导数与微分习题及答案.docx
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导数与微分习题及答案
第二章导数与微分
(A)
1.设函数y=f(x),当自变量x由xo改变到Xo+AX时,相应函数的改变量
A.f(x0+Ax)B.)+ixC.f(x0+Ax)—)D.f(x02.设f(x准X0处可,则匹f(X0-")—f(X0)=()
A.—f'(x0)B.f'(—X0)C.f'(x0)D.2f'(X0)
3.函数f(x在点x0连续,是f(x)在点x0可导的()
A.必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.充分必要条件
4.设函数y=f(u是可导的,且U
A.f'(X2)B.xfTx2)C.
既不充分也不必要条件
=x2,则¥=()
dx
2xfTx2)D.X2f(X2)
5.若函数f(x)在点a连续,则f(x)在点a()
A.左导数存在;B.右导数存在;C.左右导数都存在D.有定义6.f(x)=x-2|在点x=2处的导数是()
A.1B.0C.-1D.不存在
7.曲线y=2x3-5x2+4x-5在点(2,-1)处切线斜率等于()
A.8B.12C.-6D.6&设y=e逹且f(x厂阶可导,则/=()
A.ef(x
B.ef*)f“(X)C.ef(Xf(x)r(x»D.ef(XXf(x护+f“(x9
9.若f(x)才
ax
e,
b+sin2x,
X<0
X>0
在x=0处可导,则a,b的值应为()
B.a=1,b=2
10.若函数f(x)在点Xo处有导数,而函数g(x)在点Xo处没有导数,则
F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(X)—g(x)在x处()
A.一定都没有导数
B•—定都有导数
C.恰有一个有导数
D.至少一个有导数
11.函数f(x)与g(x)在xo处都没有导数,贝UF(x)=f(x)+g(x),
G(x)=f(X)—g(x在Xo处()
A.一定都没有导数
B.—定都有导数
C.至少一个有导数
D.至多一个有导数
12.已知F(x)=f[g(x)],在x=xo处可导,则()
A.f(x),g(x都必须可导
B.f(x)必须可导
C.g(x)必须可导
D.
f(X)和g(x)都不一定可导
1
13.y=arctg,则y'=()
X
B.
1
1+x2
C.
2
X
1+x2
2
X
1+x2
f(a+hf(a)
14.设f(x)在点x=a处为二阶可导,则
lhmo
——h——=()
h
A.乎B.3C.2f®D.—f®
15.设f(x)在(a,b内连续,且Xo巳a,b),则在点xo处()
A.f(x)的极限存在,且可导B.f(x)的极限存在,但不一定可导
C.f(x)的极限不存在
D.f(x)的极限不一定存在
16.设f(x)在点x=a处可导,则『八3hL
17.
函数y=
X+1导数不存在的点
18.
设函数f(x)=sin〔2x+巴〕
I2丿
19.
设函数y=y(x)由方程xy-eX+ey=0所确定,则y'(0)=
20.
曲线y=InX在点P(e,1)处的切线方程
21.
若3*;;n(;;),则烹
22.
若函数y=eX(cosx+sinx),贝Udy=
23.
若f(x)可导,y=f{f【f(xW,则―
24.
曲线(5y+2
E”)5在点[0「5〕处的切线方程是
25.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
-1C
(1)y=sinx;
(2)y=«
xsin-,XH0x
0,X=0
26.
已知f(x)i
sinx,
x,
27.
设y=InJ
e4x
e4^1
求y'及y
Xz0
28.
设y=f(gxef(X)且f'(X)存在,求dy。
dx
29.已知y=ln
J]+x3-1
J1+x3+1
30.已知y=x+xX,求y。
31.设
y=VX+V7+V7,求dy
32.设
y=*^,求y・。
33.设
y=f(X2若f\x)存在,求^4。
dx
(B)
1.设函数f(x)在点0可导,且f(0)=0,则limf(x)
□c
A.f'(x)B.f'(0)C.不存在
2.若g一3,则衬(0+m-f(x0+%x)
A.-3B.6C.-9
D.-12
3.若函数f(x)在点a可导,
则limf(a)—f(a+2h)
h_j0
A.--「(a)B.-
3\丿2
3h
C.
4.设f(x)~
X2-2x+2,
1,
x》1则
X<1
f(X'在x=1处(
A.不连续
B.连续,但不可导
C.连续,且有一阶导数
D.有任意阶导数
XHO
5.函数f(x)才
X
2,
X=0
在x=0处()
A.不连续
B.连续不可导
C.连续且仅有一阶导数
D.连续且有二阶导数
in.1
IXsin—
6.要使函数f(x)詔x'
0,
XH0
值?
