专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何答案.docx
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专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何答案
专题八立体几何
第二十四讲空间向量与立体几何
答案部分
1.【解析】⑴由已知可得,BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF丄平面ABFD.
(2)作PH丄EF,垂足为H•由⑴得,PH丄平面ABFD.
T
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系H-xyz.
由⑴可得,DE丄PE•又DP=2,DE=1,所以PE-.3.
又PF=1,EF=2,故PE丄PF.
可得PH3,EH=3.
22
则H(0,0,0),
D(-1,-3,0),DP=(1,-^^
222
HP
=(0,0,
)为平面ABFD的法向量.
3
设DP与平面ABFD所成角为「则si-|HP4
|HP||DP|V3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
2.【解析】⑴在三棱柱ABC-AQG中,
•••CCi丄平面ABC,二四边形AACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,
•••AC丄EF.
•••AB二BC.
•AC丄BE,
•AC丄平面BEF.
(2)由
(1)知AC丄EF,AC丄BE,EF//CC1.
又CC1丄平面ABC,•••EF丄平面ABC.
•••BE二平面ABC,•EF丄BE.
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
urnuur
•CD=(2,0,1),CB=(1,2,0),
设平面BCD的法向量为n=(a,b,c),
UUD
nCD=0
uur
nCB=0
2ac=0
a2b=0
令a=2,则b=-1,c=-4,•平面BCD的法向量n二(2,-1,-4),
uir
又•••平面CD®的法向量为EB=(0,2,0),
uiri_
uirnEB何
…cos:
:
:
nEButu^=-
In||EB|21
由图可得二面角B-CD-Ci为钝角,所以二面角B-CD-Ci的余弦值为一』.
21
⑶平面BCD的法向量为n=(2,-1,一4),:
G(0,2,1),F(0,0,2),
uuuuuuuuu
•••GF=(0,2,1),•••nGF=2,.•.n与GF不垂直,
•••GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,•GF与平面BCD相交.
3.【解析】
(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP_AC,且OP=2、二.
连结OB.因为AB二BCAC,所以△ABC为等腰直角三角形,
2
1
且OB_AC,OBAC=2.
2
由OP2OB2二PB2知PO_OB.
由OP_OB,OP_AC知PO_平面ABC.
uu
⑵如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.
x
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2.3),uuuuuu
AP=(0,2,2•3),取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).
uuir
设M(a,2-a,0)(0:
:
a<2),则AM=(a,4—a,0).
设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).
uuuuu2y23丁_0__
由APn二0,AMn=0得2y30,可取n二(、、3(a一4),、3a,_a),
ax+(4—a)y=0
所以
.urncosOB,n
2*(a_4)
2\3(a-4)23a2a2
•由已知得|cos「OB,n:
|=F
所以2=3|a一41.二仝•解得a=4(舍去),
2、3(a-4)23a2a22
所以
n二(_83,3么)•又PC=(0,2,-2.3),所以
333
.uuucosPC,n
.3
4
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
4.【解析】⑴由题设知,平面CMD丄平面ABCD,交线为CD•
因为BC丄CD,BC平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM
因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM丄CM.
又BCCM=C,所以DM丄平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD丄平面BMC•
⑵以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
D-xyz•
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为CD的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),
—TT
AM-(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)
设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则
nAM=0,
n・AB=0.
即-2xy“°,2y=0.
可取n=(1,0,2).
DA是平面MCD的法向量,因此
cosn,
sin:
:
n,DA;二2^5,
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是
2、.5
5
5.【解析】依题意,可以建立以D为原点,分别以
DA,DC,
DG的方向为x轴,y轴,
z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得
D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),
C(0,2,0),E(2,0,2),
N(1,0,2).
(1)证明:
依题意DC二(0,2,0),DE二(2,0,2)•设n。
=(x,y,z)为平面CDE的法向
即〔2';:
0不妨令z=T,可得n^(1,0-1).
2x2z=0,
.n0DC=0,
量,则
EDE=0,
3又MN=(1,-?
