数学初中竞赛逻辑推理专题训练含答案.docx
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数学初中竞赛逻辑推理专题训练含答案
数学初中竞赛逻辑推理专题训练
一.选择题
1.某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念(站成一行),若老师站在中间,则不同的站位方法有( )
A.6种B.120种C.240种D.720种
2.钟面上有十二个数1,2,3,…,12.将其中某些数的前面添上一个负号,使钟面上所有数之代数和等于零,则至少要添n个负号,这个数n是( )
A.4B.5C.6D.7
3.仪表板上有四个开关,每个开关只能处于开或者关状态,如果相邻的两个开关不能同时是开的,那么所有不同的状态有( )
A.6种B.7种C.8种D.9种
4.小明训练上楼梯赛跑.他每步可上2阶或3阶(不上1阶),那么小明上12阶楼梯的不同方法共有( )
(注:
两种上楼梯的方法,只要有1步所踏楼梯阶数不相同,便认为是不同的上法.)
A.15种B.14种C.13种D.12种
5.如图,2×5的正方形网格中,用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖,则不同的覆盖方法有( )
A.3种B.5种C.8种D.13种
6.﹣2和2对应的点将数轴分成3段,如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段,那么n的最小值是( )
A.5B.6C.7D.8
7.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则.如图,堆栈
(1)的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a,b;堆栈
(2)的3个连续存储单元已依次存人数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e,现在要从这两个堆栈中取出这5个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )
A.5种B.6种C.10种D.12种
8.用六根火柴棒搭成4个正三角形(如图),现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后,到了C点,则不同的爬行路径共有( )
A.4条B.5条C.6条D.7条
9.将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色,并使每条边的两端异色,若共有3种颜色可供使用(并不要求每种颜色都用上),则不同的涂色方法为( )种.
A.6B.12C.18D.24
10.如图所示,韩梅家的左右两
侧各摆了3盆花,韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花,先选择左侧还是右侧,然后搬该侧离家最近的,要把所有的花搬到家里,共有( )种不同的搬花顺序.
A.8B.12C.16D.20
11.如图,在一块木板上均匀钉了9颗钉子,用细绳可以像图中那样围成三角形,在这块木板上,还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形,则x的值为
( )
A.8B.12C.15D.17
12.初二
(1)班有37名学生,其中参加数学竞赛的有30人,参加物理竞赛的有20人,有4人没有参加任何一项竞赛,则同时参加这两项竞赛的学生共有( )人.
A.16B.17C.18D.19
二.填空题
13.湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕,歌手韩红夺得歌王称号.在这个节目中,每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的,每场比赛每位大众评委有3张票(必须使用)以投给不同的3位歌手.在某一场比赛中,假设全部票都有效,也不会产生并列冠军,那么要夺得冠军至少要
获得 张票.
14.如图,在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子,如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格,那么这枚棋子走28步后 到达B处.(填“一定能”或“一定不能”或“可能”)
15.将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,每个盒子中装有相同颜色的小球.已知:
(1)黄盒中的小球比黄球多;
(2)红盒中的小球与白球不一样多;
(3)白球比白盒中的球少.
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 .
16.在表达式S=
中,x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列(即:
x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数,且x1、x2、x3、x4互不相同).则使S为实数的不同排列的种数有 种.
17.如图,一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物,要求同一个区域中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物,现有4种不同的植物可供选择,那么有 种栽种方案.
18.6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛,其中2人穿红色的,2人穿黄色的,1人穿蓝色的,1人穿黑色的.每次表演选3人出场,且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛,具体规则是:
(1)出场的“3人组”中若服装均不相同,则每两人都进行1局比赛,且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛.
(2)出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手,则这2名选手之间不比赛,并且只派1人与另1名选手进行1局比赛.
按照这样的规则,当所有不同的“3人组”都出场后,共进行了 局比赛.
19.将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中,每格一个数.如果某格所填的数至少大于同行中的5个,且至少大于同列的5个,那么就将这个格子涂上红色.涂上红色的格子最多 个.
三.解答题
20.120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问:
这次竞赛至少有几人获奖?
21.某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长.元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡.问这间宿舍里住有多少位学生.
