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连续可导
处处连续,处处不可微(处处不光滑),这种情况是数学家非常头痛的事情,以至于在很长时间内数学家放弃了这种现象的研究,直到康托这个数学家将这种情况用新的理论体系进行了研究,即康托集,虽然当时不受认可,但已经为分形学打下了基础,20世纪70年代,曼得布罗特将分形学提高到另一个高度,他的论文“英国海岸线又多长”在《科学》杂志发表,引起了学术界的轰动。
他的基本意思是用不同的尺子量处处连续处处不可微的曲线会有不同的长度。
这是显而易见的,用一米的尺子和一公里的尺子量英国的海岸线结果肯定不一样,用大尺子量出来的结果肯定比小尺子量出的结果小得多,因为大尺子量不到小尺子能量到的弯曲(处处不光滑)。
但是关键是寻找出用不同尺子测量某一“处处连续处处不可微”线段(如英国海岸线)得到的不同长度与相应的尺子之间的不变量!
曼得布罗特成功了,这个不变量就是英国海岸线的分维数!
通常我们认为直线是一维的,平面是二维的,但是谁也没有想过曲线是几维的,分形理论告诉我们,这个维数是分数。
这就从根本上掀翻了牛顿-莱布尼茨的微积分理论,他们认为导数、积分只是在整数范围内的,即一次、二次导数,积分、二重积分、三重积分,分形理论告诉我们,可以有1.345次导数、3.1305次导数,6.4232重积分。
牛顿-莱布尼茨的微积分只是曼得布罗特分形理论的特例!
就像牛顿的经典力学只是爱因斯坦的相对论在特定条件下的特例!
所以,在80年代90年代,随之而起的分形与混沌理论主导了学术界,各个学科都将分形与混沌理论与自己嫁接。
在通信(小波变换),信息安全(信息保密技术)、非线性力学等领域有了快速发展。
混沌理论是分形理论的进一步深化,混沌理论的基本思想是“自相似”,特定的条件得到非特定的结果,这与经典力学是相抵触的,经典力学是可知学科,即给定初始条件,既能得到确定的结果,如导弹飞行,卫星环绕地球。
但是有些现象是经典力学不能解释的,如大气运动,尤其是天气的变化,谁也不能准确预测一个地区一个星期以后准确的温度、风向、乃至雷雨天晴,这些是不确定的,是初始条件敏感的,即对于自变量X,给定一个微小的变量dX,经过一些列的变化,因变量Y的结果很差别很大.
分形混沌理论的专著很多,有兴趣的可以到图书馆参考相关书籍
分形几何揭示了复杂事物的形态都具有分形的性质。
它是描述复杂自然形态及其生成的重要数学工具,为人类建构新的自然图景提供科学基础。
自然观与自然科学的发展紧密联系。
任何关于自然界的科学理论,原则上都可以成为建立某种自然观的根据,并形成一种研究纲领。
如随着系统论的出现形成系统世界图象。
随着非平衡态热力学的发展出现自组织世界图象。
分形几何作为描述复杂自然形态及其生成机制的有力工具,又为人类建构新的自然图景提供新的科学依据,形成一种新的自然图景--生成论自然观。
“生成论”是相对“构成论”而言的。
在人类探索宇宙的本原之始,就存在着事物是由本原生成还是由本原构成的争论。
生成论认为事物是由本原生成的,他的变化是“产生”,“消亡”或“转化”;构成论认为事物是由本原构成的,它的变化是要素之间的结合或分离。
芒德勃罗论证道:
像英国海岸线这样极不规则、极不光滑的曲线,其每一级尺度都包含有比上一级更小的细节,并具有与上一级同等程度的复杂性与不规则性,观察的尺度越小,发现并须计入的迂回曲折就越多,海岸线越长。
显然,像英国海岸线这类极其不规则的曲线具有一种相对性:
即它的长度将随观察者的变化而变化,也就是说,其长度取决于观察者选择的尺度单位。
芒德勃罗给这种极不规则,又及其复杂而生动的图形命名为:
Fractal,分形
随着系统科学的深入发展,特别是混沌学的突破,分形研究的范围扩大。
现在,人们不仅将功能、信息、能量等方面具有自相似性特征的对象称为分形,而且发现混沌中深藏的秩序--奇怪吸引子,具有分形的特征。
因此,原来只限于几何形态的数学分形迅速发展为广义分形,并成为科学各领域突破的关键。
在广义分形中,自相似性可以是严格相同的,也可以只是统计意义上的相似。
广义分形的研究进一步揭示出:
分形的本质特征是层次的多重性与不同层次规则的一致性,而自相似性只不过是分形的外在形态表现。
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?
