三角形的证明整章讲义和习题三次课.docx
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三角形的证明整章讲义和习题三次课
等腰三角形(讲义)
一、知识点睛
1.______________的三角形叫做等腰三角形.
2.等腰三角形是_________图形.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“__________”),它们所在的直线都是等腰三角形的_________.
3.等腰三角形的两个底角________,简称______________.
如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也______,简称_________________.
4.三边都______的三角形是等边三角形.等边三角形三边都相等,三个内角都是________.
二、精讲精练
1.在下面的等腰三角形中,∠A是顶角,请分别将它们底角的度数标注在相应的图上.
2.如图,在△ACD中,AD=BD=BC,若∠C=25°,则∠ADB=_________.
第2题图第3题图
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,CD=AC,AD=BD,则∠BAC=_________.
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,DE垂直平分AC,交AC于D,交BC于E,连接AE,若∠BAE:
∠BAC=1:
5,则∠C=_______.
第4题图第5题图
5.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC,
(1)若∠ADE=80°,则∠DEB=______.
(2)若F为BE中点,则DF与BE的位置关系是________.
6.已知:
如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.
求证:
M是BE的中点.
7.已知:
如图,在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD,BF平分∠DBC交CD于点F,过C作CA⊥BF交BF的延长线于点E,交BD的延长线于点A,H是
边上的中点,连接DH交BE于点G.
求证:
(1)
;
(2)
.
8.
已知:
如图,D是等腰△ABC底边BC上一点,它到两腰AB,AC的距离分别为DE,DF.你认为DE,DF与等腰△ABC腰上的高CG有怎样的数量关系,并说明理由.
9.等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边长为_____________.
10.等腰三角形的周长是25cm,一腰上的中线将周长分为3:
2两部分,则此三角形的底边长为___________.
11.若等腰三角形的一个内角为40°,则此等腰三角形的顶角为________.
12.
若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°,则此等腰三角形的顶角为___________.
13.已知:
如图,线段AB的端点A在直线l上(AB与l不垂直)请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?
请你找出所有符合条件的点.
14.已知:
如图,线段AB的端点A在直线l上,AB与l的夹角为60°,请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?
请你找出所有符合条件的点.
等腰三角形(作业)
1.在下面的等腰三角形中,∠A是顶角,请分别将它们底角的度数标注在相应的图上.
2.已知:
如图,在等腰△ABC中AB=AC,点D为边AB上一点,若CD=AD=BC,则∠A=_________.
第2题图第3题图
3.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为()
A.6B.7C.8D.9
4.已知:
如图,AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE.
求证:
BF=CF.
5.如图,在△ABC中,BA=BC,D是AB延长线上一点,
DF⊥AC于F,交BC于E,求证:
△DBE是等腰三角形.
6.
如图:
△ABC中,AB=AC,PB=PC.求证:
AD⊥BC.
7.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为________.
8.等腰三角形的一个角比另一个角大30°,则这个三角形顶角的度数为____________________.
9.已知:
如图,线段AB的端点A在直线l上(AB与l不垂直)请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?
请你找出所有符合条件的点.
特殊三角形(讲义)
Ø课前预习
1.对几何图形,我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究,以等腰三角形为例:
(1)边和角:
等边对________、等角对________.
(2)特殊的线:
(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高)____________________.
(3)面积:
h1+h2_____h(填“>”、“<”或“=”).
(4)对称性:
等腰三角形的对称轴是__________________.
2.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
求证:
.
Ø
知识点睛
1.等边三角形
①定义:
_________________的三角形是等边三角形.
②性质:
边:
等边三角形___________.角:
等边三角形___________.
线:
等边三角形______________.
③判定:
_______________的等腰三角形是等边三角形._____________的三角形是等边三角形.
2.直角三角形
性质:
30°角所对的直角边_________________.直角三角形斜边的中线等于_______________.
3.等腰直角三角形
①定义:
有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形.
②性质:
边:
等腰直角三角形_____________.角:
等腰直角三角形_____________.
线:
等腰直角三角形____________,______________________________________.
③判定:
_______________的三角形是等腰直角三角形.
Ø精讲精练
1.如图,以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC,连接AP,DP,则∠PAD=__________.
第1题图第2题图第3题图第4题图
2.如图,在△ABC中,D,E在BC上,且BD=DE=AD=AE=EC,则∠BAC的度数为_________.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=________.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,若BD=2,则AD的长是()
A.4B.6C.8D.10
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
求证:
AE=2CE.
6.
如图,∠BAC=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE=5cm,则BC=______cm,DE=_______cm.
7.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:
MN⊥BD.
8.
如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,BN,CM为高,P为BC的中点,连接MN,MP,NP,下列结论:
①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:
AB=AM:
AC.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.
已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.E,F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF.求证:
△DEF为等腰直角三角形.