,1),可得MN%=0,
又因为直线MN二平面CDE,所以MN//平面CDE.
⑵依题意,可得BC=(-1,0,0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).
n,BC=0,「一x=0,
设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,贝U即
nBE=0,lx—2y+2z=0,
不妨令z=1,可得n=(0,1,1).
/、\mBC=0,「-x=0,
设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,贝U即
[mBF=0,I-y+2z=0,
不妨令z=1,可得m=(0,2,1).
因此有cos:
:
:
m,n七、=
mn
Im||n|
3^,于是sin5,n2.
1010
所以,二面角E-BC-F的正弦值为二0.
10
⑶设线段DP的长为h(h・[0.2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得"BP=(-1,-2,h).
易知,
DC二(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,故
BPDC
h25
由题意’可得启®60再’解得"知0,2]・
所以线段DP的长为上3.
3
6•【解析】如图,在正三棱柱ABC-人框心中,设AC,AG的中点分别为O,。
1,则
OO1—OB,以{OB,OC,OO1}为基底,建立空间直角坐标
系O-xyz.
因为AB二AA=2,
所以A(0,-1,0),B(.3,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,2),B1(.3,0,2),0(0,1,2).
⑴因为P为AB的中点,所以卩(于,-1,2)
2
从而bP=(_
—*,2),ACi=(0,2,2),
丄一14|310
52、2一20
因此,异面直线BP与ACi所成角的余弦值为.
20
⑵因为Q为BC的中点,所以Q(」」,0),
22
因此AQ=(二,3,0),ACi=(0,2,2),CC^^(0,0,2).
22
设n=(x,y,z)为平面AQCi的一个法向量,
则竺n=0,即fx|y=0,ACln=0,2y2z0.
不妨取n=(3,-1,1),
设直线CCi与平面AQCi所成角为二,
则sinn计cosCCi,n||CCln125,
'1|CCi|1n|75汉25
J?
所以直线CCi与平面AQCi所成角的正弦值为一^.
5
7.【解析】(i)由已知•BAP=/CDP=90,得AB丄AP,CD丄PD.
由于AB//CD,故AB丄PD,从而AB丄平面PAD.
又AB二平面PAB,所以平面FAB丄平面PAD.
(2)在平面PAD内做PF_AD,垂足为F,
由
(1)可知,AB_平面PAD,故AB_PF,可得PF_平面ABCD.
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间
直角坐标系F_xyz.
由
(1)及已知可得Ap2,0,0),P(0,0/2),B(辽,1,0),C(2,1,0).
2222
所以6『牛),CBe。
),乩
-J),
AB=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则
2」2n兰丸,即一wxy-E"z=o,nCB=°..2^0
可取n=(0,-1,-・.2).
设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则
m
mAB二0
可取n=(1,0,1).
则cos
In||m|3
所以二面角A-PB-C的余弦值为3
3
&【解析】
(1)取PA的中点F,连结EF,BF•因为E是PD的中点,所以EF//AD,
1r1
EF=—AD•由NBAD=NABC=90,得BC//AD,又BC=—AD所以
22
EF/BC四边形BCEF是平行四边形,CE//BF,又BF平面PAB,CE二平
面PAB,故CE//平面PAB•
(2)由已知得BA_AD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,|AB|为单位
长,建立如图的空间直角坐标系
A-xyz,贝VA(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),
P(0,1,.3),PC=(1,0,—、.3),AB=(1,0,0)•
设M(x,y,z)(0:
:
x:
:
1),则BM=(x—1,y,z),PM=(x,y-1,z-.3)
A
因为BM与底面ABCD所成的角为45",而n二(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所
以|cos
.(x-1)2y2z2
即(x-1)2y2-z2=0.①
又M在棱PC上,设PM「PC,则
x二,y=1,z=3-、3'.②
r川
x=1+——
丨2!
