初中代数公式定律.docx

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初中代数公式定律

初中数学--代数公式定理

（1）

第一章有理数及其运算

1自然数及其运算

11自然数

零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位

除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作自然数的单位

自然数的全体：

0,1,2,3,4,…,n…,叫做自然数的集合,简称自然数集

能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数

12自然数的运算

1加法:

求和的运算叫做加法

2减法:

减法是加法的逆运算

3乘法:

同一个自然数的连加运算,就叫做乘法

4除法:

除法是乘法的逆运算,零不能做除数

13自然数的运算性质

用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律

1加法交换律:

a+b=b+a

2加法结合律:

（a+b）+c=a+（b+c）

3乘法交换律:

a•b=b•a

4乘法对加法的分配律:

（a+b）•c=a•c+b•c

5加法结合律:

（a•b）•c=a•（b•c）

6自然数0和1的运算特征

14乘法运算及指数运算律

求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算

a^n中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果a^n叫做幂（读作“a的n次幂”或“a的n次方”）

零的n次方总等于零,1的n次方总等于1

同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加

指数运算律

（一）

同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即a^m•a^n=a^（m+n）,

指数运算律

（二）

乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即（a•b）^n=a^n•b^n

指数运算律（三）

幂的乘方,指数相乘,底数不变,即（a^m）^n=a^（mn）

指数运算律（四）

同底数幂相除,指数相减,底数不变,即a^m/a^n=a^（m-n）其中m>n,a!

=0

两个同底数（不为0）、同指数的幂相除,其商等于1a^0=1（a!

=0）

分数的意义与特点

a/b•b=（a•1/b）•b=（b•1/b）•a=1•a=a

a/b=am/bm（m!

=0）

a/b=（a/b）/（b/n）（n!

=0）

分数有一个重要的基本性质：

一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变

22分数的运算及运算律

加、减法

a/b（+,-）c/d=ad/bd（+,-）bc/bd=（ad（+,-）bc）/bd

乘法

a/b•c/d=ac/bd

除法

（a/b）/（c/d）=（a/b）•（d/c）=ad/bc

乘方

（a/b）^m=（a/b）•（a/b）…（a/b）{m个括号}=（a^m）/（b^m）

分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b

3有理数的意义

31相反意义的量

在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消

32正数和负数、相反数

带有正号的数叫做正数（“+”号也可省略不写）;

带有负号的数叫做负数

负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消

数零,既不是正数,也不是负数

对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两个数,叫做互为相反数

零的相反数,仍是零

33有理数、数轴

整数包括正整数、负数和零

分数包括正分数、负分数

整数和分数,统称为有理数

全体有理数组成的集合,称为有理数集合

全体整数组成的集合,称为整数集合

全体自然数组成自然数集合

有理数可以用一条直线上的点来表示

规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴

对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它

正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限

互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示

34绝对值

一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值

一个正数的绝对值是它本身;

一个负数的绝对值是它的相反数;

零的绝对值是零

4有理数的运算

41有理数的加法与减法

加法

符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号

两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号

减法减法是加法的逆运算

减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数

在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的

42代数和

含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”

去括号法则：

去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号

添括号法则：

紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号

43有理数的乘法与除法

乘法

异号（一负一正）两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负

两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正

乘法法则：

将绝对值相乘,积的符号是：

同号得正,异号得负

当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;

只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零

除法

除法法则：

将绝对值相除,商的符号是：

同号相除得正,异号相除得负

零除以任一个非零有理数,其商仍为零

零不能作除数

任一个非零有理数x,除1所得的商1/x,叫做这个数x的倒数

非零有理数x与1/x互为倒数,其特征性质是x•1/x=1

零没有倒数

除以一个非零有理数,就等于诚意这个数的倒数a/b=a•1/b=a/b

44有理数的乘方

非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：

正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号

零的非零次都0;零的零次方没有意义

45有理数的混合运算

先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算

46近似数和有效数字

与实际相符的数,叫做准确数

与实际接近的数,叫近似数

一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字

5有理数的基本性质

51有理数运算的“通性”

1加、减、乘（乘方）、除运算的封闭性

任意两个有理数的和、差、积、商（0不作除数）都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法（除数不为0）、减法都不封闭;在整数范围内,除法（除数不为0）也不封闭

2加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律

（1）加法的交换律、结合律

对于有理数a、b、c来说

a+b=b+a;（a+b）+c=a+（b+c）

（2）乘法的交换律、结合律

对于有理数a、b、c来说,

a•b=b•a;（a•b）•c=a•（b•c）

（3）乘法对于加法的分配律

对于有理数a、b、c来说

a•（b+c）=a•b+a•c

3加、减法运算,乘、除运算的统一

（1）加、减运算的统一

任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得（-a）+a=a+（-a）=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+（-b）

（2）乘、除运算的统一

任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b•1/b=1/b•b=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a•1/b（b!

