届高考数学理一轮复习讲义24 幂函数与二次函数.docx

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届高考数学理一轮复习讲义24幂函数与二次函数

§2.4　幂函数与二次函数

最新考纲

考情考向分析

1.了解幂函数的概念．

2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝

的图象，了解它们的变化情况．

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.

1．幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，形如y＝xα（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

（2）常见的五种幂函数的图象和性质比较

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝

y＝x－1

图象

性质

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增

在R上单调递增

在[0，＋∞）上单调递增

在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减

公共点

（1,1）

2．二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a<0）

图象

定义域

R

R

值域

单调性

在x∈

上单调递减；

在x∈

上单调递增

在x∈

上单调递增；

在x∈

上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－

对称

概念方法微思考

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示　

（1）一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

y＝a（x－m）2＋n（a≠0）；

（3）零点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

2．已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），写出f（x）≥0恒成立的条件．

提示　a>0且Δ≤0.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），x∈[a，b]的最值一定是

.（　×　）

（2）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（　√　）

（3）函数y＝2

是幂函数．（　×　）

（4）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（　√　）

（5）当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．（　×　）

题组二　教材改编

2．已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点

，则k＋α等于（　　）

A.

B．1C.

D．2

答案　C

解析　由幂函数的定义，知

∴k＝1，α＝

.∴k＋α＝

.

3．已知函数f（x）＝x2＋4ax在区间（－∞，6）内单调递减，则a的取值范围是（　　）

A．a≥3B．a≤3

C．a<－3D．a≤－3

答案　D

解析　函数f（x）＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间

（－∞，6）内单调递减可知，区间（－∞，6）应在直线x＝－2a的左侧，

∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.

题组三　易错自纠

4．幂函数f（x）＝

（a∈Z）为偶函数，且f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数，则a等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　C

解析　因为a2－10a＋23＝（a－5）2－2，

f（x）＝

（a∈Z）为偶函数，

且在区间（0，＋∞）上是减函数，

所以（a－5）2－2<0，从而a＝4,5,6，

又（a－5）2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.

5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．

答案　－1

解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝

>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，

∴ymin＝2－6＋3＝－1.

6．设二次函数f（x）＝x2－x＋a（a>0），若f（m）<0，则f（m－1）________0.（填“>”“<”或“＝”）

答案　>

解析　f（x）＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝

，且f

（1）>0，f（0）>0，而f（m）<0，∴m∈（0,1），∴m－1<0，∴f（m－1）>0.

题型一　幂函数的图象和性质

1．若幂函数的图象经过点

，则它的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）B．[0，＋∞）

C．（－∞，＋∞）D．（－∞，0）

答案　D

解析　设f（x）＝xα，则2α＝

，α＝－2，即f（x）＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是（－∞，0）．故选D.

2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A．d>c>b>aB．a>b>c>d

C．d>c>a>bD．a>b>d>c

答案　B

解析　由幂函数的图象可知，在（0,1）上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.

3．已知幂函数f（x）＝

（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为（　　）

A．－3B．1C．2D．1或2

答案　B

解析　由于f（x）为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.

4．（2018·阜新模拟）若

<

，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，－1）∪

解析　不等式

<

等价于a＋1>3－2a>0或3－2a

.

思维升华

（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

（2）在区间（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

题型二　求二次函数的解析式

例1

（1）已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（0）＝3，对∀x∈R，都有f（1＋x）＝f（1－x）成立，则f（x）的解析式为________________．

答案　f（x）＝x2－2x＋3

解析　由f（0）＝3，得c＝3，

又f（1＋x）＝f（1－x），

∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴

＝1，∴b＝2，

∴f（x）＝x2－2x＋3.

（2）已知二次函数f（x）与x轴的两个交点坐标为（0,0）和（－2,0）且有最小值－1，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x

解析　设函数的解析式为f（x）＝ax（x＋2）（a≠0），

所以f（x）＝ax2＋2ax，由

＝－1，

得a＝1，所以f（x）＝x2＋2x.

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练1

（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝________.

答案　x2＋2x＋1

解析　设函数f（x）的解析式为f（x）＝a（x＋1）2＝ax2＋2ax＋a（a≠0），

又f（x）＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，

故f（x）＝x2＋2x＋1.

