青岛市中考数学探究题经典例题.docx
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青岛市中考数学探究题经典例题
模拟试题1
模拟试题2
问题提出:
如图①,将一张直角三角形纸片△ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕,△CBE为等腰三角形;再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形),我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.
知识运用:
(1)如图②,正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗?
如果能,请在图②中画出折痕;
(2)如图③,在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜三角形ABC,使其顶点A在格点上,且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形;
(3)若一个锐角三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是什么?
结合图③,说明理由。
拓展应用:
(4)如果一个四边形一定能折成"叠加矩形",那么它必须满足的条件是什么?
模拟试题3
23.(本小题满分10分)
提出问题:
如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,(其中n为奇数),连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
探究发现:
为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
(1).如图②:
四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
如图③,连接EH、BE、DH,
因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:
2,
所以S△EGH=
S△EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:
2,
所以S△EFH=
S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=
S△EBH+
S△DEH
即S四边形EFHG=
S四边形EBHD
连接BD,
因为△ABE与△ABD高相等,底的比是1:
3,
所以S△ABE=
S△ABD
因为△CDH与△BCD高相等,底的比是1:
3,
所以S△CDH=
S△BCD
所以S△ABE+S△CDH=
S△ABD+
S△BCD=
(S△ABD+S△BCD)=
S四边形ABCD
所以S四边形EBHD=
S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=
S四边形EBHD=
×
S四边形ABCD=
S四边形ABCD
(1)如图④:
四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想:
S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢
验证你的猜想:
问题解决:
如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,(其中n为奇数)
那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为:
(不必写出求解过程)
问题拓展:
仿照上面的探究思路,若n为偶数,请再给出一个一般性结论。
(画出图形,不必写出求解过程)
模拟试题4
模拟试题5
23.在图1﹣5中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例:
当2b<a时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连接FG和CG,裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
思考发现:
小明在操作后发现:
该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上.连接CH,由剪拼方法可得DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置.这样,对于剪拼得到的四边形FGCH(如图1),过点F作FM⊥AE于点M(图略),利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD,易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°.进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FGCH是正方形.
实践探究:
(1)正方形FGCH的面积是 _________ ;(用含a,b的式子表示)
(2)类比图1的剪拼方法,请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展:
小明通过探究后发现:
当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移;当b>a时,如图5的图形能否剪拼成一个正方形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
模拟试题6
23.(本小题满分10分)
如图1,△ABC中,沿∠BAC的角平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C的角平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;以此继续下去;将余下部分沿∠BnAnC的角平分线AnBn+1折叠,最终点Bn与点C重合,那么我们就把∠BAC称为△ABC的“n阶折角”.
探究发现:
(1)如图2,△ABC中,若∠BAC是△ABC的1阶折角,显然∠B=∠C;
(2)如图3,△ABC中,若∠BAC是△ABC的2阶折角,则∠B与∠C的数量关系是:
;
(3)如图4,△ABC中,若∠BAC是△ABC的3阶折角,则∠B与∠C的数量关系是:
;
(4)如图1,△ABC中,若∠BAC是△ABC的n阶折角,则∠B与∠C的数量关系是:
;
应用提升:
(1)△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,结合上面结论,请判断△ABC中每个角是否是△ABC的折角。
如果是,请说明是几阶折角?
(2)△ABC中,∠A是△ABC的6阶折角,∠B是△ABC的3阶折角,请问∠C是△ABC的折角吗?
如果是,请求出△ABC中各个角的度数;
模拟试题7
模拟试题8
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