出DE与DF的数量关系;
(3)连EF,若△DEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式,并指出当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?
考点:
几何变换综合题.
分析:
(1)如答图1,连接BD.根据题干条件首先证明∠ADF
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- 内蒙古 赤峰市 中考 数学试卷 解析
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