三角函数教案第一讲新人教版高一数学.docx
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三角函数教案第一讲新人教版高一数学
个性化教学辅导教案
学科:
数学任课教师:
张老师授课时间:
2014年月日(星期)8:
00---10:
00
姓名
年级:
高一
教学课题
三角函数第一讲
阶段
基础(√)提高(√)强化()
课时计划
第
(2)次课
共()次课
教学
目标
知识点:
任意角和弧度制、任意角的三角函数
方法:
引导法,预习法。
重点
难点
重点:
角度的表示方法,三角函数
难点:
角度值与弧度制关系,三角函数的表示
教
学
内
容
与
教
学
过
程
课前
检查
作业完成情况:
优□良□中□差□建议__________________________________________
一.任意角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的表示:
如图
①顶点:
射线的端点O;
②始边:
射线的起始位置OA;
③终边:
射线的终止位置OB.
按旋转方向可将角分为如下三类:
1正角:
按逆时针方向旋转形成的角;
②负角:
按顺时针方向旋转形成的角;
③零角:
如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.
温馨提示:
(1)角度的范围不再局限于[0°,360°].
(2)角的概念是通过角的终边的运动来推广的,根据终边的旋转“方向”可得到正角、负角和零角,因此应当意识到角的终边位置及旋转方向的重要性.
(3)当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但终边相同,角不一定相等.
二.象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限。
温馨提示:
(1)象限角的前提条件是:
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)在学习象限角时,应强调角与平面直角坐标系的关系.在这个统一前提下,才能对象限角进行定义.终边落在坐标轴上是一种“边界”状态.因此,规定它不属于任何一个象限。
三.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.如图所示,角α1、α2、α3为终边相同的角.
温馨提示:
一般地,终边相同的角的表达式形式不唯一,可利用图形来验证。
问题1:
如果一个角的终边和始边重合,那么这个角一定是零角吗?
问题2:
锐角与第一象限的角有什么区别?
问题3:
终边相同的角是相等的角吗?
类型一 角的概念问题
【例1】在下列说法中:
①0°~90°的角是第一象限角;
②第二象限角大于第一象限角;
③钝角都是第二象限角;
④小于90°的角都是锐角.
其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上).
[思路探索]解答本题可根据任意角、象限角的概念进行判断.
[规律方法] 判断说法错误,只需举一个反例即可.解决本题关键在于正确理解各种角的定义.随着角的概念的推广,对角的认识不能再停留在初中阶段,否则判断容易错误.
练习,A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B=( ).
A.{锐角}B.{小于90°的角}
C.{第一象限角}D.以上都不对
类型二 象限角的判定
【例2】已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,指出下列各角是第几象限角,以及0°~360°范围内与其终边相同的角.
1485°;②-35°;③770°;④-500°.
[思路探索]解决本题的关键是将所给角α写成α=k·360°+β(k∈Z)的形式,其中β是0°~360°范围内的角.
[规律方法] 本题要求在0°~360°范围内,找出与已知角终边相同的角,并判断其为第几象限角,这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.本题虽然简单,但非常重要,因此要引起重视.
练习,给出下列四个命题:
①-75°角是第四象限角;②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-315°是第一象限角,其中真命题有( ).
A.1个B.2个C.3个D.4个
类型三 终边相同的角的应用
【例3】在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;(3)360°~720°的角.
[思路探索]先写出终边相同的角的一般形式,再求满足条件的整数k即可,其中最大的负角在-360°~0°之间,最小的正角在0°~360°之间.
[规律方法] 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
练习3,写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
类型四 区域角的表示
【例4】写出终边落在阴影部分的角的集合.
[思路探索]写出0°到360°范围内终边落在阴影部分的角,然后根据终边相同的角的表示方法写出满足条件的角.
[规律方法] 解答此类题目应先在0°~360°上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.
练习4,如图,若角α的终边落在函数y=x(x≥0)与y=-x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分,不包括边界)内,求角α的集合.
提高:
已知α是第三象限角,则
是第几象限角?
