计量经济学习题与解答.docx

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计量经济学习题与解答

第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法

练习题

1、请描述平稳时间序列的条件。

2、单整变量的单位根检验为什么从DF检验发展到ADF检验？

3、设兀=§cos*+〃sin6tOS/Sl,其中乡〃是相互独立的正态分布N（0,bj随机变

量，&是实数。

试证：

｛x,,O

4、用图形及0“法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下:

年份

居民消费总额

年份

居民消费总额

年份

居民消费总额

1978

1759.1

1987

5961.2

1995

26944.5

1979

2005.4

1988

7633.1

1996

32152.3

1980

2317.1

1989

8523.5

1997

34854.6

1981

2604.1

1990

9113.2

1998

36921.1

1982

2867.9

1991

10315.9

1999

39334.4

1983

3182.5

1992

12459.8

2000

42895.6

1984

3674.5

1993

15682.4

2001

45898.1

1985

4589

1994

20809.8

2002

48534.5

1986

5175

5、利用4中数据，用ADF法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。

6、利用4中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。

7、根据6中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。

8、用YuleWalker法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序列模型估计，并比较估计结果。

9、有如下AR

（2）随机过程：

Xt=O」X-+0.06X—+£

该过程是否是平稳过程？

10、求MA⑶模型儿=1+乞+O&--0・5匕J+0.3"一3的自协方差和自相关函数。

11>设动态数据兀]=0・&兀2=0.7,x3=0.9*4=0・74山5=0.82,x6=0.92,x1=0.7&占=0・86心=072內0=0%求样本均值无，样本方差九，样本自协方差久、几和样

本自相关函数A、爲。

12、判断如下ARMA过程是否是平稳过程：

xt=0・7x_i—0.lx—?

+爲一0・14£_[

13、以0表示粮食产疑，4表示播种而积，C,表示化肥施用量，经检验，他们取对数后都是I

（1）变量且相互之间存在ci（1,1）关系。

冋时经过检验并剔除了不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型^

InQ=a（）+axInQ^x+a1InAt+InCz+a4InCt^+/<

推导误差修正模型的表达式，并指岀误差修正模型中每个待估参数的经济意义。

14、固定资产存量模型Kt=a{}+aIXT,_1+a2/f+a3Z,_1+/<中，经检验，

K,~/

（2）,人~/

（1）,试写出由该ADL模型导出的误差修正模型的表达式。

15、以下是天津食品消费相关数据，试完成误差修正模型的建立

年份

人均食物年支岀

人均年生活费收入

职工生活费用左基价格指数

1950

92.28

151.2

1

1951

97.92

165.6

1.145

1952

105

182.1

1.16332

1953

118.08

198.48

1.254059

1954

121.92

203.61

1.275378

1955

132.96

211.68

1.275378

1956

123.84

206.28

1.272827

1957

137.88

225.48

1.295738

1958

138

226.2

1.281485

1959

145.08

236.88

1.280203

1960

143.04

215.4

1.296816

1961

155.1

210

1.445984

1962

144.21

234.84

1.448875

1963

132.72

232.68

1.411205

1964

136.2

238.56

1.344878

1965

141.12

239.88

1.297807

1966

132.84

239.04

1.287425

1967

139.2

237.18

1.2797

1968

110.76

239.1

1.27842

1969

133.56

248.04

1.286091

1970

144.6

261.48

1.274516

1971

151.2

274.08

1.271967

1972

163.2

286.68

1.271967

1973

165

288

1.277055

1974

170.52

293.52

1.273224

1975

170.16

301.92

1.274497

1976

177.36

313.8

1.274497

1977

181.56

330.12

1.278321

1978

200.4

361.44

1.278321

1979

219.6

398.76

1.291101

1980

260.76

191.76

1.35695

1981

271.08

501

1.374591

1982

290.28

529.2

1.381461

1983

318.48

552.72

1.388371

1984

365.4

671.16

1.413362

1985

418.92

811.8

1.598512

1986

517.56

988.44

1.707211

1987

577.92

1094.61

1.823301

1988

665.76

1231.8

2.131439

1989

756.24

1371.6

2.44476

1990

833.76

1522.2

2.518103

参考答案

1、如果时间序列｛X,｝满足下列条件：

1）均值E（Xf）=/z与时间t无关的常数：

2）方差var（Xf）=o2与时间t无关的常数：

3）协方差cov（X,X,+A）=/A.只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。

则称该随机时间序列是平稳的。

2、在使用DF检验时，实际上假左了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程

（AR

（1））生成的。

但在实际检验中，时间序列可能是由更髙阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现岀随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。

