高一北师大版数学必修1同步练习25简单的幂函数.docx
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高一北师大版数学必修1同步练习25简单的幂函数
2-5简单的幂函数
基础巩固
一、选择题
1.下列说法中不正确的是( )
A.图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图像一定过原点
C.偶函数的图像若不经过原点,则它与x轴交点的个数一定是偶数个
D.图像关于y轴呈轴对称的函数一定是偶函数
[答案] B
[解析] ∵奇函数的图像不一定过原点,如y=
,故应选B.
2.已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+2x,则当x<0时,f(x)=( )
A.x2+2xB.x2-2x
C.-x2-2xD.-x2+2x
[答案] D
[解析] 令x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,
又∵f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-(x2-2x)=-x2+2x.
3.下列函数中,在(-∞,0)上是增函数的是( )
A.y=x3B.y=x2
C.y=
D.y=x
[答案] A
[解析] 结合函数图像,易知y=x3在(-∞,0)上为增函数,故选A.
4.函数y=(m2-m-1)x-5m-3为幂函数,则实数m的值为( )
A.m=2B.m=-1
C.m=-1或m=2D.m=0
[答案] C
[解析] 由幂函数的定义可得m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
5.给定下列命题:
①当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线
②幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点
③幂函数y=xα的图像不可能在第四象限内
④若幂函数y=xα为奇函数,则y=xα为定义域内的增函数
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] B
[解析] 由幂函数的图像和性质知只有③是正确的.
6.(2012·济宁高一检测)设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是( )
A.{x|-3
B.{x|x<-3或0 C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3 [答案] B [解析] x>0时f(3)=-f(-3)=0, 又∵f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴x∈(0,3)时f(x)<0, 又∵f(x)为奇函数.当x<0时,只有x∈(-∞,-3)时,f(x)<0,故选B. 二、填空题 7.已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,则f(-2)、f (1)、f(-3)的大小关系是____________. [答案] f (1) [解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(-2)=f (2),f(-3)=f(3), ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,且1<2<3, ∴f (1) (2) (1) 8.函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(x)的解析式为________. [答案] f(x)=x3 [解析] 根据幂函数定义,得m2-m-1=1, 解得m=2或m=-1. 当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数; 当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不合题意.故f(x)=x3. 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x2; (2)f(x)=0; (3)f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2; (4)f(x)= ; (5)f(x)= . [解析] (1)函数的定义域为R,它关于原点对称, 但f(-x)=-x3+x2与-f(x)和f(x)都不相等, 所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为R,它关于原点对称, 因为f(-x)=0,f(x)=0, 即f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)同时成立. 所以f(x)=0既是奇函数又是偶函数. (3)函数的定义域为R, f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2=x3+3x, f(-x)=-x3-3x=-f(x).故f(x)是奇函数. (4)定义域为{x∈R,x≠0},而当x>0时,-x<0, f(-x)=-x(1-x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1+x)=-f(x); ∴f(-x)=-f(x).故f(x)是奇函数. (5)法一: 函数的定义域为实数集R,且 f(-x)+f(x)= + = = =0, ∴f(-x)=-f(x),故f(x)在R上是奇函数. 法二: 当x≠0时,f(x)≠0,此时 = = = = =-1, 即f(-x)=-f(x).当x=0时,f(-0)=0=-f(0). ∴f(x)在R上为奇函数. 能力提升 一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=x C.y=|x|+1D.y=-x2+1 [答案] C [解析] 对于A,y=x3是奇函数,A错误;对于B,定义域为[0,+∞),因此不是偶函数,B错误;对于C,在(0,+∞)上单调递增,且为偶函数,故C正确;对于D,在(0,+∞)上为减函数,D错误. 2.(2012·泰安模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是( ) A.f(0)>f (1)B.f(0)>f (2) C.f (1)>f (2)D.f (1)>f(3) [答案] D [解析] ∵函数y=f(x+2)为偶函数, 令g(x)=f(x+2), ∴g(-x)=f(-x+2)=g(x)=f(x+2), ∴f(x+2)=f(2-x), ∴函数f(x)的图像关于直线x=2对称, 又∵函数f(x)在(2,+∞)上为增函数, ∴在(-∞,2)上为减函数,利用距对称轴x=2的远近可知, f(0)>f (1)、f(0)>f (2)、f (1)>f (2),f (1)=f(3). 二、填空题 3.已知f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)= ,则f(x)=__________;g(x)=______. [答案] [解析] ∵f(x)+g(x)= , ∴f(-x)+g(-x)= . 又∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(x)-g(x)= , 由 ,解之得 . [答案] ⑥④③②⑦①⑤ [解析] 由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知,a<0,而第一个图像关于原点对称,为奇函数,第二个图像关于y轴对称,为偶函数;第三个在y轴左侧无图像,故这三个图像分别填⑥④③. 由第四、五、六个图像在第一象限的特征知,0<α<1,再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①. 第七个图像对应的幂指数大于1,故填⑤. 三、解答题 5.比较下列各组数的大小: [分析] 比较幂值的大小,可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较.对于 (1), (2),(3)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较,而(4)可找中间量进行比较. [解析] <3.1, 6.已知函数f(x)= (a、b、c∈Z)是奇函数,并且f (1)=2,f (2)<3,求a、b、c. [分析] 根据定义,应使f(x)+f(-x)=0对定义域内的任意x恒成立的式子即为恒等式. [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 =- , ∴ =0, 即 =0. ∵ax2+1不恒为0,∴c=0. 又∵f (1)=2, ∴ =2.∴a+1=2b. 又∵f (2)<3,∴ <3. 将2b=a+1代入上式 <3,得 <0. ∴-1 ∵a∈Z,∴a=0,或a=1. 而a=0,b= 与b∈Z矛盾,故舍之. ∴a=1,b=1,c=0. 7. (1)定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数,且f(1-a)+f(1-a2)>0,求实数a的取值范围. (2)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)为减函数,若g(1-m) [解析] (1)∵f(1-a)+f(1-a2)>0, ∴f(1-a)>-f(1-a2). ∵f(x)是奇函数, ∴f(1-a)>f(a2-1). 又∵f(x)在(-1,1)上为减函数, ∴ 解得1 . (2)因为函数g(x)在[-2,2]上是偶函数, 则由g(1-m) 又当x≥0时,g(x)为减函数,得到 即 解之得-1≤m< .
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- 北师大 数学 必修 同步 练习 25 简单 函数