高一数学圆的方程经典例题.docx
- 文档编号:3074165
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:126.54KB
高一数学圆的方程经典例题.docx
《高一数学圆的方程经典例题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学圆的方程经典例题.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高一数学圆的方程经典例题
典型例
例1圆(Λ∙-3)2+(y-3)2=9±到直线3λ-+4>'-11=0的距离为1的点有几
个?
分析:
借助图形直观求解.或先求出直线厶、厶的方程,从代数计算中寻找解答.
解法圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为q(3,3),半径∕=3∙
设圆心OI到直线3x+4V-Il=O的距离为〃,则
∣3×3+4×3-Il∣
√3¼41
如图,在圆心Q同侧,及直线3x÷4y-ll=0平行且距离为1的直线厶
及圆有两个交点,这两个交点符合题意.
・•・及直线3x÷4y-ll=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
・・・符合题意的点共有3个.
解法二符合题意的点是平行于直线3Λ÷4y-ll=0,且及之距离为1的直线和圆的交点.
设所求直线为3x+4y+m=0,贝∣J√=±≤=1,
∙e∙m+ll=±59即In=-69或加=—16,也即
∕1x3x+4y-6=09⅛K∕23x+4y-16=0•
设圆O1≡(x-3)2+(y-3)2=9的圆心到直线厶的距离为〃】、心则
∣3×3÷4×3-6L∣3×3÷4×3-16Lk
•••厶及q相切,及圆q有一个公共点;厶及圆q相交,及圆q有两个公共点•即符合题意的点共3个•
说明:
对于本题,若不留心,则易发生以下误解:
设圆心OI到直线3x+4y-ll=0的距离为〃,则^∣3×3÷4×3-11L2<3.
√P74γ
•I圆O]到3x+4y-ll=0距离为1的点有两个•
显然,上述误解中的〃是圆心到直线3x÷4y-ll=0的距离,d 只能说明此直线及圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1∙ 到一条直线的距离等于定值的点,在及此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因此题中所求的点就是这两条平行直线及圆的公共点•求直线及圆的公共点个数,一般根据圆及直线的位置关系来判断,即根据圆心及直线的距离和半径的大小比较来判断• 典型例题三 例3求过两点A(l,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)及圆的关系. 分析: 欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P及圆的位置关系,只须看点P及圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为(兀-d}2+(y-by=r2. ∙.∙圆心在y=0上,故b=0. 圆的方程为(X-^)2+>,2=r2. 又Y该圆过4(1,4)、B(3,2)两点. .J(l-α)2+16=∕*2 [(3-α),+4=r2 解之得: Q=-I,r2=20. 所以所求圆的方程为(x+l)2+y2=20・ 解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过A(l,4)、3(3,2)两点,所以圆心C必在线段A3的垂直平分 线/上,又因为S=苦1,故/的斜率为1,又AB的中点为(2,3), 故AB的垂直平分线/的方程为: y-3=x-2即x-y+l=0. 又知圆心在直线y=0上,故圆心坐标为C(-l,0) ・*.Φ⅛r=∖AC∖=√(l+l)2+42=λ∕20・ 故所求圆的方程为(X+1)2+b=20・ 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 J=IPq=λ∕(2+1)2+42=√25>r. ・•・点P在圆外. 说明: 木题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和 半径这两个关键的量,然后根据圆心及定点之间的距离和半径的大小关系来判定点及圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线及圆的位置关系呢? 典型例题四 例4圆X2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+∖=0的距离为血的点共有(). (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 分析: 把X2+y2+2x+4y-3=0化为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心为(-1,-2),半径为「=2血,圆心到直线的距离为√Σ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于运,所以选C. 典型例题五 例5过点P(-3,-4)作直线/,当斜率为何值时,直线/及圆 C: (X-I)2+(y+2)2=4有公共点,如图所示. 分析: 观察动画演示,分析思路. 解: 设直线/的方程为 y+4=k(x+3) 即 kx-y+3k-4=0 根据(/S有 比+2+3£-4|刁 y∣∖+k2 整理得 3k2-4k=0 解得 4 0≤k≤-• 3 典型例题六 例6己知圆Ot√+y2=4,求过点P(2,4)及圆O相切的切线.解: T点P(2,4)不在圆O上, ・•・切线PT的直线方程可设为y=心-2)+4 根据d=r • •• 7+4|_2 √f+P 解得 k=〉 4 所以 y=-(x-2)÷4 即 3x-4y+10=0 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为;ι=2∙ 说明: 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 木题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于O解决(也要注意漏解)・还可以运用v÷>v=r2,求岀切点坐标 •5、儿的值来解决,此时没有漏解• 典型例题七 例7自点衣-3,3)发出的光线/射到兀轴上,被兀轴反射,反射光线所在的直线及圆C: √+y2-4x-4y+7=0相切 (1)求光线/和反射光线所在的直线方程. 