（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4,3），它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝________.

答案　x2－4x＋3

解析　因为f（2－x）＝f（2＋x）对任意x∈R恒成立，所以f（x）图象的对称轴为直线x＝2.又因为f（x）的图象被x轴截得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），又f（x）的图象过点（4,3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3.

题型三　二次函数的图象和性质

命题点1　二次函数的图象

例2（2018·鄂尔多斯模拟）一次函数y＝ax＋b（a≠0）与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（　　）

答案　C

解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－

<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.

命题点2　二次函数的单调性

例3函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在区间[－1，＋∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－3,0）B．（－∞，－3]

C．[－2,0]D．[－3,0]

答案　D

解析　当a＝0时，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上单调递减，满足题意．

当a≠0时，f（x）的对称轴为x＝

，

由f（x）在[－1，＋∞）上单调递减，知

解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．

引申探究

若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的单调减区间是[－1，＋∞），则a＝________.

答案　－3

解析　由题意知f（x）必为二次函数且a<0，

又

＝－1，∴a＝－3.

命题点3　二次函数的最值

例4已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．

解　f（x）＝a（x＋1）2＋1－a.

（1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

（2）当a>0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f

（2）＝8a＋1＝4，解得a＝

；

（3）当a<0时，函数f（x）在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f（－1）＝1－a＝4，解得a＝－3.

综上可知，a的值为

或－3.

引申探究

将本例改为：

求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．

解　f（x）＝（x＋a）2＋1－a2，

∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.

（1）当－a<

即a>－

时，f（x）max＝f

（2）＝4a＋5，

（2）当－a≥

即a≤－

时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a，

综上，f（x）max＝

命题点4　二次函数中的恒成立问题

例5

（1）已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1，若不等式f（x）>2x＋m在区间

[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．

答案　（－∞，－1）

解析　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，得c＝1，又f（x＋1）－f（x）＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f（x）＝x2－x＋1.f（x）>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g（x）＝x2－3x＋1－m＝

2－

－m，x∈[－1,1]，g（x）在[－1,1]上单调递减，所以g（x）min＝g

（1）＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.

（2）函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a>1），若在区间[－1,1]上f（x）≤8恒成立，则a的最大值为________．

答案　2

解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以

≤t≤a，原函数化为g（t）＝t2＋3t－2，t∈

，显然g（t）在

上单调递增，所以f（x）≤8恒成立，即g（t）max＝g（a）≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.

思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：

（1）抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；

（2）要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解）．

（3）由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

解题思路：

一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．

跟踪训练2

（1）函数y＝x2＋bx＋c（x∈[0，＋∞））是单调函数的充要条件是（　　）

A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<0

答案　A

解析　∵函数y＝x2＋bx＋c（x∈[0，＋∞））是单调函数，

∴图象的对称轴x＝－

在区间[0，＋∞）的左边或－

＝0，

即－

≤0，得b≥0.

（2）已知函数f（x）＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞），则a的值为________．

答案　－1或3

解析　由于函数f（x）的值域为[1，＋∞），

所以f（x）min＝1.又f（x）＝（x－a）2－a2＋2a＋4，

当x∈R时，f（x）min＝f（a）＝－a2＋2a＋4＝1，

即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.

（3）设函数f（x）＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　由题意得a>

－

对1

又

－

＝－2

2＋

，

<

<1，

∴

max＝

，∴a>

.

数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用

研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．

例设函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f（x）的最小值．

解　f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.

当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图

（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数，

所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1；

当t<1

（2）所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f

（1）＝1；

当t≥1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数，

所以最小值为f（t）＝t2－2t＋2.

综上可知，f（x）min＝

1．幂函数y＝f（x）经过点（3，

），则f（x）是（　　）

A．偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

B．偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数

C．奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数

D．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数

答案　D

解析　设幂函数的解析式为y＝xα，将（3，

）代入解析式得3α＝

，解得α＝

，∴y＝

，故选D.

