圆锥曲线——仿射变换.docx
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圆锥曲线——仿射变换.docx
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仿射变换
一、将坐标进行伸缩变换,实现化椭为圆
仿射变换定理一:
若经过椭圆的对称中心的直线构成的直径三角形,则两条弦的斜率乘积.
仿射变换定理二:
(拉伸短轴);(压缩长轴).
拉伸短轴后点的坐标变化:
,横坐标不变,纵坐标拉伸倍.
斜率的变化:
如图纵坐标拉伸了倍,故,由于.
,(水平宽不变,铅垂高缩小).
压缩长轴后点的坐标变化:
,纵坐标不变,横坐标缩小倍.
斜率的变化:
如图横坐标缩小了倍,故,由于.
,(水平宽扩大,铅垂高不变).
例1(2013·新课标)椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是()
A.;B.;C.;D..
例2(2016·北京)已知椭圆过点两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:
四边形的面积为定值.
例3(2014·新课标Ⅰ)已知点,椭圆离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
二、椭圆的角平分线定理
仿射变换定理三:
若点是椭圆上的点,与椭圆长轴交点为,在长轴上一定存在一个点,当且仅当时,,即长轴为角平分线.
若点是椭圆上的点,与椭圆短轴交点为,在短轴上一定存在一个点,当且仅当时,,即短轴为角平分线.
例4(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:
.
三、放射变换后圆心角为直角问题
仿射变换定理四:
若以椭圆的对称中心引出两条直线交椭圆于两点,且,则经过仿射变换后,所以为定值.
仿射变换定理五:
若椭圆上三点,满足①;②;③,三者等价.
例5(2011·山东)已知直线与椭圆交于两不同点,且的面积,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?
若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.
例6(2016·浙江二模)已知椭圆经过点,其离心率为,设是椭圆上的三点,且满足,其中为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明:
的面积是一个常数.
四、中点弦与中垂线问题(无需点差法也可证明)
仿射变换定理六:
中点弦问题,;中垂线问题,,且.
拓展1:
椭圆内接中,若原点为重心,则仿射后一定得到为的等腰三角形;为等边三角形.
拓展2:
椭圆内接的平行四边形,在椭圆上,则仿射后一定得到菱形.
例7(2015·新课标Ⅱ)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.
(1)证明:
直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(2)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?
若能,求此时的斜率;若不能,请说明理由.
例8(2015·浙江)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称.
(1)求实数的取值范围;
(2)求面积的最大值(为坐标原点).
五、利用仿射变换解决椭圆与圆结合的面积问题
若椭圆内含有圆与直线相切,如图直线与圆相切于,交椭圆于点,求的最大值.
首先进行仿射变换:
,令,拉伸后可知,,故当最大时,,关键在于看的取值范围;
根据几何性质,平行于轴时,最小,平行于轴时,最大.
例9(2018·武汉模拟)已知椭圆的右焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点,且以为直径的圆经过原点,求证:
点到直线的距离为定值;
(3)在
(2)的条件下,求面积的最大值.
例10(2018·江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,焦点,圆的直径为.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)设直线与圆相切于第一象限内的点.
①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点的坐标;
②直线与椭圆交于两点,若的面积为,求直线的方程.
六、定比分点和弦长公式
仿射变换定理七:
定比分点的比值不变性原理,.
仿射变换定理八:
弦长公式的转化,纵向拉伸并不改变横向的性质,设,则,即.
例11(2011·重庆)如图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程是.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:
是否存在定点,使得与点到直线的距离之比为定值;若存在,求点的坐标,若不存在,说明理由.
例12(2016·四川)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程及点的坐标;
(2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点,且与直线交于点.
求证:
存在常数,使得,并求的值.
例13(2016·重庆模拟)椭圆,作直线交椭圆于两点,为线段的中点,为坐标原点,设直线的斜率为,直线的斜率为,.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与轴交于点,且满足,当的面积最大时,求椭圆的方程.
达标训练
1(2018·三明期末)设椭圆的离心率为,且内切于圆.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于两点,椭圆上一点,求面积的最大值.
2(2018·龙海期末)已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,是坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求直线的方程.
3.如图,已知是长轴为4的椭圆上的三点,点是长轴的右顶点,过椭圆中心,且,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过关于轴对称的点作椭圆的切线,则与有什么位置关系?
证明你的结论.
4(2016·佛山二模)已知点是圆上一动点,点是在轴上的投影,为线段上一点,且与点关于原点对称,满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点做的切线与圆相交于两点,当面积取最大值时,求的方程.
5(2018·株洲期末)椭圆上的两点关于直线对称,则弦的中点坐标为()
A.;B.;C.;D..
6(2016·兰州模拟)已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直于长轴的直线交椭圆于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过定点且斜率为的直线与椭圆相交于不同两点,试判断:
在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形?
若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
7(2018·抚顺模拟)已知离心率为的椭圆,右焦点在椭圆上的点的距离的最大值为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆上的两个动点,直线与椭圆的另一个交点分别为,且直线的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?
请说明理由.
8(2017·淮北一模)已知椭圆,直线与圆相切且与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为,求的值;
(2)过原点作的平行线交椭圆于两点,设,求的最小值.
9(2012·山东)如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形的面积为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆有两个不同的交点,与矩形有两个不同的交点,求的最大值及取得最大值时的值.
10(2019·成都模拟)已知椭圆的离心率为,且以坐标原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若一条不过原点的直线与椭圆相交于两点,设直线的斜率分别为,且恰好构成等比数列,求的值.
11.如图,已知椭圆的中心在原点,左焦点为,左顶点为,且为的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的方程为,椭圆的方程为,则称椭圆是椭圆的倍相似椭圆,已知是椭圆的3倍相似椭圆,若椭圆的任意一条切线交椭圆于两点,试求弦长的最大值.
12(2016·宁波二模)已知为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,的面积为1,,当点在椭圆上运动时,试问是否为定值,若是定值,求出这个定值;若不是定值,求出的取值范围.
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- 圆锥曲线 变换