》的著名论文。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。
事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:
连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。
1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。
在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。
自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。
它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。
由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。
分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。
标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。
这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。
分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。
分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。
长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。
对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。
在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。
然而,这种传统的维数观受到了挑战。
曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:
从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。
那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?
显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。
数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。
记作Df,一般的表达式为:
K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。
显然,Df在一般情况下是一个分数。
因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。
英国的海岸线为什么测不准?
因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。
根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。
有了分维,海岸线的长度就确定了。
分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。
作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:
一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。
分形
谁创立了分形几何学?
1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其愿意具有不规则、支离破碎等意义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注,这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点:
⑴从整体上看,分形几何图形是处处不规则的。
例如,海岸线和山川形状,从远距离观察,其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上,图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状,从近距离观察,其局部形状又和整体形态相似,它们从整体到局部,都是自相似的。
当然,也有一些分形几何图形,它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的,还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维?
在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度,1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来:
一方面,我们首先画一个线段、正方形和立方体,它们的边长都是1。
将它们的边长二等分,此时,原图的线度缩小为原来的1/2,而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形,其中的指数1、2、3,正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成,有:
a^D=b, D=logb/loga
的关系成立,则指数D称为相似性维数,D可以是整数,也可以是分数。
另一方面,当我们画一根直线,如果我们用0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是0,因为直线中不包含平面。
那么,用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?
看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。
与此类似,如果我们画一个Koch曲线,其整体是一条无限长的线折叠而成,显然,用小直线段量,其结果是无穷大,而用平面量,其结果是0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于1、小于2,那么只能是小数(即分数)了,所以存在分维。
其实,Koch曲线的维数是1.2618……。
Fractal(分形)一词的由来
据曼德勃罗教授自己说,fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚,他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时,突然想到的。
此词源于拉丁文形容词fractus,对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”)。
此外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根。
在70年代中期以前,曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。
因此,取拉丁词之头,撷英文之尾的fractal,本意是不规则的、破碎的、分数的。
曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮云,九曲回肠的河流,纵横交错的血管,令人眼花僚乱的满天繁星等。
它们的特点是,极不规则或极不光滑。
直观而粗略地说,这些对象都是分形。
分形的定义
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义:
(1)满足下式条件
Dim(A)>dim(A)
的集合A,称为分形集。
其中,Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数),dim(A)为其拓扑维数。
一般说来,Dim(A)不是整数,而是分数。
(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。
然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。
实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。
对分形的定义也可同样的处理。
(i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节,或者说它具有精细的结构。
(ii)分形集不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些条件的点的轨迹,也不是某些简单方程的解集。
(iii)分形集具有某种自相似形式,可能是近似的自相似或者统计的自相似。
(iv)一般,分形集的“分形维数”,严格大于它相应的拓扑维数。
(v)在大多数令人感兴趣的情形下,分形集由非常简单的方法定义,可能以变换的迭代产生。
分形几何
普通几何学研究的对象,一般都具有整数的维数。
比如,零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。
最近十几年的,产生了新兴的分形几何学,空间具有不一定是整数的维,而存在一个分数维数,这是几何学的新突破,引起了数学家和自然科学者的极大关注。
分形几何的产生
客观自然界中许多事物,具有自相似的“层次”结构,在理想情况下,甚至具有无穷层次。
适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构并不改变。
不少复杂的物理现象,背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的尺度去测量。
用尺来测量万里长城,嫌太短;用尺来测量大肠杆菌,又嫌太长。
从而产生了特征长度。
还有的事物没有特征尺度,就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度(或者叫标度),这叫做“无标度性”的问题。
如物理学中的湍流,湍流是自然界中普遍现象,小至静室中缭绕的轻烟,巨至木星大气中的涡流,都是十分紊乱的流体运动。
流体宏观运动的能量,经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡,最后转化成分子尺度上的热运动,同时涉及大量不同尺度上的运动状态,就要借助“无标度性”解决问题,湍流中高漩涡区域,就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。