另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。

为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF检验。

3、E（xf）=cos^E（^）+sin^£（7/）=0

rk=E（xl+kxt）=E｛[歹cos&（/+k）+〃sin+k）][gcos价+“sin协]｝

=cos&（f+k）cos价）+sin&（f+£）sin）+cos&（/+灯sin价E（g〃）+sin0（t+k）cos&E©]）

=cr'[cos&（/+k）cos&+sin0（/+切sin价]

=

var（Xf）=q）

所以｛xf,0

4、居民消费总额时间序列图:

序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。

居民消费总额时间序列相关图及相关系数、0』统il涅：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-Stat

0.8880.888

0767-0.105

0.642-0.087

0.518-0.068

0.391-0.096

0.260-0.110

0.130-0.100

0.016-0.034

9-0.075-0.003

10-0.145-0.006

11-0.200-0.025

12-0.246-0.052

从图中可以看岀，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。

滞后12期的0“统计量计算值为75.18,超过了显著性水平概时的临界值21.03,因此进一步否泄了该时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。

这样，结论是19712002年间居民消费总额时间序列是非平稳序列。

5、经过偿试，模型3取了3阶滞后：

AX,=-894.85+195.14T-0.06X_+1.24AX_-O.78AX;_2+0.23AX,_3

（-1・37）（2.17）（-1.68）（5.17）（-2・33）（0.94）

DW值为2.03,可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设左是正确的。

从X-的参数值看，其t统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的

零假设。

同时，由于时间T的

t统计量也小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。

需进一步检验模型2。

经试验，模型2中滞后项取3阶：

AX;=401.61+0.01+1.43AX一一0.95AX一2+0.30AX*

（1.38）（0.33）（5.84）（-2.62）（1.14）

DW值为2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设立是正确的。

从X一的参数值看,其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。

同时，常数项的t统汁量也小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。

需进一步检验模型1。

经试验，模型1中滞后项取3阶：

AXf=0.01X,_1+1.53AX--1.02AX一2+°・35AX一3

（0.63）（6.35）（-2.77）（1.29）

DW值为1.99,残差不存在自相关性，因此模型的设泄是正确的。

从X-的参数值看，苴t统讣量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。

至此，可断左居民消费总额时间序列是非平稳的。

6、利用ADF检验，经过试算，发现居民消费总额是2阶单整的，适当的检验模型为：

A3%,=-0.854A2X,_1+0.471A3X,_,

（-3.87）（2.30）

Correlogram-Q-Statisties检验证明随机误差项已不存在自相关。

从的参数值看，其t统计量绝对值3.87大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是2阶单整的。

7、居民消费总额经二阶差分后的新序列X2的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如图所示：

解为：

@=0.606,@=-0・479

用OLS法回归的结果为：

X2f=0.617X2^-0.471X2—+吕

（3.04）（-2.30）

R=0.348・=0.313DW.=2.08

加入常数项，回归如下式

X2f=111.022+0.607X2--0.488X2」+5

（0.62）（2.94）（-2.32）

/?

2=0.361・斤2二0・291DW.=2.11

对三个模型的残差进行检验，得到Q统汁量如下:

模型1

模型2

模型3

K

Q-Stat

Prob

Q-Stat

Prob

Q-Stat

Prob

1

0.0841

0.772

0.1148

0.735

0.0907

0.763

2

0.0895

0.956

0.1152

0.944

0.1026

0.950

3

0.9892

0.804

1.0126

0.798

0.9749

0.807

4

1.0183

0.907

1.0617

0.900

1.0028

0.909

L

□

2.6985

0.746

2.6512

0.754

2.7479

0.739

6

2.7094

0.844

2.6576

0.850

2.7619

0.838

7

2.8169

0.901

2.7548

0.907

2.8818

0.896

8

3.0768

0.929

3.0178

0.933

3.1443

0.925

9

3.8631

0.920

3.8441

0.921

3.9191

0.917

10

4.0039

0.947

3.9791

0.948

4.0716

0.944

11

4.1488

0.965

4.1146

0.966

4.2239

0.963

12

4.5853

0.970

4.5731

0.971

4.6569

0.968

可见，三个模型的残差序列都接近于白噪声。

9、

1-0・辽-0・06/=0

特征方程为：

（l+0.2z）（l-0.3z）=0

Z\=5,乙2=10/3

特征方程的根都在单位圆外，所以该过程是平稳的。

q=—O.&Q=0.5,伏=—0.3

/0=（1+厌+0；+0-）cr；=[1+（-O.8）2+0.52+（—0.3）2Q：

=1.98b：

/,=（—q+&02+&2&3）b：

=[0.8+0.5x（-0.8）+0.5x（-0.3）]b；=0.25b；

/2=（~02+0}0.）0-;=[-0.5+（-0.3）x（-0.8）]

人==OR：

rk=0,k>3

Qoi

P\=yjG=0.126

p产yJa=-o.i3i

Pi=/3/r（）=0.152

11、

110i1（）

yyg沪關（n.004976

A=兀-轨J-元）=-0.0026784

1Ur.l

18

兀=亦工a一无）（兀+2-元）=。

•昭了丄1U

12、xt=0.7為-一0.\xt_2+£t-0.14^

ARMA模型的平稳性取决于AR部分的平稳性。

对于AR部分，特征方程为：

1-O.7Z+O.U2=0

Z\=2今e=5

特征方程的根都在单位圆外，所以该AR过程是平稳的，可知ARMA过程也是平稳的。

13、

△InQt=InQ-InQ—=+（內_1）InQ-】+a2（lnAf-In4」）+a2In+a3（lnCt-InC—）

+（a3+a4）hyC^}+“『

=aQInAf+a&In_（1_a】）（lnQ」_InA/_I_1"4InC_J+//r

l_Qi1_41-«!

短期播种而积变化1%,将引起粮食产量变化a用：

短期化肥施用量变化1%将引起粮食产

■

量变化«3%：

-（1-內）的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。

14、

K,-Kt_}=aQ+a2It+a3I,_{+“，令一④K一]=D,,则

A£>,=D,-£>,_!

=a（）+a2I,+aiI,_l-D,_l+“=a（）+（a2+ai）Il_i+a2（I,-1,^）-D,^+“=^A/f-a0~（a2+巾”1）

即△（«-a1ATz_1）=a2A/,-[（K--axK,_2）-aQ-（a2+a3）1,]+A,

15、

（1）、初步分析

首先，将人均食品支出和人均年生活费收入消除物价变动的影响，得到实际人均年食品支岀

C和实际人均年生活费收入Y；然后对C和Y分别取对数，记c=lnC,y=ln¥

（2）、单整的单位跟检验

容易验证InC与InGDP是一阶单整的，它们适合的检验模型如下：

A2c,=-0.736Acf_]

（-4.723）

DW=2.03

A2yt=-0.425Ayf-1-0.173A2yt_}+0.070A2yt_2

（-2.332）

DW=1.89

在5%的显著性水平下，上述两方程的ADF检验临界值分别为-1.95与-1.95o

（3）、协整检验

首先，建立c与y的回归模型

c,=-0.077+0.912”

（-1.15）（75.61）

尺‘二0.993D肛1.18

残差项的稳泄性检验：

△g=-0.5982-

（-4.03）

R?

=0.294DW=1.97

这里的t检验值小于5%显著性水平下的ADF临界值-1.95,说明c与y是（1,1）阶协整的，

误差修正项ECM口=（c+0.077-0.912y）,_,

（4）、建立误差修正模型

以c的差分Ac为被解释变呈:

，以的各阶滞后，y的差分△），及其各阶滞后和误差修正项

为解释变量，利用0LS法进行估计并剔除不显著的解释变量，得误差修正模型：

Ac;=0.777△儿_0.641ECM一+耳

二0.716DW二1.933

由协整检验可知，食品消费与收入之间具有长期均衡关系：

模型中误差修正项的系数达到了-0.641•说明收入与食品消费之间的长期均衡机制对消费的变化具有强烈的制约作用。

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