中考复习压轴题突破之二次函数十大常考问题 详细解析.docx
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中考复习压轴题突破之二次函数十大常考问题详细解析
2019中考复习压轴题突破之二次函数部分
二次函数压轴题中常考的十大问题:
一、二次函数中的线段垂直与极值问题
二、二次函数中的平行四边形问题
三、二次函数中的动点和面积问题
四、二次函数中的直线平移和三角形面积问题
五、二次函数的性质和三角形相似问题
六、二次函数中三角形面积和勾股定理的运用
七、二次函数中四边形周长最小值问题
八、二次函数中的平行四边形和全等三角形
九、二次函数中的面积和相似问题
十、二次函数中的三角函数及点的存在性
一、二次函数中的线段垂直与极值问题
解析:
(1)对称轴是y轴,首先可以确定b,
再将两点坐标代入求出完整解析式即可;
(2)根据抛物线解析式,假设点P的横坐标为x,
表示出纵坐标,分别以含x的代数式来表示PO和PQ,
证明二者相等即可;(实质为高中数学抛物线的定义)
(3)①假设过原点的直线为y=kx,
根据第一问求出的解析式,结合y=kx,
得到两个交点的横坐标之和与横坐标之积,假设B和A的横坐标分别为m和n,
那么ON²=m²+4,OM²=n²+4,
而MN²=(m-n)²=m²+n²-2mn,
根据两根之积代入,
使ON²+OM²=MN²成立,
即可证明OM⊥ON;
②根据PO=PQ,
可得FO等于F到直线L的距离,
所以只需要F到点D和直线L的距离之和最小即可,
根据图像可知DF⊥直线L时,线段和最小,
得到此时点F的坐标即可;
这道题不难,涉及到的都是二次函数的性质,不过,高中即将学到的“到定点和到定直线距离相等的点的集合”这个概念在本题中是很明显的,也算是让同学们重新认识一下二次函数。
二、二次函数中的平行四边形问题
解析:
(1)两个抛物线关于y轴对称,那么对称轴关于y轴对称,和y轴交于同一点,
开口大小一样,
所以可以确定a=1,m=2,n=-3,
所以两个抛物线的解析式可得;
(2)抛物线和x轴的交点坐标比较容易,不再多说;
(3)先求出AB的长度为4,
画出图像之后,相信同学们就可以观察到,
PQ必定与y轴相交,
在y轴两侧时,两个函数相同高度的横坐标差值达不到4,
所以P和Q只能在y轴的两侧,
假设点P(x,y),那么Q可能在P的左侧,也可能在P的右侧,
即两点是在x轴上方还是下方,位置不同的,
所以点Q(x-4,y)或者(x+4,y)
分别将P和Q的坐标代入它们的抛物线解析式中,
结合两个方程,求出x、y即得到P和Q的坐标,
所以最后有2种情况。
三、二次函数中的动点和面积问题
解析:
(1)第一问肯定是90°了;
(2)首先O和A两点坐标已知,
连接OC,可以得到OC=OA=10.那么可以求出OD,
那么就有点D的坐标,
接下来点B的坐标也不是难事,
最后三点确定抛物线的解析式即可;
(3)这一问其实想明白了就简单了,无非需要一些计算,
首先我们连接AE,点P在第一象限的抛物线上,
那么点P要么在OE上方的一段抛物线上,要么在AE上方的一段抛物线上,
所以△AOE的面积是固定的,
而变动的面积只是△OPE或者△APE的面积,
根据直线平移法,可知直线和抛物线有两个交点的时候,这两个交点的任意一个和已知的OE组成的三角形面积是相等的,同样AE上方的那段也是这样,
但是如要想要有三个符合条件的点P,
则只能OE或AE平移后,其中一个和抛物线有两个交点,另一个和抛物线只有一个交点,
根据图像也可以看出来在对OE和AE进行平移的过程中,AE的平移距离是最小的,而且AE没有OE长,
所以当点P在AE这边的抛物线上,并且距离AE最远的时候,AE这边的点P只有一个,但是OE那边符合条件的点P有两个(OE>AE,所以平移距离肯定小),
所以只需要对AE进行平移,使平移后的直线与抛物线只有一个交点,
求出交点的坐标,
并计算此时四边形的面积S即可;
四边形的面积,可以过E和P向x轴做垂线,
将四边形分成两个三角形和一个梯形,
分别求出面积最后加在一块即可;
四、二次函数中的直线平移和三角形面积问题
(1)由抛物线的解析式可得对称轴为x=4,
所以点B坐标可知(4,0),同时A(0,3),
所以AB=5,
所以BD=5,那么点D(4,5),
将点D代入解析式求得a即可;
(2)先求出直线AB的解析式,
将直线AB进行平移,设出平移后的解析式,
已知平移后的直线DP过点D,
所以将点D代入求出完整的DP解析式,
再与抛物线相交求出点P的坐标;
(3)∠ABD为△ABG的外角,
根据条件可知,△ABG是等腰三角形,且AB=BG,
所以BG=5,同时三角形的高=OB=4,
所以面积soeasy!