切线的斜率为图3 k=-^ik=— 34 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x-3y+3=0或3x-4y-3=0 最后根据入射光及反射光关于X轴对称,求出入射光所在直线方程 为 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0 光路的距离为∖A'M∖,可由勾股定理求得PrMf=PrCfTCMf=7. 说明: 木题亦可把圆对称到兀轴下方,再求解. 典型例题八 例8如图所示,已知圆O: x2+y2=4及y轴的正方向交于A点,点B在直线y=2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求ΔABC垂心H的轨迹. 分析: 按常规求轨迹的方法,设H(.y),找;r,y的关系非常难.由 于H点随B,C点运动而运动,可考虑H,B,C三点坐标之间的关系.解: 设H(X,y),C(X,y),连结4H,CH, 贝IJAH丄BC,CH丄ABfBC是切线OC丄BC, 所以OC//AH,CHIIOA,OA=OCf 所以四边形AOCH是菱形. 所以∖CH∖=∖θA∖=2f得Iy=y~2' 又C(X,y)满足∕÷∕=4, 所以√÷(y-2)2=4(x≠0)即是所求轨迹方程. 说明: 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程•做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析及动点相关联的点,如相关联点轨迹方程己知,可考虑代入法. 典型例题九 例9求半径为4,及圆√+∕-4x-2y-4=0相切,且和直线尸0相切的圆的方程. 分析: 根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解: 则题意,设所求圆的方程为圆C: (X-Uy+(y-b)2=r2. 圆C及直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为G(α,4)或 C2(^,-4)・ 又己知圆X2+y2_4X_2_4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则IGAI=4+3=7或IGAl=4-3=1・ ⑴当GS,4)时,(α-2)2÷(4-l)2=72,或(α-2)2+(4-1)2=I2(无解),故可得0=2±2佰. ・•・所求圆方程为(x-2-2√W+(v-4)2=42,或 (X-2+2√10)2+(y-4)2=42. (2)当C? (“,一4)时,(α—2)2+(-4-1)2=7? 或(α一2)2+(一4—I)? =F(无解),故α=2±2√6. ・•・所求圆的方程为(x-2-2√6)2+(y+4)2=42,或 (x-2+2√z6)2+(y+4)2=42. 说明: 对本题,易发生以下误解: 由题意,所求圆及直线)=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(",4),且方程形如(x-α)2+(y-4)2=42・又圆x2+y2-4x-2y-4=0,即(x-2)2+(y-l)2=32,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则IcAI=4+3・故(«-2)2+(4-1)2=72,解之得6∕=2±2√1O.所以欲求圆的方程为(X_2_2√"10)2+(y-4)2=42,或(X_2+2√Iθ)2+(y-4)2=42. 上述误解只考虑了圆心在直线y=O上方的情形,而疏漏了圆心在直线下方的情形.另外,误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的. 典型例题十 例10已知圆x2+y2+x-6y+m=O及直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为原点,且OP丄O0,求实数加的值. 分析: 设P、0两点的坐标为(xl,yl)>(X2O12)»则由S•%=7,可得⅜÷>'1>'2=0,再利用一元二次方程根及系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为上,由直线/及圆的方程构造以上为未知数的 XX 一元二次方程,由根及系数关系得出為p∙褊。 的值,从而使问题得以解决. 解法一: 设点P、0的坐标为(χ1,y1)>(X2,y2).一方面,由OP丄OQ,得 k°p∙koQ=-∖,即—∙^-=-l,也即: xix2+yiy^≈O.① 另一方面,3」)、%,”)是方程组F「巴-3=0的实数解, x~+y+x-6y+〃? =O 即XI、X? 是方程5x'+10x+4∕"-27=0 的两个根• •C4/7/-27ΛJ∖ •∙x1+x2=-2X1X2=「•回 又P、Q在直线x+2y-3=0上, ∙,∙Xy2=+(3—坷)弓(3—花)=丄[9一3(坷+x2)+xlx2]. 乙乙4I 将③代入,得y1y2=^.④ 将③、④代入①,解得〃? =3,代入方程②,检验△>()成立, •∙IH=3♦ 解法二: 由直线方程可得3=x÷2y,代入圆的方程X2+y2+x-6y+m=0,有 x2+y2+1(X+2y)(x-6y)++2y)2=0, 整理,得(12+m)F+4(也一3)厂+(4加一27)y'=0. 由于x≠0,故可得 (4In一27)(=)2*4(,M一3)丄+↑2+ιn=0. XX •∙k°p, 紜0是上述方程两根.故k()p∙koQ=-l.彳导 12+tn 4加一27 =-1,解得〃】=3・ 经检验可知〃2=3为所求. 说明: 求解木题时,应避免去求P、0两点的坐标的具体数值.除此之外,还应对求出的加值进行必要的检验,这是因为在求解过程中并
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 方程 经典 例题