由①,②解得y=1(舍去),
1近
x=1-
2
八1
.6
z二
2
所以M(12,1,
2
,从而TM…辽i,
2
l^-T
设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,贝U
|mAM=0即;(2—运)x°+2y°+辰=0mAB=0x0=0
所以可取m=(0,-、.6,2),
于疋cosm,n=
mn
Im||n|
110
5
因此二面角M-AB-D的余弦值为
5
9•【解析】
(1)由题设可得,厶ABD"QBD,从而AD=DC.
又lACD是直角三角形,所以ZACD=900
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO_AC,DO=AO•
又由于「ABC是正三角形,故BO_AC•
所以.DOB为二面角D-AC-B的平面角.
在RtAOB中,BO2AO2二AB2•
又AB=BD,所以BO2DO2二BO2AO2二AB2二BD2,故.DOB二90•
所以平面ACD_平面ABC•
(2)由题设及
(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA的方向为x轴
正方向,OA为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,贝U
A(1,0,0),B(0八3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的-,从而E到平面
2
1
ABC的距离为D到平面ABC的距离的一,即E为DB的中点,
得E(0,£,丄)•故
22
扃十1。
1),TC*2,。
。
),示十匕彳
*)
2
xz=0
nLAD=0,
设n=x,y,z是平面DAE的法向量,贝U即打1
nLaE=0,|_x+——y+_z=0
.22
可取(1,仝1)
3
同理可得m=(0,-1八3)
设m是平面AEC的法向量,则“仝=0,
mae=0,
则哄n,m*鷲二耳
所以二面角D-AE-C的余弦值为
10.[解析】如图,以A为原点,分别以
AB,AC,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建
立空间直角坐标系.依题意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),
N(1,2,0).
(I)证明:
DE=(0,2,0),^=(2,0,-2).设n=(x,y,z),为平面BDE的法向量,
则n兰",即2y.不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),
nDB=02x-2z=0
可得
MN
因为MN二平面BDE,所以MN//平面BDE.
(n)易知n=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向
F
n.EM=0-I「一2y_z=0
量,贝U,因为EM^(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以y•不妨
[n2MN=0jX+2y_z=0
设y=1,可得韭=(V,1,-2).
nin2
因此有coscn1,n2=
m||n2|
4
21,
于是sin:
n1,鹿二二05
21
所以,二面角
C—EM—N的正弦值为-^05
21
(川)依题意,
设AH=h(0 BE=(-2,2,2) INHBEI- |2h—2|-二,整理得 .由已知,得gzNH’BE'“BE「厂2丁21 28110h-21h8=0,解得h,或h=~. 52 所以,线段AH的长为8或1. 52 11.【解析】(I)设AC,BD交点为E,连接ME• 因为PD//平面MAC,平面MAC•■平面PBD二ME,所以PD//ME. 因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点,在PBC中,知M为PB的中点. (n)取AD的中点0,连接OP,OE. 因为PA=PD,所以0P_AD. 又因为平面PAD_平面ABCD,且0P平面PAD,所以0P_平面ABCD. 因为0E平面ABCD,所以OP_0E. 因为ABCD是正方形,所以0E_AD. 如图建立空间直角坐标系0-xyz,贝UP(0,0,-、2),D(2,0,0),B(-2,4,0), BD=(4,-4,0), PD=(2,0,一、2). 设平面BDP的法向量为 InBD n二(x,y,z),则 nPD 二04x-4y=0 ,即— [2x-J2z=0 =0 令x=1,则y=1,z—、2•于是n二(1,1,「2). 平面PAD的法向量为 p=(0,1,0), 所以cos np |n||p| 由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为一. 3 (川)由题意知 M(-1,2, ),D(2,4,0),—). 2 设直线MC与平面BDP所成角为ot,则sina=|cos '\n\\MC\9 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为乙6. 