五、二次函数的性质和三角形相似问题
解析:
(1)有些同学可能看到解析式有两个未知数,但是题中只给了一个坐标点,不知道如何求取点B的坐标,
点B是对称轴和x轴的交点,那么我们将点A代入解析式,
其实是可以得到a和b的关系,
再代入到对称轴的公式中,即可得到点B坐标;
(2)上一问知道了对称轴,那么点C的坐标可知,
这一问给出了一组角相等,那么很可能就是利用三角形相似,
但是只有一组角相等,明显条件不够,
那么,∠BDC+∠CBD=∠BCE=45°,
而∠ACB+∠BAC=AB和对称轴的夹角=45°,
而∠ACB=∠BDC,
所以∠CBD=∠BAC,
那么△ABC∽△BCD,
所以AB:
BC=BC:
CD,
AB和BC都可以求出,那么CD也可以,
同时点E的坐标也可以求出,那么CE也没问题,
线段DE可得,
根据∠BED=45°求出点D坐标,
将点D代入解析式求出a和b,
得到完整的解析式;
六、二次函数中三角形面积和勾股定理的运用
解析:
(1)A和C的坐标代入即可求得解析式;
(2)有点P的坐标,可以求出∠OAP的三角形函数值tan∠OAP,
那么∠APO=∠BPD,
所以∠PBD=∠OAP,
利用tan∠PBD和OB求出OE,即点E的坐标,
那么CE可知,
△EBC的高也没问题,
所以面积可求;
(3)点D在对称轴上,可以设其纵坐标为y,
那么△ABD是直角三角形,
分别表示出AD、BD、AB的长度,利用勾股定理求出y,
随后求出直线AD的解析式,
找到与y轴交点P的坐标即可;
七、二次函数中四边形周长最小值问题
解析:
(1)直接利用顶点式得到y=a(x-1)²+4,
将点B代入求出解析式y=-(x-1)²+4,
再变为一般式y=-x²+2x+3,
(2)这一问求四边形的周长最小值,
同学们平时可能见得比较多的是三角形的周长最小值,突然见到四边形周长,估计会一下子不知道如何去解决,
我们先来看题中给出的点E有什么用,横坐标为2,那么纵坐标可以求出是4,
和点D一样,那么点D和E关于对称轴对称,
那么GD=GE,
还差GH和HF,而DF是定值,所以只要其他三段的和最小即可;
我们看GH+HF什么时候最小呢?
找到点F关于x轴的对称点F',
那么肯定是G、H、F'三点共线的时候,和最小,
GH+FH=GF',
再来看GD=GE,
那么GD+GH+HF=GE+GH+HF',
什么时候这三段相加最小呢?