22.世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛,采用单循环赛制(即每两个队之间要进行一场比赛),每场比赛获胜的一方得3分,负的一方得0分,如果两队战平,那么双方各得1分,小组赛结束后,积分多的前两名从小组出线.如果积分相同,两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名,确保有两支队伍出线.
(1)某队小组比赛后共得6分,是否一定从小组出线?
(2)某队小组比赛后共得3分,能从
小组出线吗?
(3)某队小组比赛后共得2分,能从小组出线吗?
(4)某队小组比赛后共得1分,有没有出线的可能?
23.把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次,得到一个小长方形,宽仍然是1厘米,长是整数厘米.然后,从小长方形的一端起,每隔1厘米剪一刀,最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片.如果这些纸片中恰好有1282块正方形,那么,对折的此数n共有多少种不同的数值?
24.圆周上的十个点将圆周十等分,连接间隔两个点的等分点,共得到圆的十条弦,它们彼此相交,构成各种几何图形.图中有多少个平行四边形?
25.足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成,已知有12块正五边形,则正六边形的块数是?
26.在m(m≥2)个不同数的排列P1P2P3…Pm中,若1≤i<j≤m时,Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n﹣1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列4321的逆序数a3=6.
(1)求a4、a5,并写出an的表达式(用n表示,不要求证明);
(2)令bn=
+
﹣2,求b1+b2+…bn并证明b1+b2+…bn<3,n=1,2,….
参考答案
一.选择
1.解:
老师在中间,故第一位同学有6种选择方法,第二名同学有5种选法,第三名同学有4种选法,第四名同学有3种选法,第五名同学有2种选法,第六名同学有1种选法,
所以共有6×5×4×3×2×1=720种.
故选:
D.
2.解:
因为1+2+3+…+11+12=78,
所以78÷2=39,也就是添上负号的数的和为﹣39,其余数的和为39使代数和等于零,
要填负号最少,首先从大数前面加负号,
因此﹣10﹣11﹣12=﹣33,﹣33﹣6=﹣39,
由此得到至少要添4个负号.
故选:
A.
3.解:
我们用O表示开的状态,F表示关的状态,
则各种不同的状态有OOOO,OOOF,OOFO,OFOO,FOOO,FOFO,OFOF,FOOF共8种状态.
故选:
C.
4.解:
设小明上n阶楼梯有an种上法,n是正整数,则a1=0,a2=1,a3=1.
由加法原理知an=an﹣2+an﹣3,n≥4.
递推可得a4=a2+a1=1,
a5=a3+a2=2,
a6=a4+a3=2,
a7=a5+a4=3,
a8=a6+a5=4,
a9=a7+a6=5,
a10=a8+a7=7,
a11=a9+a8=9,
a12=a10+a9=12.
故选:
D.
5.解:
如图所示,直线代表一个1×2的小矩形纸片:
1+4+3=8(种).
答:
不同的覆盖方法有8种.
故选:
C.
6.解:
∵令每个抽屉最多有2个点,则最多有6个点,
∴n≥7.
故选:
C.
7.解:
先取出堆栈
(1)的数据首次取出的只能是a,可以有下列情况,
abcde,acbde,acdbe,acdeb四种情况;
先取出堆栈
(2)的数据首次取出的只能是c,可以有下列情况,
cdeab,cdabe,cdaeb,cabde,caedb,cadeb六种情况,
综上所知,共10种取法.
故选:
C.
8.解:
从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后,到了C点,不同的爬行路径有
:
①AB﹣BC﹣CA﹣AD﹣DC;②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC;③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC;④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC;⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC;⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC.
共有6条.
故选:
C.
9.解:
设供选用的颜色分别为1,2,3
;
当A选1时,有两种情况:
①C与A的颜色相同时,B、D的选法有:
一、B选2,D选3;二、B选3,D选2;三、B选2,D选2;四、B选3,D选3;
共4种涂色方法;
②C与A的颜色不同时,选法有:
一、C选2,B、D选3;二、C选3,B、D选2;
共2种涂色方法;
因此当A选1时,共有2+4=6种涂色方法;而A可选1、2、3三种颜色;
因此总共有3×6=18种涂色方法.故选C.