总结,已知角α所在的象限,要求
(n∈N*)所在的象限,应把角α写成k·360°+β<α + < + (k∈Z),分别取k=0,1,2,…,n-1,即可确定 所在的象限. 习题 1.下列角中终边与330°相同的角是( ). A.30°B.-30° C.630°D.-630° 2.-1120°角所在象限是( ). A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3.一角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________. 4.与2013°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小的角是________. 5.判断下列各组角中,哪些是终边相同的角. (1)k·90°与k·180°+90°(k∈Z); (2)k·180°±60°与k·60°(k∈Z); (3)(2k+1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z); (4)k·180°+30°与k·180°±30°(k∈Z). 四.弧度制 1.度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,规定1度的角等于周角的. (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系: 正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是零. ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=. 温馨提示: 圆心角α所对的弧长与半径的比值 与半径的大小无关,仅与角的大小有关. 2. (1)角度制与弧度制的换算 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 温馨提示: 角度制与弧度制是两种不同的度量单位,两者之间可相互转化,并且角度与弧度是一一对应的关系.在表示角时,角度制与弧度制不能混用,在表达式中,要保持单位一致,防止出现 +k·180°或60°+2kπ等这类错误的写法。 探究点1 角α=2这种表达方式正确吗? 提示 正确.用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,角α=2就表示α是2rad的角. 探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系? 提示 (1)区别: ①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制. ②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角,而1度的角是指等于周角的 的角,二者大小显然不同. ③用弧度制表示角时,单位“弧度”两个字可以省略不写,但用角度制表示角时,单位“°”不能省略. (2)联系: 无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与“半径”大小无关的值. 探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角? 提示 (1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合. (2)利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合. α终边所在的象限 角α的集合 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则 S= lr= |α|r2,二是l=|α|r 类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】将下列角度与弧度进行互化. (1)20°; (2)-15°;(3) ;(4)- . [思路探索]本题主要考查角度与弧度的换算,直接套用角度与弧度的换算公式,即度数× =弧度数,弧度数× °=度数. [规律方法] (1)进行角度与弧度换算时,要抓住关系: πrad=180°. (2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值. 练习, (1)把112°30′化成弧度; (2)把- 化成度. 类型二 用弧度制表示终边相同的角 【例2】 (1)将-1500°表示成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出它是第几象限角; (2)在0°~720°范围内,找出与角 终边相同的角. [思路探索] (1)把角度换算为弧度,表示成2kπ+α(k∈Z)的形式即可求解; (2)把弧度换算为角度,写出与其终边相同的角,调整k使待求角在[0°,720°)内. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时,其中2kπ是π的偶数倍,而不是整数倍,还要注意角度制与弧度制不能混用. 练习,设α1=-570°,α2=750°,β1= ,β2=- . (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自的终边所在的象限; (2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°范围内找出与它们终边相同的所有角. 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. [思路探索]本题主要考查扇形的面积公式、圆心角及函数最值,由已知条件,列出扇形面积与r之间的函数关系,转化为二次函数的最值问题处理. [规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式: 一是S= lr= |α|r2,二是l=|α|r,如果已知其中两个,就可以求出另一个. (2)当扇形周长一定时,其面积有最大值,最大值的求法是把面积S转化为r的函数. 练习,已知一个扇形的周长为 +4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 习题 用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界). 注意: 在用角度或弧度表示角时,不要混用;此外,对于区域角,要注意旋转方向,并注意把结果写成集合的形式.一定要使用统一的角的度量单位,另外要弄清角的大小,不要出现矛盾不等式. 课堂小结 1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=πrad”这一关系式. 易知: 度数× rad=弧度数,弧度数× °=度数. 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度. 任意角的三角函数简介 1.任意角的正弦、余弦和正切的定义 (1)单位圆: 在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)任意角的三角函数 如图,设α是一个任意角,它的终 边与单位圆交于点P(x,y),那么: ①y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y/r; ②x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x/r; ③ 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=y/x(x≠0).温馨提示: (1)在任意角的三角函数的定义中,应该明确,α是一个任意角. (2)要明确sinα是一个整体,不是sin与α的乘积,它是正弦函数的一个记号,离开自变量的“sin”、“cos”、“tan”是没有意义的. 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 温馨提示: 记忆技巧: 一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正).即第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 3.诱导公式 (一) 终边相同的角的同一三角函数的值相等,即: sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα, tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z. 温馨提示: 公式一中的α可以是任意角,k是任意整数. 课后习题 1.下列说法中,错误的说法是( ). A.半圆所对的圆心角是πrad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2.α=-2,则α的终边在( ). A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 3.- πrad化为角度应为________. 4.如果一扇形的弧长变为原来的 倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的________. 5.已知集合A={α|2kπ<α<π+2kπ,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},求A∩B. 课后 巩固 作业________________________________;巩固复习_______________________________;预习布置____________________________ 签字 学科组长签字: 学习管理师: 老师 课后 赏识 评价 老师最欣赏的地方: 老师的建议: 备注
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