四点共线的时候,所以点G和H的位置可以确定了,
首先求出直线F'E的解析式,然后分别于x轴和对称轴相交求出H和G的坐标,
而四边形的周长=DF+EF'求出即可;
(3)首先作出图形,
△DNM∽△BMD,对应角∠DMN=∠BDM,∠MND=∠BMD,∠MDN=∠DBM,MN:
DM=DM:
BD,
即DM²=MN·BD,
设点T的横坐标为t,那么M(t,0),B(3,0),D(0,3),
∠OBD=45°,∠AMN=45°,
MN=DM²/BD=(9+t²)/BD,(BD带根号2,就不再给出了)
∴然后根据MN的长度和∠AMN=45°可以表示出N的横纵坐标,
然后点N在直线AD上,
代入直线AD的解析式,
解二元一次方程,得到两个t都是正数,
但有一个会不适合,扔掉即可;
最后的结果老师计算了一下t=1.5;
再计算出点T的坐标即可;
八、二次函数中的平行四边形和全等三角形
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A(-2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B,
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B、C的直线L平移后与抛物线交于点M,与x轴一个交点为N,当以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标;
(3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?
若存在,直接写出点P的坐标;若不存请说明理由。
解析;
(1)根据对称轴x=3和点A坐标代入,
求出完整的解析式;
(2)CM为平行四边形的边时,
CM//BN,所以可以很轻松求出点M的坐标;
当CM为对角线的时候,我们知道点M到x轴的距离=C到x轴的距离,
但是M在x轴下方,所以纵坐标为负,将纵坐标代入抛物线解析式,
那么就可以求出点M的坐标了,
解出来是带根号的,而且是两个值,都符合;(一个在y轴左侧、一个在右侧)
(3)△PBD≌△PBC,根据对应点得到对应线段相等(各点对应,不然情况就太多了),
全等可得BC=BD=5,所以能够得到点D的坐标,有两种可能,D(8,0)或D(-2,0),
假设CD的中点为E,那么可以得到E的坐标,
所以直线BE的解析式可得,
BE与抛物线的交点不就是点P吗?
所以结合抛物线解析式,解方程,
得到两个P的坐标;
这是一种点D在坐标情况下所得,
那么另一种,同样的方法找到CD中点E,结合直线BE解析式求P坐标;
(其实当点D为(-2,0)的时候就和A重合了,只要找AC的中点即可)
最后求出的点P个数是4个,而且都是带根号的。
九、二次函数中的面积和相似问题
解析:
(1)将B、C两点坐标代入求得a和b的值,
得到完整的解析式,
再计算顶点D的坐标即可;
(2)连接CD和AD,
顺便作对称轴交AC于E,计算出E的坐标,得到DE长度,
然后分别求出△ADE和△DEC的面积,
最后加在一块就行了;
(3)既然要相似,∠OCD肯定要和△ABC内一个角相等,那么
其肯定与∠BAC不等,所以只有∠OCD=∠BAC了,
那么就是剩下的两个角会产生两种可能性了,
情况一:
∠POC=∠ACB
该情况下,OP所在直线与AC所在直线符合kOP=-kAC(对称)
所以可以得到OP所在直线的解析式,然后与CD相交得到点P坐标;
情况二:
∠POC=∠ABC
该情况下,OP//AB,
运用直线平移法得到OP的解析式,
然后与CD相交得到点P坐标;
十、二次函数中的三角函数及点的存在性
解析;
(1)根据直线解析式求出A和C的坐标,
然后代入抛物线解析式求得b和c的值,
得到完整的解析式;
(2)CP//AO时,可以求出点P的坐标,
如果有同学看了前几次的倒计时题目,那么就会发现有一道同类型的题目,
所以从点P向AC作垂线,求出垂线的长度,以及点C到垂足的距离,
然后利用点A到垂足的距离和垂线长度求出tan∠PAC;
具体大家自己计算吧,这一次老师就不用上次的方法一步一步叙述了,
tan∠PAC=(kAP-kAC)/(1+kAP·kAC),
同学们算出来可以利用这个公式验证一下结果,但是该公式不推荐同学们在写过程中使用;
(3)假设另一顶点为M,那么PM//OA,且PM=OA,
AO=4,那么PM=4,且P和M关于对称轴对称,而对称轴x=-1,
所以点P和M的横坐标可以得到,
进而求出纵坐标即可;
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