点集拓扑学教案.doc

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点集拓扑学教案

为聊城大学数学科学学院数学与应用数学专业三年级本科生开设《点集拓扑》课程。

按熊金城《点集拓扑讲义》（第三版,北京:

高等教育出版社,2003）第一至七章编写的教案。

本科生授课64学时，教学内容与进度安排如下：

章节

本科生授课主要内容

课时数

备注

拓扑学的起源

1

一

朴素集合论

2

1.1

集合、映射与关系

1

1.2

无限集

1

二

拓扑空间与连续映射

21

习题课时2

2.1

度量空间与连续映射

3

不讲附录

2.2

拓扑空间与连续映射

3

2.3

邻域与邻域系

2

不讲定理2.3.3

2.4

导集、闭集、闭包内部、边界

3

不讲例2.4.4,定理2.4.8

2.5

内部、边界

2

2.6

基与子基

2

部分证明定理2.6.3，临域基及相关内容在5.1中介绍

2.7

拓扑空间中的序列

2

三

子空间、有限积空间、商空间

6

习题课时1

3.1

子空间

2

3.2

积空间

2

3.3

商空间

1

例3.3.3起不讲

四

连通性

8

习题课时1

4.1

连通空间

2

4.2

连通性的某些简单应用

1

4.3

连通分支

1

4.4

局部连通空间

2

4.5

道路连通空间

1

道路连通分支不讲

五

有关可数性的公理

6

习题课时1

5.1

第一与第二可数性公理

2

5.2

可分空间

1.5

定理5.2.1不讲

5.3

Lindeloff空间

1.5

六

分离性公理

8

习题课时1.5

6.1

、Hausdorff空间

2

6.2

正则、正规、空间

1.5

例6.2.2讲部分

6.3

Urysohn引理和Tietze扩张定理

1

不讲定理6.3.1,6.3.4的证明

6.4

完全正则空间,Tychonoff空间

1

6.5

分离性公理与子空间、积空间和商空间

1

6.6

可度量化空间

1

定理6.6.1讲部分

七

紧致性

10

习题课时1

7.1

紧致性

3

定理7.1.6讲部分

7.2

紧致性与分离性公理

1

引理7.3.2用分析中的结论

7.3

n维欧氏空间中的紧致子集

0.5

7.4

几种紧致性以及其间的关系

1.5

7.5

度量空间中的紧致性

1

7.6

局部紧致空间,仿紧致空间

1

定理7.6.8不讲

第一章朴素集合论

点集拓扑学（Point-setTopology）现称一般拓扑学（GeneralTopology）,它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.

记号:

Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.

教学重点：

集合的基本概念、运算，映射的概念；教学难点：

选择公理

一.集合的运算

幂集P,交∩、并∪、差－（补,余）.

运算律:

DeMorgan律:

（1）.

（2）A-（B∩C）=（A-B）∪（A-C）

利用集合的包含关系证明

（1）.

类似可定义任意有限个集的交或并,如记

Ai.规定0个集之并是,不用0个集之交.

二.关系

R是集合的一个关系,即记为,称x与y是R相关的.

R称为自反的,若,xRx;

R称为对称的,若xRy,则yRx;

R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.

等价关系:

自反、对称、传递的关系.

如,Δ（X）={（x,x）|xX},恒同关系,它是等价关系;，小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.

设R是X上等价关系,",x的R等价类或等价类或[x]为,的元称为的代表元;商集.

定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则

（1）";

（2），或者[x]R=[y]R,或者

证

（2）.设,则,于是且,于是.

三.映射

函数：

.

像：

；

原像：

满射、单射、一一映射（双射）、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、扩张、内射

集合,笛卡儿积到第个坐标集的投射定义为,其中.

对等价关系集合到商集的自然投射定义为.

四.集族

数列,有标集族,指标集Γ,与不同,可记有标集族A;类似地,定义其并（或∪A）、交（或∩A）,不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如DeMorgan律

映射对应的集族性质:

五.无限集

通过一一映射来确定两集合的个数的多少.

有限集（或与某{1,2,…,n}有一一映射）,无限集,可数集（或存在到Z+的单射）,不可数集.

易验证:

有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.

定理1.7.3是可数集是Z+的映像.