10.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC按如图所示方式放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
特殊三角形(习题)
Ø例题示范
例1:
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD,点E在边BC上,点F在边CD上,且∠EAF=60°.
求证:
△AEF是等边三角形.
【思路分析】
【过程书写】
证明:
如图,连接AC.
∵∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD
∴△ABC和△DAC是等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACF=60°
∴∠1+∠3=60°,∠B=∠ACF
∵∠EAF=60°
∴∠2+∠3=60°
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△ACF(ASA)
∴AE=AF
∴△AEF是等边三角形
Ø巩固练习
1.
如图,以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE,连接DE,则∠BED的度数为________.
2.如图,在△ABC的外部,分别以AB,AC为直角边,点A为直角顶点,作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,CD与BE交于点P,则∠BPC的度数为________.
3.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,若DE=2,则AC的长是________.
4.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在BC上,E为AB的中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE的度数为________.
5.
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,过C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.
求证:
AB=2CD.
6.
已知:
如图,在△ABC中,∠BAC>90°,BD,CE分别为AC,AB边上的高,F为BC的中点,连接DE,DF,EF.求证:
∠FED=∠FDE.
7.
已知:
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,E为AC的中点,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F.求证:
EF=EG.
8.
等腰三角形应用(讲义)
Ø课前预习
1.直角三角形全等的判定定理:
_________________________.
2.线段垂直平分线上的点到_____________________________.
3.角平分线上的点到___________________________________.
4.已知:
如图,线段AB的端点A在直线l上(AB与l不垂直),请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形.这样的点能找几个?
请你找出所有符合条件的点.
Ø知识点睛
1.垂直平分线相关定理:
①________________________________________________;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
已知:
如图,PA=PB.
求证:
点P在线段AB的垂直平分线上.
证明:
2.角平分线相关定理:
①________________________________________________;
②在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知:
如图,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,且PC=PD.
求证:
点P在∠AOB的平分线上.
证明:
3.在等腰三角形中,_________________,________________,______________重合(也称“__________”),这是等腰三角形的重要性质.若在一个三角形中,当中线,高线,角平分线“三线”中有“两线”重合时,则尝试构造___________.
Ø精讲精练
1.
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.
求证:
直线AO垂直平分线段BC.
2.
如图,已知PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.
∠MON=50°,∠OPC=30°,求∠PCA的大小.
3.
如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于E.
求证:
AE平分∠FAC.
4.已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
求证:
AD垂直平分EF.
5.如图,在△ABC中,点E在AB上,AE=AC,连接CE,点G为EC的中点,连接AG并延长交BC于D,连接ED,过点E作EF∥BC交AC于F.求证:
EC平分∠DEF.
6.已知:
如图,D,E分别是AB,AC的中点,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,CD,BE交于点O.
求证:
AB=AC.
7.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于E,若CE=5cm,求BD的长.
8.
如图,在△ABC中,延长BC到D,使CD=AC,连接AD,CE平分∠ACB,交AB于E,且AE=BE.求证:
BC=CD.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若要在直线BC或AC上取一点P,使△ABP是等腰三角形,符合条件的点P有________个.
10.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有________个.
等腰三角形应用(习题)
Ø例题示范
例1:
已知:
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD,E,F分别为AB,AC边上的点,BE=CF.
求证:
DE=DF.
【过程书写】
证明:
如图,延长AD到点G,使DG=AD,连接CG.
∵BD=CD,∠ADB=∠GDC
∴△ADB≌△GDC(SAS)
∴AB=GC,∠1=∠G
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠2=∠G
∴AC=GC
∴AB=AC
∴∠B=∠ACD
∵BE=CF
∴△BDE≌△CDF(SAS)
∴DE=DF
Ø巩固练习
1.已知:
如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD.
求证:
OP是CD的垂直平分线.
2.
已知:
如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证:
点F在∠DAE的平分线上.
3.
已知,如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D.
求证:
∠2=∠1+∠B.
4.
已知:
如图,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.
求证:
BM=EM.
5.
已知:
如图,在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,E是BC上一点,连接AD,AE,DE.求证:
∠EAD=∠EDA.
6.在已知直线l上找一点C,和直线外的A,B两点组成一个等腰三角形.一共可以画出几个符合条件的等腰三角形?
请你在直线l上找出所有符合条件的点C.
Ø思考小结
1.要证两条线段相等,如果放在一个三角形中考虑证________;如果放在两个三角形中考虑证全等.
2.常见的条件组合搭配:
特征
图例
思考方向
垂直+平分
线段垂直平分线上的点到______________
__________________
角平分线+距离
角平分线上的点到__
__________________
__________________
等腰+一线
__________________
三线中两线
重合
构造______________
直角+30°
30°角所对的直角边是________________
直角+中点
直角三角形斜边上的中线______________
__________________
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