10.解:
韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花,左侧和右侧分别只能选择三次,
我们将三个左和三个右组成的排列(例如:
左左右左右右是一种情况)分别对应一种搬花的顺序,
并且不同的排列对应不同的搬花顺序,所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同,
故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数,对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数,
这样的个数一共有
=20.
故选:
D.
11.解:
如图所示:
将图形分成①、②、③、④四部分,
第①个小正方形中符合题意的三角形有3个;
第②个小正方形中符合题意的三角形有4个;
第③个小正方形中符合题意的三角形有4个;
第④个小正方形中符合题意的三角形有4个;
综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形,即x=15.
故选:
C.
12.解:
设同时参加两项竞赛的学生有x人,根据题意可列出方程:
37=30+20+4﹣x,
解得x=17(人);
故选:
B.
二.填空
13.解:
∵(500×3)÷7=214(张)…2(张),
又∵全部票都有效,也不会产生并列冠军,
∴夺得冠军至少要获得票数=214+2=216(张)
故答案为:
216.
14.解:
棋子每走一步都有2一4种可能的选择,所以该棋子走完28步后,可能出现的情况十分复杂.
如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类,且使每个黑格的四周都是白格,那么,棋子从黑色A格出发,第一步必定进人白格;
第二步必定进人黑格,第三步又进入白格…
也就是说棋子走奇数步时进人白格;
走偶数步时,进人黑格,
所以当棋子从A格出发28步后,必定落在黑格.
故这枚棋子走28步后可能到达B处.
故答案为:
可能.
15.解:
由条件
(2)知红盒不装白球,由条件(3)知白盒不装白球,故黄盒装白球.
假设白盒装黄球,由条件(3)知白球比黄球少,这与条件
(1)矛盾,故白盒装红球,
红盒装黄球.
故答案为:
黄、红、白.
16.解:
∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0,
∴x1+x3≥x2+x4;
符合条件的排列数是:
P44﹣C42P22=24﹣8=16(种)
故答案为:
16.
17.解:
若A,C种同一种植物,则A,C有4×1种栽种方法,B,D都有3种栽种法,共有4×3×3=36种栽种方案;
若A,C种不同的植物,则有4×3种栽种法,B,D都有2种栽种法,一共有4×3×2×2=48种栽种法.
所以共有36+48=84种.
故答案为:
84.
18.解:
将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l1、l2;将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l3、l4;将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l5、l6、且与l1、l2、l3、l4均相交,这就得到了图1,图中无三线共点.
(1)“3人组”的服装均不相同时,按规则,对应着3条直线两两相交,其比赛局数恰为图中的线段数(图2)因为l1、l2、l3、l4上各有4个交点,每条直线有6条线段,共有24条线段.
(2)当“3人组”有2人服装相同,按规则,其比赛局数恰好为图中的线段数(图3)因为l5、l6上各有5个交点,每条直线上都有10条线段,共得20条线段.
两种情况合计,总比赛局数为44局.
故答案为:
44.
19.解:
因为一行有8个数,至多有3个数可以大于同行的5个数,只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时,
涂上红色,所以一行最多有3个涂上红色,8行最多有3×8=24个涂上红色,如图所示:
1所在位置,都可以涂成红色.
故答案为:
24.
三.解答
20.解:
将这120人分别编号为P1,P2,…,P120,
并视为数轴上的120个点,用Ak表示这120人之中未答对第k题的人所成的组,
|Ak|为该组人数,k=1,2,3,4,5,
则|A1|=24,|A2|=37,|A3|=46,|A4|=54,|A5|=85,
将以上五个组分别赋予五种颜色,
如果某人未做对第k题,
则将表示该人点染第k色,k=1,2,3,4,5,
问题转化为,求出至少染有三色的点最多有几个?
由于|A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|=246,
故至少染有三色的点不多于
=82个,
图是满足条件的一个最佳染法,
即点P1,P2,…,P85这85个点染第五色;
点P1,P2,…,P37这37个点染第二色;
点P38,P39,…,P83这46个点染第四色;
点P1,P2,…,P24这24个点染第一色;
点P25,P26,…,P78这54个点染第三色;
于是染有三色的点最多有78个.