9 12. 【解析】 (1)•/面PAD面ABCD=AD,面PAD_面ABCD, •/AB_AD,AB面ABCD,二AB_面PAD, •/PD二面PAD,•••AB_PD, 又PD丄PA,•PD丄面PAB, ⑵取AD中点为0,连结CO,PO, •/CD=AC=$5,•CO_AD, •/PA=PD,•PO_AD, 以O为原点,如图建系易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,_1,0),C(2,0,0), 则PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),设n为面PDC的法向量,令‘F=(x°,yo,1). : nPD%二2,", nPC=02 则PB与面PCD夹角二有, ⑶假设存在M点使得BM//面PCD, AM AP 由⑵知A0,1,0,P0,0,1,AP二0,-1,1, 「,M0,y',z', —I B1,1,0,AM二0,y'-1,z' 有AM •••BMII面PCD,n为PCD的法向量, _jii •••BM■n=0,即…=0,二■= 2「'4 AM1 •综上,存在M点,即当=_时,M点即为所求. AP4 13•【解析】(I)连结FC,取FC的中点M,连结GM,HM,因为GM//EF,EF在上 底面内,GM不在上底面内,所以GM//上底面,所以GM//平面ABC;又因为 MH//BC,BC平面ABC,MH二平面ABC,所以MH//平面ABC;所以平面 GHM//平面ABC,由GH—平面GHM,所以GH//平面ABC. (n)连结OB,: AB二BC.OA_OB,以为O原点,分别以0A,0B,00为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系. A : EF二FB二—AC=2、、3,AB=BC. 2 OO=BF2-(BO-FO)2=3, 于是有A(2T3,0,0),c(-2爲,0,0),B(0,2T3,0),F(0,T3,3),可得平面FBC中的向量BF=(0,-'、3,3),CB=(2.3,2.3,0),于是得平面FBC的一个法向量为;=(-二八3,1), 又平面ABC的一个法向量为n2=(0,0,1), 设二面角F-BC-A为— nn217 n]J"方 .面角F-BC-A的余弦值为 14.【解析】 (1)证明: 找到AD中点I,连结FI•矩形OBEF,.・.EF£OB •••G、I是中点,•••GI是ABD的中位线,•••GI//BD且GI=-BD, 2 1 •••O是正方形ABCD中心,•OBBD,•EF//GI且EF=GI. 2 •四边形EFIG是平行四边形,•EG//FI •••Flu面ADF•-EG//面ADF (2)O-EF-C正弦值,如图所示建立空间直角坐标系O-xyz B0,-2,0,C.2,0,0,E0,-.2,2,F0,0,2 设面CEF的法向量口=[x,y,z EF二x, z0,2,0: =、;;2y=0 zf;2,0,2--2x2z=0 CF二x,y, •••OC_面OEF,•面OEF的法向量①=]1,0,0 (3)•/AH=2HF, 3 匸,。 上 55 o,—L得: x=仝 5 y=0 4 z=— 5 15.【解析】(I)连接BD,设BDPlAC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1,由.ABC=120,可得AG=GC3, 由BE_平面ABCD,AB=BC可知,AE=EC, 又•••AE_EC,二EG=、.3,EG_AC, __26 在RtEBG中,可得BE=,故DF二——.在RtFDG中,可得FG=—— 22 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=、、2,DF=—2,可得EF: 2 _3血 -2, •••EG2FG2二EF2,二EG—FG, •••ACGFG=G,•EG_平面AFC, •••EG面AEC,•平面AFC—平面AEC. (n)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为X轴,y轴正方向,|GB|为单 位长度,建立空间直角坐标系G-xyz,由(I)可得A(0,—3,0),E(1,0,,2), F(-1,0,子),C(0,3,0), 二AE=(1,J3,\/2),CF=(—1,-V3,^2). 2 故cos: : AE,CF 绪LCF |AE||CF| 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 if 3 16.【解析】解法一: (I)如图,取AE的中点 H,连接HG,HD, D 1 又G是BE的中点,所以GH//AB,且gh=2ab, 1 又F是CD中点,所以DF=-CD, 2 由四边形ABCD是矩形得,AB//CD,AB=CD, 所以
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