六年级奥数构造与论证讲座.docx

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六年级奥数构造与论证讲座

六年级奥数构造与论证讲座

　　构造与论证1

　　内容概述

　　各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

　　典型问题

　　有3堆小石子，每次允许进行如下操作：

从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

　　某2堆石子全部取光?

　　堆中的所有石子都被取走?

　　【分析与解】可以，如

　　．

　　因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

　　现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

　　在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：

开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：

一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

　　【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

　　当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=11，推知，必有人得分不超过11分.

　　也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

　　如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数.求的最小值并完成你的填图.

　　【分析与解】要使最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

　　因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×=275．

　　每次和都小于等于朋，所以Io大于等于275，整数大于28．

　　下面来验证=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.

　　1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

　　【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?

　　考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．

　　但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?

构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.

　　0.在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

　　【分析与解】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

　　下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

　　如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

　　如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

　　．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n的最小值．

　　【分析与解】首先确定1998不行．反例如下：

　　其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；

　　如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999．

　　．在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

　　【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

　　构造与论证2

　　内容概述

　　组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

　　典型问题

　　．甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛．各班同学都按l，2，3，4，…依次编号．当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒．在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有9台是男、女生对垒．试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24．并指出在什么情况下，正好是24？

　　【分析与解】不妨设甲、乙比赛时，1～15号是男女对垒，乙、丙比赛时．在1～15号中有a台男女对垒，15号之后有9-a台男女对垒

　　甲、丙比赛时，前15号，男女对垒的台数是15-a，15号之后，有9-a台男女对垒.所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为

　　-a+9-a=24-2a≤24．

　　仅在a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于24．

　　．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色．证明：

至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同．

　　【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说所有颜色的列与列之问的数目不同．那么红色最少也会占：

　　0+1+2+…+14=105个格子．

　　同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少：

　　×=315个格子．

　　但是，现在只有15×15=225个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证．

　　4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人．试证明：

至少有2对人，每对人是互赠过礼品的．

　　【分析与解】将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线．

　　由于每人送出2件礼物，图中共有4×2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线．

　　四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点之间也连了2条线．

　　即为所证结论。

　　．若干台计算机联网，要求：

　　①任意两台之间最多用一条电缆连接；

　　②任意三台之间最多用两条电缆连接；

　　③两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆．若按此要求最少要用79条电缆．

　　问：

这些计算机的数量是多少台?

　　这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆?

　　【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件③表明图是连通图．

　　我们看一看几个点的连通图至少有多少条线．可以假定图没有圈，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉．考虑剩下的n-1个点的图，它仍然是连通的．用同样的办法又可去掉一点及一条线．这样继续下去，最后只剩下一个点．因此n个点的连通图至少有n-1条线，并且从一点A向其他n-1个点各连一条线，这样的图恰好有n-1条线．

　　因此，的答案是n=79+1=80，并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网．

　　下面看看最多连多少条线．

　　在这80个点中，设从引出的线最多，有条，与相连的点是,，…，由于条件，,…，之间没有线相连．

　　设与不相连的点是，…，，则+=80，而，…,每一点至多引出条线，图中至多有条线，因为≤

　　所以×≤1600，即连线不超过1600条．

　　另一方面，设80个点分为两组：

…，；，…，组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有40×40=1600条线．

　　0．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色．如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的．那么最少要涂多少个方格?

　　【分析与解】方法一：

显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图A所示，但是在图B中，划去3行3列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成红色，如图c所示，但是图D的划法，又使剩下的方格没有红色，于是再将两个方格涂成红色，得到图E，图E不管怎么划去3行3列，都能使剩下的方格含有红色的．

　　这时共涂了10个方格．方法二：

一方面，图F表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格．

　　另一方面，如果只涂9个红色方格，那么红格最多的三行至少有6个红格，去掉这三行至多还剩3个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉．

　　综上所述，至少需要将10个方格涂成红色．

　　证明：

在6×6×6的正方体盒子中最多可放入52个1×l×4的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行．

　　【分析与解】先将6×6×6的正方体盒子视为实体，那么6×6×6的正方体可分成216个小正方体，这216个小正方体可以组成27个棱长为2的正方体．我们将这27个棱长为2的正方体按黑白相间染色，如下图所示．

　　其中有14个黑色的，13个白色的，而一个白色的2×2×2的正方体可以对应的放人4个每个面都与盒子侧面平行的1×l×4的小长方体，所以最多可以放入13×4=52个1×1×4的小长方体．

　　评注：

6×6×6的正方体的体积为216，1×1×4的小长方体的体积为4，所以可放入的小正方体数目不超过216÷4=54个．

　　．用若干个l×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形多少个?

　　【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况：

　　1×12=132，设用1×6的小长方形x个，用1×7的小长方形y个，有．

　　解得：

（t为可取0的自然数），共需x+y=19+t个小长方形．

　　当t=0时，即x+y=1+18=19，表示其中的1×6的小长方形只有1个，剩下的18个小长方形都是

　　l×7的．

　　大长方形中无论是1行还是1列，最多都只能存在1个l×7的小长方形，所以在大长方形中最多只能无重叠的同时存在16个l×7的小长方形．

　　现在却存在18个1×7的小长方形，显然不满足；

　　当t=l时，即x+y=8+12=20，有如下分割满足，所以最少要用小长方形20个．