直线与圆高考真题汇编.docx
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直线与圆高考真题汇编
一、单选题
1.已知圆,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.1B.2C.3D.4
2.点(0,﹣1)到直线距离的最大值为()
A.1 B. C. D.2
3.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为()
A. B. C. D.
4.设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离=
A.4 B. C.8 D.
5.圆的圆心到直线的距离为1,则
A. B. C. D.2
6.过三点,,的圆交y轴于M,N两点,则
A.2 B.8 C.4 D.10
7.已知⊙M:
,直线:
,为上的动点,过点作⊙M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为()
A. B. C. D.
二、多选题
8.已知点在圆上,点、,则()
A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于
C.当最小时,D.当最大时,
三、填空题
9.已知圆O:
和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________
10.直线与圆交于两点,则________.
11.设直线与圆C:
x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若,则圆C的面积为________
12.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为____
13.已知直线:
与圆交于,两点,过,分别作的垂线与轴交于,两点,若,则__________.
四、解答题
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
参考答案
1.B
【分析】
当直线和圆心与点的连线垂直时,所求的弦长最短,即可得出结论.
【详解】
圆化为,所以圆心坐标为,半径为,
设,当过点的直线和直线垂直时,圆心到过点的直线的距离最大,所求的弦长最短,此时
根据弦长公式得最小值为.
故选:
B.
【点睛】
本题考查圆的简单几何性质,以及几何法求弦长,属于基础题.
2.B
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点,设,当直线与垂直时,点到直线距离最大,即可求得结果.
【详解】
由可知直线过定点,设,
当直线与垂直时,点到直线距离最大,
即为.
故选:
B.
【点睛】
该题考查的是有关解析几何初步的问题,涉及到的知识点有直线过定点问题,利用几何性质是解题的关键,属于基础题.
3.B
【分析】
由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为,可得圆的半径为,写出圆的标准方程,利用点在圆上,求得实数的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】
由于圆上的点在第一象限,若圆心不在第一象限,
则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,
设圆心的坐标为,则圆的半径为,
圆的标准方程为.
由题意可得,
可得,解得或,
所以圆心的坐标为或,
圆心到直线的距离均为;
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为;
所以,圆心到直线的距离为.
故选:
B.
【点睛】
本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.
4.C
【详解】
试题分析:
依题意设两圆方程分别为,分别将代入得,所以,圆心距.
考点:
圆与圆的位置关系.
5.A
【详解】
试题分析:
由配方得,所以圆心为,因为圆的圆心到直线的距离为1,所以,解得,故选A.
【考点】圆的方程,点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况:
相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时,常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系,以此来确定参数的值或取值范围.
6.C
【详解】
由已知得,,所以,所以,即为直角三角形,其外接圆圆心为AC中点,半径为长为,所以外接圆方程为,令,得,所以,故选C.
考点:
圆的方程.
7.D
【分析】
由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点共圆,且,根据可知,当直线时,最小,求出以为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线的方程.
【详解】
圆的方程可化为,点到直线的距离为,所以直线与圆相离.
依圆的知识可知,四点四点共圆,且,所以,而,
当直线时,,,此时最小.
∴即,由解得,.
所以以为直径的圆的方程为,即,
两圆的方程相减可得:
,即为直线的方程.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学运算能力,属于中档题.
8.ACD
【分析】
计算出圆心到直线的距离,可得出点到直线的距离的取值范围,可判断AB选项的正误;分析可知,当最大或最小时,与圆相切,利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】
圆的圆心为,半径为,
直线的方程为,即,
圆心到直线的距离为,
所以,点到直线的距离的最小值为,最大值为,A选项正确,B选项错误;
如下图所示:
当最大或最小时,与圆相切,连接、,可知,
,,由勾股定理可得,CD选项正确.
故选:
ACD.
【点睛】
结论点睛:
若直线与半径为的圆相离,圆心到直线的距离为,则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
9.:
【解析】
试题分析:
由题意知,点A在圆上,切线斜率为,
用点斜式可直接求出切线方程为:
y-2=(x-1),
即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和,
所以,所求面积为
考点:
圆的切线方程
10.
【分析】
首先将圆的一般方程转化为标准方程,得到圆心坐标和圆的半径的大小,之后应用点到直线的距离求得弦心距,借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形,利用勾股定理求得弦长.
【详解】
根据题意,圆的方程可化为,
所以圆的圆心为,且半径是,
根据点到直线的距离公式可以求得,
结合圆中的特殊三角形,可知,故答案为.
【点睛】
该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题,在解题的过程中,熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形,借助于勾股定理求得结果.
11.
【详解】
因为圆心坐标与半径分别为,所以圆心到直线的距离,则,解之得,所以圆的面积,应填答案.
12.
【分析】
求出直线x-y-1=0的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出过点B的直径所在直线方程的斜率,求出此直线方程,根据直线方程设出圆心C坐标,根据|AC|=|BC|,利用两点间的距离公式列出方程,求出方程的解确定出C坐标,进而确定出半径,写出圆的方程即可.
【详解】
∵直线x−y−1=0的斜率为1,
∴过点B直径所在直线方程斜率为−1,
∵B(2,1),
∴此直线方程为y−1=−(x−2),即x+y−3=0,
设圆心C坐标为(a,3−a),
∵|AC|=|BC|,即,
解得:
a=3,
则圆C方程为.
【点睛】
本题主要考查待定系数法求圆的方程,以及直线与圆的位置关系,属于基础题.
13.4
【分析】
由题,根据垂径定理求得圆心到直线的距离,可得m的值,既而求得CD的长可得答案.
【详解】
因为,且圆的半径为,所以圆心到直线的距离为,则由,解得,代入直线的方程,得,所以直线的倾斜角为,由平面几何知识知在梯形中,.
故答案为4
【点睛】
解决直线与圆的综合问题时,一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题;另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.
14.(Ⅰ)(Ⅱ)或
【详解】
试题分析:
(1)设,圆的半径为,则,可得圆心的轨迹方程;
(2)设,则,又根据点到直线距离公式得,解出,进而可得圆的半径,求得圆的方程.
试题解析:
(1)设,圆的半径为,由题设,从而,故的轨迹方程为.
(2)设,由已知得,又点在双曲线上,从而得.由,得,此时,圆的半径,
由,得,此时,圆的半径,故圆的方程为或.
考点:
1.勾股定理及点到直线的距离公式;2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程.
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:
①直接法,设出动点的坐标,根据题意列出关于的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将代入.本题
(1)就是利用方法①求的轨迹方程的.
答案第7页,总8页
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