高中人教A版数学必修二习题第2章 点直线平面之间的位置关系 章末综合测评2 Word版含答案.docx
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高中人教A版数学必修二习题第2章 点直线平面之间的位置关系 章末综合测评2 Word版含答案.docx
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高中人教A版数学必修二习题第2章点直线平面之间的位置关系章末综合测评2Word版含答案
章末分层突破
①确定平面的条件
②异面直线
③直线在平面内
④直线与平面平行的判定定理
⑤直线与平面平行的性质定理
⑥平面与平面平行的判定定理
⑦若α∥β,⊂α,则∥β
⑧直线与平面垂直的判定定理
⑨直线与平面垂直的定义
⑩若⊥α,⊥β,则α∥β
⑪平面与平面垂直的判定定理
⑫平面与平面垂直的性质定理
⑬直线与平面垂直的性质定理
⑭二面角
(教师用书独具)
共点、共线、共面问题
.证明三线共点问题
证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.
.证明三点共线问题
证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上.
.证明共面问题
证明共面问题,一般有两种证法:
一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.
如图所示,∩α=,∩α=,,与,分别在平面α的两侧,∩α=,∩α=,求证:
,,三点共线.
图
【精彩点拨】 要证若干点共线,需证这些点在两个相交平面内,且是这两个平面的公共点.
【规范解答】 ∵∩α=,∩α=,∴∩=,
∴,可确定一个平面,设为β.
∵∈,∈,∈,∈,
∴∈β,∈β,∈β,∈β.
∴⊂β,⊂β,平面α,β相交.
∵∩α=,∩α=,∩α=,
∴,,三点是平面α与平面β的公共点.
∴,,都在α与β的交线上.
故,,三点共线.
.如图,在长方体中,为棱的中点,画出由、、三点所确定的平面α与长方体表面的交线,并作出平面α与平面的交线.
图
【解】 ,,为平面α与长方体表面的交线,如图.
平面α与平面的交线可以这样确定:
延长,则它与的延长线一定相交,设交点为点,则是平面α与平面的一个公共点,延长交的延长线于点,则也是平面α与平面的一个公共点,故就是两平面的交线.
空间中的平行、垂直问题
.平行关系的转化
要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程,在解题时把握这一点,灵活确定转化的思路和方向.
.垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线,若这样的垂线不存在,则可通过作辅助线来解决.如有面面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,进一步转化为线线垂直.
.证明空间线面平行或垂直需注意三点
()由已知想性质,由求证想判定.
()适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
()用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.
如图,在四棱锥中,菱形的对角线交于点,、分别是、的中点.平面⊥平面,⊥.
图
求证:
()平面∥平面;
()⊥平面.
()平面⊥平面.
【精彩点拨】 ()证明两平面平行,要寻找一个平面内两相交直线平行于另一平面内两相交直线,题中有中点可构成平行关系;
()利用面面垂直的性质定理证明;
()可证明⊥平面,再根据面面垂直的判定定理可得结论.
【规范解答】 ()∵四边形是菱形,
∴是的中点,
∵、分别是、的中点,
∴∥.
又⊄平面,⊂平面,
∴∥平面.
同理∥平面.
而∩=,、⊂平面,
∴平面∥平面.
()∵平面⊥平面,⊥,
平面∩平面=,⊂平面,
∴⊥平面.
()∵⊥平面,⊂平面,
∴⊥,
∵四边形是菱形,
∴⊥,
又∩=,
∴⊥平面,
∵⊂平面,
∴平面⊥平面.
.如图,在四面体中,=,⊥,点,分别是,的中点.
求证:
()直线∥面;
()平面⊥平面.
图
【证明】 ()在△中,
∵,分别是,的中点,
∴∥.
又⊂平面,⊄平面,
∴直线∥平面.
()在△中,∵⊥,∥,
∴⊥.
在△中,∵=,为的中点,
∴⊥.
∵∩=,∴⊥平面,
又∵⊂平面,∴平面⊥平面.
空间角的计算
求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:
()找出这个角;()证该角符合题意;()构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类:
①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
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