由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.

定理1.7.8R是不可数集.

利用Cantor对角线法证明开区间（0,1）中的实数不可数.

直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为cardA,或|A|.|Z+|=,|R|=.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.

连续统假设:

不存在基数,使得À.

选择公理:

若A是由非空集构成的集族,则"A,可取定.

由选择公理可证明,若是基数,则下述三式中有且仅有一成立:

第二章拓扑空间与连续映射

本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:

拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.

教学重点：

拓扑空间与连续映射,邻域与邻域系；

教学难点：

基与子基；可度量化空间

2.1度量空间与连续映射

在R上,|x-y|表示点x与y之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.

定义2.1.1设X是一集合,r.如果r满足正定性、对称性和三角不等式,则称是的一个度量.称为度量空间,表示两点x,y之间的距离.

例2.1.1实数空间R.

r（x,y）=|x-y|,R的通常度量.

例2.1.2n维欧氏空间.

对于,记定义 为Rn的通常度量,n维欧氏空间.R2称为欧氏平面或平面.

例2.1.3Hilbert空间H.

易证为度量则度量空间称为Hilbert空间.

例2.1.4离散度量空间.

度量空间称为离散的,若,使得不存在中的点,满足r如对集合,按如下方式定义是上的离散度量:

定义2.1.2设是度量空间称为以x为心,为半径的球形邻域或邻域,或球形邻域.对（R,|.|）,.

定理2.1.1度量空间的球形邻域具有性质:

（1）"

（2）"；

（3）若使；

证

（2）；

（3）

定义2.1.3的子集称为的开集,若".每一球形邻域是开集.

例2.1.5R中的开区间是开集.

"让则同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.

定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:

（1）是开集;

（2）两开集的交是开集;（3）任意开集族之并是开集.

证

（1）由定理2.1.1

（1）;

（2）,（3）由定理2.1.1

（2）.

定义2.1.4设是度量空间,称为的邻域,若$有开集,使.

定理2.1.3是中点的邻域Û$存在ε>0,使B（x,ε）U.

定义2.1.5设是两度量空间.,Î,称在连续,若"的球形邻域

存在的球形邻域B（x0,δ）,使

称在连续,若在的每一点连续.

定理2.1.4设是两度量空间.,,那么

（1）在连续Û若是的邻域,则是的邻域;

（2）在连续Û若是的开集,则是的开集.

证

（1）利用定义2.1.5,2.1.4.

（2）“Þ”f-1（U）是每一点的邻域.“Ü”证每一点连续,利用

（1）.

由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.

2.2拓扑空间与连续映射

定义2.2.1设是集合X的子集族,若满足:

称是X的一个拓扑是拓扑空间,的元称为的开集.

空间X的拓扑是X的全体开集的族.

定义2.2.2度量空间.由X的所有开集构成的族.（X,）称为由度量诱导出的拓扑空间.简称为度量拓扑.

度量空间一定是拓扑空间.

例2.2.1平庸拓扑平庸空间.

例2.2.2离散拓扑.离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.

例2.2.4有限补拓扑.

验证是X上的拓扑.

（1）显然.

（2）"，讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是,二是A,B都不是 ；（3）,不妨设利用DeMorgan律.有限补空间.

例2.2.5可数补拓扑

定义2.2.3可度量化空间.

离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在6.6中给出该问题的一个经典的解.

定义2.2.4是两拓扑空间.称连续,若Y中每一开集U的原象f-1（U）是X中的开集.

定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.

定义2.2.5称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及均连续.

定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.

定理2.2.2（2.2.3）恒同映射同胚（X与X同胚）;f同胚同胚（若X与Y同胚,则Y与X同胚）;同胚的复合是同胚（若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚）.

空间的同胚关系是等价关系.

拓扑学的中心任务:

研究拓扑不变性质.

抽象化过程:

欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.

2.3邻域

定义2.3.1设是拓扑空间.称为x的邻域,如果存在使;若U是开的,U称为x的开邻域.

定理2.3.1设是X的开集U是它的每一点的邻域.

证由定义得“”;利用开集之并为开得“”.

x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为Ux.

