秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》讲义及答案.docx
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秋人教版八年级数学上册第12章《全等三角形证明过程训练》讲义及答案
人教版八年级数学上册第12章
全等三角形证明过程训练(讲义、随堂测试、习题)
Ø课前预习
1.判定三角形全等的方法有______,______,______,______.
要证三角形全等需要找_____组条件,其中必须有_____.
2.在做几何题时,我们往往借助对图形的标注来梳理信息,进而把条件直观化,请学习下图中的标注.
①如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
②如图2,在四边形ABCD中,连接BD,∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,∠A=∠C.
③如图3,在四边形ABCD中,连接AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=DO.
图1图2图3
3.数学推理中,有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养,请走通思路后,完整书写过程.
如图是一个易拉罐的纵截面示意图,易拉罐的上下底面互相平行(AB∥CD),用吸管吸饮料时,若∠1=110°,求∠2的度数.
Ø知识点睛
1.直角三角形全等的判定定理:
_________________________.
2.已知:
如图,在△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.
求证:
△ABC≌△A′B′C′.
证明:
如图,
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
Ø精讲精练
1.如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图中,则___________≌___________,从而BC________BD.
2.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AE=AF,则_____≌______,从而DE=______.
3.已知:
如图,AB=CD,AF=CE,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F.
求证:
△ABF≌△CDE.
4.已知:
如图,∠B=∠D=90°,如果要使△ABC≌△ADC,那么还需要一个条件,
这个条件可以是_________________,理由是____________;这个条件也可以是_______________,理由是____________;这个条件也可以是_______________,理由是____________;这个条件还可以是_______________,理由是____________.
第4题图第5题图
5.如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别是1和2,则EF的长为_________.
6.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E.求证:
△ACD≌△AED.
7.已知:
如图,点B,E,C,F在同一直线上,AC∥DF且AC=DF,BE=CF.求证:
△ABC≌△DEF.
8.
如图,在正方形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AB=BC,E,F分别是AB,AD上的点,已知CE⊥BF,垂足为M.
求证:
BE=AF.
9.
已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,连接CD,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证:
CF=AE.
10.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,D,E,F分别为边BC,AB,AC上的点,且BE=CD,∠EDF=60°.求证:
ED=DF.
【参考答案】
Ø课前预习
1.SAS,SSS,ASA,AAS
3,边
2.略
3.解:
如图
∵AB∥CD
∴∠1=∠3
∵∠1=110°
∴∠3=110°
∵∠2+∠3=180°
∴∠2=180°-∠3
=180°-110°
=70°
Ø知识点睛
1.SAS,SSS,ASA,AAS,HL
Ø精讲精练
1.Rt△CAB,Rt△DAB,=
2.Rt△AED,Rt△AFD,DF
3.证明:
如图,
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠DEC=∠BFA=90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
4.AB=AD,HL
BC=DC,HL
∠BAC=∠DAC,AAS
∠BCA=∠DCA,AAS
5.3
6.证明:
如图,
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°
∵∠C=90°
∴∠C=∠DEA
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠EAD
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED(AAS)
7.证明:
如图,
∵AC∥DF
∴∠1=∠2
∵BE=CF
∴BE+EC=CF+EC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS)
8.证明:
如图,
∵∠ABC=90°
∴∠ABF+∠MBC=90°
∵AE⊥BF
∴∠CMB=90°
∴∠MBC+∠BCE=90°
∴∠ABF=∠BCE
在△ABF和△BCE中
∴△ABF≌△BCE(ASA)
∴AF=BE(全等三角形对应边相等)
9.证明:
如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AE⊥CD,BF⊥CD
∴∠F=∠AEC=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△BCF和△CAE中
∴△BCF≌△CAE(AAS)
∴CF=AE(全等三角形对应边相等)
10.
证明:
如图,
∵∠B=60°
∴∠1+∠2=120°
∵∠EDF=60°
∴∠2+∠3=120°
∴∠1=∠3
在△BDE和△CFD中
∴△BDE≌△CFD(ASA)
∴ED=DF(全等三角形对应边相等)
全等三角形证明过程训练(随堂测试)
1.已知:
如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,且BE=AC,如果要使△BDE≌△ADC,那么还需要一个条件,这个条件可以是____________________,理由是_________;
这个条件也可以是__________________,理由是_________;
这个条件也可以是__________________,理由是_________;
这个条件还可以是__________________,理由是_________.
2.已知:
如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过点C作
CF⊥AD于点F,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.
求证:
CF=BE.
证明:
如图,
过程规划:
1.准备不能直接用的条件:
_________=__________;
_________=__________.
2.证明________≌________.
3.根据全等性质得,
_________=__________.
【参考答案】
1.DE=DC,HL
BD=AD,HL
过程规划:
1.准备不能直接用的条件:
∠CFD=∠BED;
CD=BD.
2.证明:
△CFD≌△BED.
3.根据全等性质得,
CF=BE.
∠EBD=∠CAD,AAS
∠BED=∠C,AAS
2.