因此染色数不多于两种的点至少有42个,
即获奖人数至少有42个人(他们每人至多答错两题,而至少
答对三题,例如P79,P80,…,P120这42个人).
答:
获奖人数至少有42个人.
21.解:
设有x个学生,y个管理员.
该宿舍每位学生与赠一张贺卡,那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张,那么总共就用去了x(x﹣1)张贺卡;
每个人又赠给每一位管理员一张贺卡,那么就用去了xy张贺卡;
每位管理员也回赠舍长一张贺卡,那么就用去了y张贺卡;
∴x(x﹣1)+xy+y=51,
∴51=x(x﹣1)+xy+y=x(x﹣1)+y(x+1)≥x(x﹣1)+x+1=x2+1(当y=1时取“=”),
解得,x≤7;
x(x﹣1)+(x+1)y=51
∵51是奇数,而x和x﹣1中,有一个是偶数,
∴x(x﹣1)是偶数,
∴(x+1)y是奇数,
∴x是偶数,
而x≤7,所以x只有246三种情况;
当x=2时,y=
(不是整数,舍去);
当x=4时,y=
(不是整数,舍去);
当x=6时,y=3.
所以这个宿舍有6个学生.
22.解:
(1)不一定.
设四个球队分别为A、B、C、D,
如四个球队的比赛结果是A战胜了B,D,
而B战胜了C,D,C战胜了A,D,D在3场比赛中都输了,
这样,小组赛之后,ABC三个球队都得6分,D队积0分,
因此小组中的第三名积分是6分,
∴不能出线;
(2)有可能出线.
如A在3场比赛中获得全胜,而B战胜了C,C战胜了D,
D战胜了B,这样,小组赛之后,A积9分,B、C、D都积3分,
因此这个小组的第二名,一定是3分出线;
(3)有可能出线.
如A队三战全胜,B、C、D之间的比赛都战平,
这样这个小组的第二名的积分一定是2分,
自然有出线的可能.
(4)不可能出线.
如果只得1分,说明他的3场比赛成绩是1平2负,
而他负的两个球队的积分至少是3分,
他就不可能排到小组的前两名,必然被淘汰.
23.解:
设长方形的长为a,
若n=1,即对折一次,按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为:
(
﹣1)×2=a﹣2=1282,
解得:
a=1284,2|1284,符合条件;
若n=2,即对折2次,
按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为:
(
﹣1)×2+(
﹣2)×(4﹣2)=a﹣6=1282,
解得:
a=1288,4|1288,符合条件;
若n=3,即对折3次,按题中操作可得1平
方厘米的正方形纸片个数为:
(
﹣1)×2+(
﹣2)×(8﹣2)=a﹣2×(8﹣1)=1282,
解得:
a=1296,8|1296,符合条件;
对一般的n,得到的正方形个数为;a﹣2×(2n﹣1),另a﹣2×(2n﹣1)=1282,
解得:
a=2×(2n﹣1)+1282=2×2n+1280,
若2n|a,则符合条件,显然,
当2n|1280时符合条件,1280=28×5,
∴n可取1到8,对折的次数n共有8种不同的可能数值.
24.解:
连接圆周上的十个等分点的“对径点”,
则可得5条直径,
因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线,
所以可得5个平行四边形.
即图中有5个平行四边形.
25.解:
设正六边形有5x块,则正五边形有3x块,
由题意得:
共有12块正五边形,即3x=12,
解得:
x=4,5x=20.
即正六边形的块数是20块.
26.解:
(1)由排列21的逆序数a1=1,排列4321的逆序数a3=6,得a4=4+3+2+1=10,a5=5+4+3+2+1=15,
∴an=n+(n﹣1)+…+2+1=
;
(
2)∵an=n+(n﹣1)+…+2+1=
,bn=
+
﹣2,
∴bn=
+
﹣2=
+
﹣2=
﹣
,
∴b1+b2+…+bn=2[(
﹣
)+(
﹣
)+…+(
﹣
)]=3﹣
﹣
;
又∵n=1,2,…,
∴b1+b2+…bn=3﹣
﹣
<3.
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