定理2.3.2Ux的性质:

（1）XUx;"UUx,xU;

（2）U,VUxÞU∩VUx;

（3）UUx且UVVUx;

（4）UUx$VUx使VU且",VUy.

证由定义2.3.1得

（1）;由开集的交是开集得

（2）;由定义2.3.1得（3）;取为满足的开集.

由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系（定理2.3.1）导出开集,从Ux具有定理2.3.2的性质的

（1）-（4）出发,定义Ux,则是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是Ux.详见定理2.3.3.

定义2.3.2（点连续）映射称为在点xX连续,如果U是f（x）在Y中的邻域,则f-1（U）是x在X中的邻域.

定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证（定理2.3.4）,恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.

定理2.3.5设则f连续f在每一xX连续.

证“”若U是f（x）的邻域,$开集V使,xÎ

“”若U是Y的开集,",U是f（x）的邻域,f-1（U）是x的邻域,所以f-1（U）在X中开.

2.4导集、闭集、闭包

定义2.4.1设称为A的聚点（凝聚点,极限点）,如果x的每一邻域U中有A中异于x的点,即U∩（A-{x}）.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d（A）.x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩（A-{x}）=,即U∩A{x}.

例2.4.1X是离散空间.若,则.

"取U={x},则U∩A{x},所以.

例2.4.2X是平庸空间,若A=Æ,则;若|A|=1,则d（A）=X-A;若|A|>1,则.

对于,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩（A-{x}）¹由此,易计算d（A）.

定理2.4.1,则

（1）;

（2）;

（3）;

（4）

证由定义2.4.1得

（1）和

（2）.

关于（3）.由

（2）得.设,分别存在的邻域使得,令,则.

 关于（4）.设,存在的邻域,使得取的开邻域,则.

定义2.4.2称为X的闭集,如果.

定理2.4.2A闭开.

证“”"¢,由于,存在x的邻域U使,于是¢.“”"所以’

例2.4.3R的闭区间是闭集.

开集.不是闭集,因为是聚点.

定理2.4.3记F是空间的全部闭集族,则

（1）F;

（2）FF;

（3）F对任意交封闭.

证利用DeMorgan定律及拓扑的定义.F直接验证可得

（1）、

（2）、（3）

Cantor集（例2.4.4）是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.

定义2.4.3A∪d（A）称为A的闭包,记为.

定理2.4.5对,有

（1）Æ;

（2）-;

（3）-;

（4）-.

证（3）.

（4）-.

上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上阿记此运算为,定义,则是拓扑空间,且这空间中每一-,详见定理2.4.8.

关于闭包的几个相关结果:

（1）对的任一邻域有.（定义2.4.3后）

（2）；

（3）闭-.（定理2.4.4）

（4）是闭集.（定理2.4.6）

（5）-是包含的所有闭集之交,是包含的最小闭集.（定理2.4.7:

设F是包含的所有闭集之交,则,所以-.）

定义2.4.5是度量空间.对非空的定义.定理2.4.9对度量空间的非空子集

（1）;

（2）.

Û证明：

定理2.4.10设,则下述等价

（1）连续;

（2）若闭于,则闭于;

（3）

证明；是的闭集，是的开集，是X的开集,f-1（B）是X的闭集.

设是的开集，是的闭集且是闭，是开

2.5内部、边界

定义2.5.1若是的邻域,则称是的内点.的所有内点的集合称为的内部,记为.

定理2.5.1对

-¢证明：

由于于是从而

反之的邻域，因此，.从而.

定理2.5.3对,有

（1）;

；

.

证明：

（1），

（2）是显然的.

而

关于内部的几个结果：

（1）是的邻域；

（2）是开集；

（3）是开集；

（4）是所包含的所有开集之并，是含于内的最大开集.

证明：

是开集

（3）A开闭

（4）设是含于内的所有开集之并，所以

定义2.5.2称为的边界点,若的每一邻域,既含有中的点又有中的点.的边界点之集称为边界,记为.

定理2.5.6对，有

证明：

（3）

2.6基与子基

度量空间球形邻域开集拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.

定义2.6.1设是空间的拓扑,B,如果中每一元是B中某子集族之并,称B是的基.

所有单点集的族是离散空间的基.

定理2.6.2设B,B为的基及的邻域Ux,$使.