证明:
如图,
∵CF⊥AD,BE⊥AD
∴∠CFD=∠BED=90°
∵D为BC边的中点
∴CD=BD
在△CFD和△BED中
∴△CFD≌△BED(AAS)
∴CF=BE(全等三角形对应边相等)
全等三角形证明过程训练(习题)
Ø
例题示范
例1:
已知:
如图,在正方形ABCD中,AB=CB,∠ABC=90°.E为正方形内一点,BE⊥BF,BE=BF,EF交BC于点G.
求证:
AE=CF.
【思路分析】
1读题标注:
2梳理思路:
要证AE=CF,可以把它们放在两个三角形中证全等.观察发现,放在△ABE和△CBF中进行证明.
要证全等,需要三组条件,其中必须有一组边相等.
由已知得,AB=CB;BE=BF;
根据条件∠ABC=90°,BE⊥BF,推理可得∠1=∠2.
过程规划:
1.准备不能直接用的条件:
∠1=∠2
2.证明△ABE≌△CBF
3.根据全等性质得,AE=CF
因此由SAS可证两三角形全等.
【过程书写】(在演草部分先进行规划,然后书写过程)
证明:
如图
∵BE⊥BF
∴∠EBF=90°
∴∠2+∠EBC=90°
∵∠ABC=90°
∴∠1+∠EBC=90°
∴∠1=∠2
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF(全等三角形对应边相等)
Ø巩固练习
11.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为点D,E,且PD=PE,将上述条件标注在图中,易得___________≌___________,从而AD=__________.
第1题图第2题图
12.已知:
如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,如果要使
△ABD≌△CDB,那么还需要添加一组条件,
这个条件可以是_______________,理由是_____________;这个条件也可以是_____________,理由是_____________;这个条件也可以是_____________,理由是_____________;这个条件还可以是_____________,理由是_____________.
13.已知:
如图,C为BD上一点,AC⊥CE,AC=CE,∠ABC=∠CDE=90°.若AB=4,DE=2,则BD的长为______.
14.已知:
如图,点A,E,F,B在同一条直线上,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,BC=AD,AE=BF.
求证:
△CEB≌△DFA.
15.如图,点C,F在BE上,∠1=∠2,BF=EC,∠A=∠D.
求证:
△ABC≌△DEF.
过程规划:
过程规划:
16.
已知:
如图,点A,B,C,D在同一条直线上,且AC=BD,BE∥CF,AE∥DF.求证:
△ABE≌△DCF.
过程规划:
1.准备不能直接用的条件:
_________=__________
_________=__________
2.全等五步法证明
_________≌_________
3.根据全等性质得,
_________=__________
17.
已知:
如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD与CE相交于点H,AE=CE.
过程规划:
求证:
AH=CB.
Ø思考小结
1.要证明边或者角相等,可以考虑边或者角所在的两个三角形_______;要证明三角形全等,需要准备_____组条件,其中有一组必须是_______相等.
2.阅读材料
我们是怎么做几何题的?
例1:
已知:
如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.
求证:
∠B=∠D.
第一步:
读题标注,把题目信息转移到图形上(请把条件标注在图上)
第二步:
分析特征走通思路
1要求∠B=∠D,考虑放在两个三角形里面证全等,把∠B放在△ABC中,把∠D放在△ADE中,只需要证明这两个三角形全等即可.
2要证明△ABC≌△ADE,需要找三组条件,由已知得AB=AD,AC=AE,还差一组条件,根据∠BAE=∠DAC,同时加上公共角∠CAE,可得∠BAC=∠DAE,利用SAS可得两个三角形全等.
第三步:
规划过程
过程分成三块:
1由∠BAE=∠DAC,可得∠BAC=∠DAE;
2由SAS得△ABC≌△ADE;
3由全等得∠B=∠D.
第四步:
过程书写
【参考答案】
Ø巩固练习
1.Rt△ADP,Rt△AEP,AE
2.AD=CB,HL
AB=CD,SAS
∠A=∠C,AAS
∠ADB=∠CBD,ASA
3.6
4.证明:
如图,
∵CE⊥AB,DF⊥AB
∴∠CEB=∠DFA=90°
∵AE=BF
∴AE+EF=BF+EF
即AF=BE
在Rt△CEB和Rt△DFA中
∴Rt△CEB≌Rt△DFA(HL)
5.证明:
如图,
∵BF=EC
∴BF+FC=EC+FC
即BC=EF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(AAS)
6.证明:
如图,
∵AC=BD
∴AC-BC=BD-BC
即AB=DC
∵BE∥CF
∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=180°
∠2+∠4=180°
∴∠3=∠4
∵AE∥DF
∴∠A=∠D
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF(ASA)
7.证明:
如图,
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠2=90°
∵CE⊥AB
∴∠AEH=∠CEB=90°
∴∠3+∠4=90°
∵∠2=∠4
∴∠1=∠3
在△AEH和△CEB中
∴△AEH≌△CEB(ASA)
∴AH=CB(全等三角形对应边相等)
Ø思考小结
1.全等;3,边
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