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二次函数知识点复习
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1二次函数的概念:
一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数。
这
里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
2.二次函数yax2bxc的结构特征:
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式:
yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x0时,y随x
的增大而增大;
x0时,
y随
a0
向上
0,0
y轴
x的增大而减小;
x0时,
y有最小值0•
x0时,y随x
的增大而减小;
x0时,
y随
a0
向下
0,0
y轴
c2
2.yaxc
x的增大而增大;
x0时,
y有最大值
0.
的性质:
上加
下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
x0时,y随x
的增大而增大;
x0时,
y随
a0
向上
0,c
y轴
x的增大而减小;
x0时,
y有最小值
c.
x0时,y随x
的增大而减小;
x0时,
y随
a0
向下
0,c
y轴
3.
x的增大而增大;
x0时,
y有最大值
c.
2
yaxh
的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随
x的增大而减小;xh时,y有最小值0.
a0
向下
h,0
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随
x的增大而增大;xh时,y有最大值0.
2
4.yaxhk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而增大;xh时,y随x的增大而减小;xh时,y有最小值k.
a0
向下
h,k
X=h
xh时,y随x的增大而减小;xh时,y随
x的增大而增大;xh时,y有最大值k.
数图象的平移
1.平移步骤:
2
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k;
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
向右(h>0)【或左(*0)]
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)]
平移|k|个单位
y=ax2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
*-y=ax2+k
y=a(xh)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k个单位
向上(k>0)【或下(k<0)]
平移|k个单位
2
y=a(x-h)
向右(h>0)【或左(h<0)]
平移|k|个单位
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”
方法二:
ax2bxc变成
2
⑴yaxbxc沿y轴平移向上(下)平移m个单位,y
yax2bxcm(或yax2bxcm)
2、..2
axbxc变成ya(xm)b(xm)c
(或ya(xm)2b(xm)c)
2.,
五、二次函数yaxbxc图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其开口方向、对称
轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为:
顶点、与y轴的交点
2h,c、与x轴的交点Xi,0,X2,0(若与x轴没有交点,
0,c、以及0,c关于对称轴对称的点则取两组关于对称轴对称的点)
x轴的交点,与y轴的交点•
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与
2
六、二次函数yaxbxc的性质
1.
一般式:
y
2ax
2.
顶点式:
y
a(x
3.
两根式:
y
a(x
bxc(a,b,c为常数,a0);
h)2k(a,h,k为常数,a0);
Xi)(xX2)(a0,Xi,x是抛物线与x轴两交点的横坐标)
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛
2
物线与X轴有交点,即b4ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0•
⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2・一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下,当b0时,卫0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b0时,卫o,即抛
2a2a
物线的对称轴就是y轴;当b0时,—0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
十、二次函数与一元二次方程:
1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与一元二次方程ax2bxc0是二次函数y图象与x轴的交点个数:
x轴交点情况)ax2bxc当函数值y0时的特殊情况
4ac0时,图象与x轴交于两点A
Xi,0,BX2,0(XiX2),其中的xi,x是一元二次方程
1'
2'
2ax
bx
0时,
0时,
0时,
c0a0的两根.这两点间的距离
图象与x轴只有一个交点;
图象落在x轴的上方,无论
图象落在x轴的下方,无论
0时,图象与
x为任何实数,都有y
x为任何实数,都有y
b24ac
x轴没有交点•
3.二次函数常用解题方法总结:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x轴的一个交
点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标
下面以a0时为例,揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系:
0
抛物线与x轴有两个交点
一兀二次方程有两个不相等实根
0
抛物线与x轴只有一个交点
一兀二次方程有两个相等的实数根
0
抛物线与x轴无交点
一兀二次方程无实数根.
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
22
已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点,则m的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykx2bx1的图像大致是()
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
5
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x一,求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5•考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1•已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0)、(xi,0),且1 (O,2)的下方.下列结论: ①a ②2a+c>0: ③4a+c<0;④+2>0,其中正确结论的个数为() A1个B.2个C.3个D.4个 答案: D 会用待定系数法求二次函数解析式例2.已知: 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2) 答案: C 15 例3、已知抛物线y=”+x-: 22 (1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴. (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长. 【点评】本题 (1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第 (2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系. 例4、“已知函数y-x2bxc的图象经过点A(c,—2),II 2 求证: 这个二次函数图象的对称轴是x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 (1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式? 若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。 (2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。 点评: 对于第 (1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函 数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,—2)”,就可以列出两个方程了,而 解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。 对于第 (2)小题,只要给出的条件能够使求 出的二次函数解析式是第 (1)小题中的解析式就可以了。 而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考 虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] (1)根据y—x2bxc的图象经过点A(c,—2),图象的对称轴是x=3, 2\ 12⑴加 2cbcc2,□ 得b3 22 £ 解得 3, 2. 3-/■5,x2 12 (2)在解析式中令y=0,得—x3x2 2 所以可以填“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是(3+,5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是精选范本 (3、5,0). 5令x=3代入解析式,得y, 2 15 所以抛物线y—x23x2的顶点坐标为(3,-), 22 所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,5)等等。 2 函数主要关注: 通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函 数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例5、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)? 与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表: x(元) 15 20 30 y(件) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数. (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? ? 此时每日销售利润是多少元? 15kb25, 【解析】 (1)设此一次函数表达式为y=kx+b•贝U解得k=-1,b=40,? 即一次函数表达式 2kb20 为y=-x+40• (2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元 w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225. 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元. 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点: (1)设未知数在“当某 某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,? “某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)? 问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 例6、你知道吗? 平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处.绳 子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐 标系如右图所示) () A.1.5mB.1.625m C.1.66mD.1.67m 分析: 本题考查二次函数的应用答案: B 二次函数单元测评 、选择题 1•下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() 精选范本 D 7.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a工0)的图象的顶点P的横坐标是4, 象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m 2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() 8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9.已知抛物线和直线'在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,R(X1,y1),卩2区,y2)是抛物线上的点,卩3区,丫3)是直线■'上的点,且-1 X3<-1,则y1,y2,y3的大小关系是() A.yi B.y? C.y3 D.y2 10把抛物线_: 1I的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的 函数关系式是() =—2(兀一1尸+6三一2(戈一1『一$c"=—2(兀+■百D^=—2(戈+1),-6 二、填空题 11.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是. 12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,贝Uy=. 13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为. 14.抛物线y=x2+bx+c,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为 15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三 角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式. 16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度vo(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的情 1j 况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足: -(其中g是常数,通常取10m/s2).若 V0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面m. 17.试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解 析式为 oo(a,-—)和 18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点4,则y1的值是. 、解答下列各题 _3 19.若二次函数的图象的对称轴方程是…「并且图象过A(0,-4)和B(4,0) (1)求此二次函数图象上点A关于对称轴-对称的点A'的坐标; (2)求此二次函数的解析式; 20.在直角坐标平面内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(X2,0),且(Xi+1)(X2+1)=-8. (1)求二次函数解析式; (2将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为卩,求厶POC的面积. 21已知: 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)求厶MCB的面积SAMCB. 22某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下 关系: 在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出 200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大.
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