()
A.n=0
C.n
=2
7.设函数f(x)有连续的二阶导数,且
f(0)=0,厂(0)=1,厂(0)=-2,则
极限lim*尸等于()
X2
-1
8设f(x)在X=0的某领域内有定义,
f(0)=0,且当XT0时,f(x)与x为
等价无穷小量,则()
C.f'(0不存在
D.不能断定f\0的存在性
9.设f(x)为奇函数,且
f(\))=2,则f(-X0)=()
A.-2
C.2D.-1
2
10.设函数
f(x)=x(x—1以—2以—3以—4),则「(0)=()
B.24C.36D.48
11.已知XT0时,f(x)-f(0)是x的等价无穷小量,则l吗
f(0)—f(0-2h)_
A.-2B.-1
C.2D.不存在
12.若f(x)在X0可导,则f(x)在x0处()
A•必可导
B.连续但不一定可导
C.一定不可导
D.不连续
13.若f(u)可导,且y=sinffed),则dy=
14.设y(x)是由方程y—&siny=x(0 15.若f(x在x=a处可导,则忸f(a+nh)—f(a—mh)_ h 16.若W为二阶可微函数,贝Uy=ln如(X2》的y”(x)= 11.2“ 十、-SinX,XH0r, 17.已知f(x)=(x则f(0)= i0,X=0 18.已知[xP^t-tcost),则 [y=a(cost+tsint)dy 19.若y=d,则代匚 [21 20.若f(^farCtgx,"O,则f" I0,x=0 d2x dy2 f'(x)= 1im+f(X) —0十X 21. [X2彳 e-10 已知f(x)={—XHO,求f・(x” i1,x=0 22. 设f(X)=(x2—a2fe(x),其中g(x)在x=a处连续,求f'(a)。 23. 如果f(x)为偶函数,且f[0疳在,证明f-(0)=0。 24. 设f(x)对任意的实数Xi、X2有f(Xi+X2)=f(Xi)f(X2),且f\0}=1,试 证f'(X)=f(Xb 25. 已知y=xarctgx-InJ1+x2,求y‘。 26. 已知y=arcsin2sinx十11 2+sinxV x<-〕,求y'。 2丿 27. 设y=qX+J1—a2xarccoSaX),求dy。 28. 29.设« 设y=Jxsinxjl-e*,求寸。 X=Incost求dydy ・,刁J,2" y=sint-tcostdxdx 30.函数y=y(x)由方程arctg—=lnJx2中y2确定,求一。 Xdx (C) 1.可微的周期函数其导数() A.一定仍是周期函数,且周期相同 B.一定仍是周期函数,但周期不一定相同 C.一定不是周期函数 D.不一定是周期函数 2.若f(x)为(-1,1)内的可导奇函数,贝Uf'(x)() A.必有(-1,1)内的奇函数 B.必为(-1,1)内的偶函数 C.必为(-1,1)内的非奇非偶函数D.可能为奇函数,也可能为偶函数 1 3.设f(X)=xnsin—(X工0)且f(0)=0,贝Uf(x在x=0处() X 1A.令当limf(x)=limxnsin=f(0\=0时才可微 B.在任何条件下都可微 X_'卢—j0X** C.当且仅当n>2时才可微 D.因为sin-在x=0处无定义,所以不可微 X 4.设f(x)=(X-aF(x),而W(X)在X=a处连续但不可导,则f(x)在x=a处 A.连续但不可导 B.可能可导,也可能不可导 C.仅有一阶导数 D.可能有二阶导数 5.若f(x)为可微分函数,当 “T0时,则在点x处的Ay-dy是关于Ax的 A.高阶无穷小B.等价无穷小C.低价无穷小 D.不可比较 6.函数y=f(X在某点处有增量4=0.2,对应的函数增量的主部等于0.8, 则f'(x)=( B.0.16 C.4 D.1.6 atgx+b(1-cosx)=2其中 cln(1-2x)+d(1-e产‘ a2+c2h0,则必有() A.b=4dB.b=—4d C. a=4c D.a=-4c &设l玛n1+xlax+bx2) =2, C.a=0, b—5 2b」 2 B. a=0, b=2 23|—X 9.设f(x)才3 2 lx, x<1 则f(X)在点X=1处的( X>1 A.左、右导数都存在 B.左导数存在,但右导数不存在 C.左导数不存在,但右导数存在 D.左、右导数都不存在 10.设f(X)在(-处,邑)内可导,且对任意X1,X2,当X1AX2时,都有 f(X1f(X2),则() A.对任意X,f'(x): >0 B.对任意X,f,(-X)兰0 C.函数f(—X)单调增加 D.函数-f(_x洋调增加 11.设f(X)可导,F(x)=f(X0+sinX),若使F(X在x=0处可导,则必有 A.f(0)=0B.f'(0)=0C.f(0)+f'(0)=0D.f(0)—f'(0)=0 12.设当XT0时,e-(ax2+bx+1是比x2高阶的无穷小,则() A.a=丄,b=1 2 1 C.a=—,b=1 2 B.a=1,b=1 C.