这依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加,但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。
由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。
海岸线在大小两个方向都有自然的限制,取不列颠岛外缘上几个突出的点,用直线把它们连起来,得到海岸线长度的一种下界。
使用比这更长的尺度是没有意义的。
还有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是没有意义的。
在这两个自然限度之间,存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区,长度不是海岸线的定量特征,就要用分维。
数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发,始终保持面积不变,把它的“海岸线”变成无限曲线,其长度也不断增加,并趋向于无穷大。
以后可以看到,分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量,即海岸线的分维均介于1到2之间。
这些自然现象,特别是物理现象和分形有着密切的关系,银河系中的若断若续的星体分布,就具有分维的吸引子。
多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型,都是分形的研究对象。
这些促使数学家进一步的研究,从而产生了分形几何学。
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。
这座具有无穷层次结构的宏伟建筑,每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊,促使数学家和科学家深入研究。
法国数学家曼德尔勃罗这位计算机和数学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。
他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal geometry of nature)》,开创了新的数学分支——分形几何学。
“分形”(fractal)这个词正是曼德尔勃罗(Mandelbrot)在1975年造出来的,词根是拉丁文的fractus,是“破碎”的意思。
分形几何的内容
分形几何学的基本思想是:
客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似性。
例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。
这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构不变。
维数是几何对象的一个重要特征量,它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。
在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。
也可以稍加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,对于更抽象或更复杂的对象,只要每个局部可以和欧氏空间对应,也容易确定维数。
但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论认为维数也可以是分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度,1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
维数和测量有着密切的关系,下面我们举例说明一下分维的概念。
当我们画一根直线,如果我们用 0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是 0,因为直线中不包含平面。
那么,用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?
看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。
对于我们上面提到的Koch曲线,其整体是一条无限长的线折叠而成,显然,用小直线段量,其结果是无穷大,而用平面量,其结果是 0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于 1、小于 2,那么只能是小数了,所以存在分维。
经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。
分形几何学的应用
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。
如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。
布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。
只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。
这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。
这种布朗粒子轨迹的分维是 2,大大高于它的拓扑维数 1。
在某些电化学反应中,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。
受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分维。
自然界中更大的尺度上也存在分形对象。
一枝粗干可以分出不规则的枝杈,每个枝杈继续分为细杈……,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。
有人研究了某些云彩边界的几何性质,发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。
小于 1公里的云朵,更受地形概貌影响,大于1000公里时,地球曲率开始起作用。
大小两端都受到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区,这已经足够了。
分形存在于这中间区域。
近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测得了混沌吸引子,并从实验数据中计算出它们的分维。
学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。
分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。
开放分类:
数学、计算机、物理学、分形
参考资料:
1.
2.《自然界的分形几何》(Mandelbrot)分形定义
分形难下确切的定义.分形的原意是“不规则的,分数的,支离破碎的”,故又可称为“碎形”.分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸,其局部与整体的整个精细结构,形态,性质等不因此而发生改变(统计)的形体,体系、分形是整体与局部在某种意义下:
大小尺度之间的对称性与统一性的集合,是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观,非二分法的产物,是有规则的不规则性.分形是没有特征长度,但具有一定意义(广义)下的自相似图形,结构,性质和形态的总称.
分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.也就是说,在分形中,每一组成部分都在特征上和整体相似.
除了自相似性以外,分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性.即无论放大多少倍,图象的复杂性依然丝毫不会减少.但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似.这告诉我们:
其实,分形并不要求具有完全的自相似特性.
分形的数学定义
定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt,
即Dh>Dt
则称该集合为分形集,简称为分形.(Dh≥Dt)
这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的,四年后他又提出了一个实用的定义.
定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形.
它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:
局部与局部,局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.
要完整地理解分形还必需知道它的一些特性.
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形.一般地说,分形具有以下一些特征:
该集合具有精细的结构,即有任意小比例的细节(无限可分性);该集合整体与局部间有某种自相似性;分形集合的分形维数一般不是整数,而是分数,且一般大于它的拓扑维数;分形集合是如此的不规则,以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述;在大多数情况下,分形集合可以以非常简单的方法来定义,可能由迭代产生;通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的..具体的说有下面几个特征.
(1)自相似性
是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:
在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形.自相似性的数学表示为:
f(λr)=λαf(r),或 f(r)~rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度.
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数
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