=

0）

4数0与1的特性

对于任意有理数a来说,

a+0=0+a=a;a•0=0•a=0;a•1=1•a=a

5乘方运算满足指数运算律

52有理数的大小顺序

负数<零<正数

a-b>0,a>b;

a-b=0,a=b;

a-b<0,a

负数小于0,0小于正数,负数小于正数;

两个整数比较时,绝对值大的数较大;

两个负数比较时,绝对值大的数反而较小

负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列

在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数

53等式与不等式的基本性质

1等式

用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式

无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式

在某些条件下,才能成为真实的等式,叫做条件等式

根本不能成立的等式,叫矛盾等式

等式有以下基本性质：

1）等式的两边可以对调

2）等式的关系可以传递

3）等式的两边,可以加上（或减去）同一个数

4）等式的两边,可以乘以（或除以非零的）同一个数

2不等式

用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式

1）如果A>B,那么B

2）如果A>B,B>C,那么A

3）如果A>B,那么A（+,-）m>B（+,-）m

4）如果A>B,且m>0,那么Am>Bm

5）如果A>B,且m<0,那么Am

初中数学--代数公式定理

（2）

第二章一次方程（组）与一次不等式（组）

1算术解法与代数解法

11两种解法的分析、对比

12未知数和方程

用字母x、y、…等,表示所要求的数量,这些字母称为“未知数”

用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子,叫做代数式

含有未知数的等式,叫做方程

在一个方程中,所含未知数,又成为元;

被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中,数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数

某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数

不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,因此常数项也称为零次项

13方程的解与解方程的根据

未知数应取的值是指：

把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成一个恒等式

能是方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根

求方程解的过程,叫做解方程

解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”

可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来,合并在一起——这叫做合并同类项

把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是“移项变号”

把方程两边各同除以未知数的系数（或同乘以系数的倒数）,就得到未知数应取的值

综上所述,得到解方程的方法、步骤：

去括号、移项变号、合并同类项,使方程化为最简形式ax=b（a!

=0）、除以未知数的系数,得出x=b/a（a!

=0）

2一元一次方程

只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:

ax+b=0（a!

=0,a、b是常数）

22一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤是：

1去分母（或化为整系数）;

2去括号;

3移项变号;

4合并同类项,化为ax=-b（a!

=0）的形式;

5方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a

3一次方程组

31二元一次方程

含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程

能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一次方程的一个解

任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为不定方程

32方程组与方程组的解

把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组

由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元一次方程组

能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解

33二元一次方程组的解法

求方程组的解的过程,叫做解方程组

设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法

叫做加减消元法,简称加减法

原方程组是矛盾方程组,无解

34三元一次方程组及其解法

含有三个未知数的三元一次方程组

4解应用问题

5一元一次不等式（组）

51一元一次方程式

在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不

等式

能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,简称为这个不等式的解集

求不等式的解集的过程,叫做解不等式

52一元一次不等式的解法

53一元一次不等式组

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集

54一元一次不等式组的解法

解一元一次不等式组的一般步骤是：

1先求出不等式组里各个不等式的解集;

2在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集

初中数学--代数公式定理（3）

第三章一元二次方程

1平方与平方根

11面积与平方

（1）任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和

（2）任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍

任意两个有理数的和（或差）的平方,等于这两个数的平方和,再加上（或减去）这两个数乘积的2倍

12平方根

1正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;

2零只有一个平方根,它就是零本身;

3负数没有平方根

14实数

无限不循环小数叫做无理数

有理数和无理数统称为实数

2平方根的运算

21算术平方根的性质

性质1一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身

性质2一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值

22算术平方根的乘、除运算

1算术平方根的乘法

sqrt（a）•sqrt（b）=sqrt（ab）（a>=0,b>=0）

2算术平方根的除法

sqrt（a）/sqrt（b）=sqrt（a/b）（a>=0,b>0）

通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化

（1）被开方数的每个因数的指数都小于2;