2．幂函数y＝

（m∈Z）的图象如图所示，则m的值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　∵y＝

（m∈Z）的图象与坐标轴没有交点，

∴m2－4m<0，即0

又∵函数的图象关于y轴对称且m∈Z，

∴m2－4m为偶数，∴m＝2.

3．若幂函数f（x）＝（m2－4m＋4）·

在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（　　）

A．1或3B．1

C．3D．2

答案　B

解析　由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，

解得m＝1.

4．已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由题意知

即

得a>

.

5．函数f（x）＝（x－2）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则f（2－x）>0的解集为（　　）

A．{x|－22或x<－2}

C．{x|04或x<0}

答案　D

解析　函数f（x）＝ax2＋（b－2a）x－2b为偶函数，则b－2a＝0，故f（x）＝ax2－4a＝a（x－2）（x＋2），因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f（2－x）>0的解集为{x|2－x>2或2－x<－2}＝{x|x<0或x>4}，故选D.

6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为

，则m的取值范围是（　　）

A．[0,4]B.

C.

D.

答案　D

解析　二次函数图象的对称轴为x＝

，且f

＝－

，f（3）＝f（0）＝－4，结合函数图象（如图所示），可得m∈

.

7．已知f（x）＝x2，g（x）＝

，h（x）＝x－2，当0

答案　h（x）>g（x）>f（x）

解析　分别作出f（x），g（x），h（x）的图象如图所示，

可知h（x）>g（x）>f（x）．

8．已知二次函数y＝f（x）的顶点坐标为

，且方程f（x）＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．

答案　f（x）＝－4x2－12x＋40

解析　设f（x）＝a

2＋49（a≠0），

方程a

2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，

则|x1－x2|＝2

＝7，

所以a＝－4，所以f（x）＝－4x2－12x＋40.

9．已知函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间

上为增函数，那么f

（2）的取值范围是_________．

答案　[7，＋∞）

解析　函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间

上为增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，所以其对称轴x＝

或与直线x＝

重合或位于直线x＝

的左侧，即应有

≤

，解得a≤2，所以f

（2）＝4－（a－1）×2＋5≥7，即f

（2）≥7.

10．设函数f（x）＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________．

答案　[0,4]

解析　令f（x）＝－6，得x＝－1或x＝3；令f（x）＝2，得x＝1.又f（x）在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.

11．（2018·河南南阳一中月考）已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是____________．

答案　

解析　因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足

解得－

12．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.

（1）当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

解　

（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

函数图象的对称轴为x＝－

∈[－2,3]，

∴f（x）min＝f

＝

－

－3＝－

，

f（x）max＝f（3）＝15，

∴f（x）的值域为

.

（2）函数图象的对称轴为直线x＝－

.

①当－

≤1，即a≥－

时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－

，满足题意；

②当－

>1，即a<－

时，

f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，a＝－

或－1.

13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3,0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

其中正确的是（　　）

A．②④B．①④C．②③D．①③

答案　B

解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－

＝－1,2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y>0，

即a－b＋c>0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a

14．当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．

解　方法一　∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈（1,2）恒成立，

∴mx<－x2－4对x∈（1,2）恒成立，

即m<－

对x∈（1,2）恒成立，

令y＝x＋

，x∈（1,2），

则函数y＝x＋

在x∈（1,2）上是减函数．

∴4

<－4，

∴m≤－5.

方法二　设f（x）＝x2＋mx＋4，当x∈（1,2）时，

由f（x）<0恒成立，得

解得

即m≤－5.

15．若函数φ（x）＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞）上单调递增，则实数m的取值范围是__________．

答案　[－2,0]

解析　当0≤x<1时，φ（x）＝x2－mx＋m，此时φ（x）单调递增，则

≤0，即m≤0；

当x≥1时，φ（x）＝x2＋mx－m，此时φ（x）单调递增，则－

≤1，即m≥－2.

综上，实数m的取值范围是[－2,0]．

16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f（x）＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？

若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

解　f（x）＝（x－a）2＋a－a2，

当－2≤a<－1时，f（x）在[－1,1]上为增函数，

∴由

得a＝－1（舍去）；

当－1≤a≤0时，由

得a＝－1；

当0

得a不存在；

综上可得，存在实数a满足题目条件，a＝－1.