可导的点,且f'(0)=0 D.可导的点,且f'(0)H0 13.设函数f(x)在区间(-6,6)内有定义,若当x-(-6,6)时,恒有If(x) 则x=0是f(x)的() B. A.间断点 连续而不可导点 14.设XT0时,etgx-eX与xn是同阶无穷小,则n为() 15.函数f(X)=(X2-X -2”-X 不可导点的个数是( B.2 16.已知函数y=y(x在任意点X处的增量Ay y也X 1+x2 +a且当AXT0时,a 是Ax的高阶无穷小,y(0)=兀,则y (1)=() C.e4 1-cs 17.设f(X)=47X' [x2g(x) X>0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处() X<0 A.极限不存在 B.极限存在,但不连续 18.在区间(-比,乜)内,方程 X4+x2 -COSX=0() A.无实根 B.有且仅有一个实根 C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根 dxn t=1 20.若f(x)是可导函数,且f'(x)=sin2Sin(x+1)】,f(0)=4,则f(x)的反函数x=W(y为自变量取4时的导数值为 21.若f(x)在x=e点处且有连续的一阶导数,且f'(e)=-2e~*,则 22.设f(x)=(x331-1g(x),其中g(x)在点x=1处连续,且g (1)=6,则 23•设计,-则当a的值为 X—1 X=1 时,f(x)在x=1 处连续,当a的值为 时,f(x)在x=1可导。 24. 已知y=x2eX则y(4X。 )= ,yPko)= 25. 26. Isin2x+e2ax XH0 ,在(-处,址)上连续,则a= 若f(X)=x2cos2x,则f(10to)= ! x=1+t2 29.曲线.3在-2处的切线方程为 x 30•设1以=8,则 [lx-a丿」x」 31.设y= 2 /X¥ X \丿 32■设yinj冷,则y'L』= 33.|imE+尸一2=TX2 34.lim I丄、 2xtgx丿 35•曲线 x=etsin2t "t在点(0,1)处的法线方程为 y=ecost 36. 设函数y=y(x)由方程In(x2+y)=x3y+sinx确定,则一 dx X=0 37. 38. d2y 设y=Inf(X9且f"(X)存在,求y。 dx 39. x=3t2+2t+3 y=y(x泥由方程组{样匚-;+仁0所确定的隐函数,求羽“。 40设{;ftlf(t),其中淇有二阶导数,且心。 ,求彩。 41. 设y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求Q* dx 42. 设f(xA+,且g(x)=」^,计算f'(x)和g'(x)。 1+11+1Xf(x) 43. 设g(x)=[f(x)f(X),求g'(x)。 .2 卄32c[、亠dy 右y-Xy=2,求—7 dx ——11 45.验证函数y-e^+e"满足关系式xy”+y*y=0。 24 [x=』-e丄 46.设曲线C的参数方程是<2,求曲线C上对应于t=In2的点 [y=(£+e」) 的切线方程。 『2艺U一 47.设f(x)jx'卄x_X0,为了使函数f(x)于点x=X0处连续而且可ax+b,若x>x0 微,应当如何选取系数a和b? 48.设F(x)i f(x)若X兰X0,其中函数f(x)在x=x0为左方可微分的,ax+b,若XAX0 应当如何选取系数a和b,使函数F(x)在点xo处连续且可微分。 49.设1 2cos2x2 +ftg©+M],求dy。 2七4丿’y [x=cos(t2) 50.设{F2It21,求一 Iy=tcos(t卜J—尸cosududxL12Ju d2y dx2 Jdx2+x—1+x+1 51.求极限Jx2+sinx f1\c 52.设f(X)满足af(X)+bf—I=—,其中a、 lx丿X c都是常数,且aH (1)证明f(X)=-f(-x) ⑵求f'(X),f"(X) 1-2x2, 53.设函数f(x)=|X3, 12x—16, -1vx<2, Xa2 (1)写出f(x)的反函数g(x)的表达式; ⑵g(x)是否有间点、不可导点,若有指出这些点。 第二章导数与微分 (A) 1.设函数y=f(x),当自变量x由xo改变到X0十AX时,相应函数的改变量 Ay=(C) A.f(x0+4x)B.f(x^^AxC.f(x0-"[(Xo)D.f(x0 2.设f(x在Xo处可,则妁 f(Xo-&)—f(Xo)=(A) Ax A.—f'(xo)B.f'(—Xo) C.f'(xo)D.2fIxo) 3.函数f(x在点Xo连续,是 f(x)在点Xo可导的(A) A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充分必要条件 4.