证“”$存在开集Wx使得,$B1BÌ使得B1,$B1ÎÌB1使;

“Ü”设,B使,从而B且

在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基（定理2.6.1）.所有开区间的族是的基.

定理2.6.3拓扑空间的基B满足:

（i）B;（ii）B",B,.

反之,若集合X的子集族B满足

（1）、

（2）,定义,则是的以B作为基的唯一拓扑.

证验证是的拓扑.

（1）Æ.

（2）先设B,,$B使,于是.如果,设B1,B2,则B1,B2}..（3）设$BAB,使得BA,那么BA|.

较强于（ii）且易于验证的条件是（ii）"B,B.

例2.6.1实数下限拓扑空间.

令B,则B为上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为Rl.开区间是Rl中的开集,因为.

定义2.6.2设是拓扑空间,S.若S的元之所有有限交构成的族是的基,则称S是的子基.

S的元之有限交构成的族S,.显然,空间的基是子基.

例2.6.2S是的子基.

对照定理2.6.3,集合的子集族S要作为子基生成上的拓扑的充要条件是∪S.（定理2.6.4）

映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.

定理2.6.5设是两拓扑空间,,下述等价:

（1）连续;

（2）基B,使得B中每一元的原像在中开;

（3）有子基S,使得S中每一元的原像在中开.

证（3）

（2）设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足

（2）.

（2）

（1）设在中开,则B1,于是B1在中开.

类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.

2.7拓扑空间中的序列

可以与中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3..

定义2.7.2中序列极限,收敛序列.

平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.（定理2.7.1）

定理2.7.2中序列

证的邻域所以.

定理2.7.3在x0连续且

证设是的邻域,则是的邻域,$,当时有,从而.

上述两定理的逆命题均不成立.

例2.7.1设是不可数集赋予可数补拓扑,则

（1）在中,当时有;

（2）若是的不可数子集,则.

证

（1）的必要性，令，则是的邻域，时有，即

证的邻域（可数集），所以

定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定,让,则,但中没有序列收敛于.

定理2.7.3的逆命题不真.取是实数集赋予可数补拓扑,让是恒等映射,若在中,则在中,但在不连续,因为x在R的开邻域的原像在中不是开的.

定理2.7.4设{xi}是度量空间中的序列,则.

证的邻域,当i>n时有当i>n时有当时有.

第三章子空间、积空间、商空间

介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.

教学重点：

子空间与积空间；教学难点：

子空间、（有限）积空间和商空间

3.1子空间

对于空间的子集族A及,A在上的限制A|YA.（定义3.1.2）

引理3.1.2设是空间的子集,则是上的拓扑.

证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设,使得,于是

定义3.1.3对称为的子空间,称为相对拓扑.

“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.

易验证,若是的子空间,且是的子空间,则是的子空间.（定理3.1.4）,

定理3.1.5（3.1.7）设是的子空间,,则

（1）若分别为的拓扑,则;

（2）若F,F*分别为的全体闭集族,则F*=F|Y;

（3）若Uy,Uy*分别为在中的邻域系,则Uy*=U;

（4）若B是的基,则B|Y是的基.

证

（2）F*

.

（4）"开于,$存在的开集,使得,$B1B,满足B1,则（B1|Y）.

在的子空间中是闭集.

定理3.1.6设是的子空间,,则

证

（1）在中的邻域,所以.反之,设,"在中的邻域在中的邻域使,于是,所以.

（2）.

3.2有限积空间

就平面的球形邻域而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间,在笛卡儿积集中可考虑形如的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间,可考虑形如的集合.

定理3.2.2设是n个拓扑空间,则有唯一的拓扑,以X的子集族B为它的一个基.

证验证B满足定理2.6.3的条件（i）,（ii）.

（1）B,∪B=X;

（2）若B,则B.

定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成上的唯一拓扑,称为拓扑的积拓扑.称为的（有限）积空间.

定理3.2.4设是积空间,Bi是的基,则BBi,是积拓扑的基.

证利用定理2.6.2.设使Bi使,那么.

例3.2.1形如的集合构成的基.

设是两个度量空间.令,则是上的度量,导出上的度量拓扑.对于个度量空间之积可类似地定义.（定