设函数y=f(u是可导的,且U A.f'(X2)B.xHx2)C. 既不充分也不必要条件 =x2,则¥=(C) dx 2xflx2)D.X2f(X2) 5.若函数f(x)在点a连续,则f(x: 在点a(D) A.左导数存在;B.右导数存在;C.左右导数都存在D.有定义 6.f(x)=x-2|在点X=2处的导数是(D) A.1B.0C.-1D.不存在 7.曲线y=2x3-5x2+4x-5在点(2,-1)处切线斜率等于(A) A.8B.12C.-6D.6 &设y=e逹且f(x厂阶可导,则y“=(D) A.ef(x)B.eSf“(x)C.D.eWXfS+f“(x* fax 9.若f2Uin2x, XcO X>0 在x=0处可导,则a,b的值应为(A) B.a=1,b=2 10.若函数f(x)在点Xo处有导数,而函数g(x)在点Xo处没有导数,则 F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(X)—g(x在Xo处(A) C.恰有一个有导数 D.至少一个有导数 11.函数f(x)与g(x)在Xo处都没有导数,贝UF(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)_g(x在Xo处(D) A.一定都没有导数 B.一定都有导数 C.至少一个有导数 D.至多一个有导数 12.已知F(x)=f[g(x)],在x=X0处可导,则(A) A.f(X),g(x)都必须可导 B.f(x)必须可导 C.g(x)必须可导 D. f(x)和g(x)都不一定可导 1 13.y=arctg—,贝Uy'=(A 1+x2 B. 1+x2 C. 1+x2 1+x2 f(a+h)—f(a) 14.设f(x)在点x=a处为二阶可导,则 lhmo =(A) A.二 B.f^a)C.2f"(a)D.-f"(a) 15.设f(x)在(a,b内连续,且Xo忘(a,b),则在点xo处(B) A.f(x)的极限存在,且可导B.f(x)的极限存在,但不一定可导 C.f(x)的极限不存在 D.f(x)的极限不一定存在 16. 设f(x)在点x=a处可导,则nm0f(a)-h(a-h)=f 17. X+1导数不存在的点X=-1。 18. 设函数f(x)=sin〔2x+巴〕 I2丿 19. 设函数y=y(x)由方程xy-ex+ey=0所确定,则y'(0)=—1。 20. 1 曲线y=lnx在点P(e,1)处的切线方程y-e= (X-1)。 e 21. 若3彳;;n(;;),则"dX 22. 若函数y=eX(cosx+sinx),贝U2excosx。 23. 若f(X)可导,y=f{f[f(xW,则rtf[f(xW+f'[f(x)JfIx)。 24. /1、12 曲线(5y+23=(2x+i5在点b-丄处的切线方程是丫+丄=-©-0)。 V5丿33 25.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: (1)y=sinx 解: ••Timsi X_j0 sinx =0=sin0 sinx在X=0处连续 又f,(0加f(x)-f(0Llim_ T—X—0T- sinx =lim=—s]nX=_1XT—X sinx □0)lim+f(x)-f(0Llim+ I0十X—0T十X =lirn=-s^=1 X Ixsin1 (2)y才Xi0, X工0 X=0 sinx在x=0处不可导。 1 解: ■•Timxsin—XTX =0=f(0),•••函数在x=0处连续 -1c ff\ff0\xsinx-01 又lim—X=limx=limsin-不存在。 xTx—OTXTx 故f(X)在X=0处不可导。 26.已知f(x)=* sinx,X<0 X,X>0 解: X=0时,fix)=« cosx, .1, X吒0 可以求得f'(0)=1 X>1 Xc0 X>0 [cosx, •••fIx)={1 I 27.设y=lnJ 4x e ~4X- e+1 求y'及y Xz0° neln宀』W4-宀d 討+1 28.设y=f(exef(x且f\x)存在,求dy。 dx 解: y,=[f(eTef(x)+f(ex)ef(x)「=「(ex)+exef(x)+f(exef(x)f'(x) =ef(x)[ffexex+f(ex)+f'(x9 29. 已知y=In J1+X3-1 Jl+x3+1 求y'。 解: In (Jl+X3-1 2in(j1+x3-1)-31n|x| 30. 已知y=X+xX, 求y'。 解: y'=(x+eX|nx)=1+eX|nx(xInx)=^xX(Inx+1) 31.设y,求dy xz2 解: y'Jx7+7X+V7 I 32.设y=g(3—x4 (1+xj
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