（2）被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根

23算术平方根的加、减运算

如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根

3一元二次方程及其解法

31一元二次方程

只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程

32特殊的一元二次方程的解法

33一般的一元二次方程的解法——配方法

用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

1化二次项系数为1用二次项系数去除方程两边,将方程化为x^2+px+q=0的形式

2移项把常数项移至方程右边,将方程化为x^2+px=-q的形式

3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数

4有平方根的定义,可知

（1）当p^2/4-q>0时,原方程有两个实数根;

（2）当p^2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根（二重根）;

（3）当p^2/4-q<0,原方程无实根

34一元二次方程的求根公式

一元二次方程ax^2+bx+c=0（a!

=0）的求根公式:

当b^2-4ac>=0时,x1,2=（-b（+,-）sqrt（b^2-4ac））/2a

35一元二次方程根的判别式

方程ax^2+bx+c=0（a!

=0）

当delta=b^2-4ac>0时,有两个不相等的实数根;

当delta=b^2-4ac=0时,有两个相等的实数根;

当delta=b^2-4ac<0时,没有实数根

36一元二次方程的根与系数的关系

以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x^2-（x1+x2）x+x1•x2=0

4解应用问题

第四章多项式的四则运算

1单项式与多项式

仅含有一些数和字母的乘法（包括乘方）运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式

单项式中的数字因数叫做这个单项式（或字母因数）的数字系数,简称系数

当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数

如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项

12多项式

有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式

多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项

单项式可以看作是多项式的特例

把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变

在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数

13多项式的值

任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子

14多项式的恒等

对于两个一元多项式f（x）、g（x）来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f（a）=g（a）,那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f（x）==g（x）,或简记为f（x）=g（x）

性质1如果f（x）==g（x）,那么,对于任一个数值a,都有f（a）=g（a）

性质2如果f（x）==g（x）,那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等

15一元多项式的根

一般地,能够使多项式f（x）的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f（x）的根

2多项式的加、减法,乘法

21多项式的加、减法

22多项式的乘法

单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指数作为积的一个因式

3多项式的乘法

多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加

23常用乘法公式

公式I平方差公式

（a+b）（a-b）=a^2-b^2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

公式II完全平方公式

（a+b）^2=a^2+2ab+b^2

（a-b）^2=a^2-2ab+b^2

两数（或两式）和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们积的2倍

3单项式的除法

两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式

一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加

第五章因式分解

1因式分解

11因式

如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式（即该多项式）就叫做质因式

12因式分解

把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解

1提取公因式法

2运用公式法

3分组分解法

4十字相乘法

5配方法

6求根公式法

13用待定系数法分解因式

2余式定理及其应用

21余式定理

f（x）除以（x-a）的余式是常数f（a）

如果f（a）=0,那么f（x）必定含有因式x-a;反过来,如果f（x）含有因式x-a,那么f（a）=0这个结论叫做因式定理

22余式定理的应用

23因式分解法解一元方程

24根与系数的关系

如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c（a不等于）0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

初中数学--代数公式定理（4）

第六章分式与二次根式

1分式与分式方程

11指数的扩充

12分式和分式的基本性质

设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式

分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变

13分式的约分和通分

分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简

如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式

对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分

14分式的运算

15分式方程

方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程

2二次根式

21根式

在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根

含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式

22最简二次根式与同类根式

具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:

（1）被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数

（2）根号内不含有分母

如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式

23二次根式的运算

24无理方程

根号里含有未知数的方程叫做无理方程

第七章二元二次方程组

1二元二次方程与二元二次方程组

11二元二次方程

含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程

关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0

其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项

12二元二次方程组

2二元二次方程组的解法

21第一种类型的二元二次方程组的解法

当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法

22第二种类型的二元二次方程组的解法

第八章函数与图像

1数轴

11有向直线

在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相

规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l

12数轴

我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标

对于每一个坐标（实数）,在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化

数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值

2平面直角坐标系

21平面的直角坐标化

在平面内任取一点o为作为原点（基准点）,过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限

22两点间的距离

23中点公式

3函数

31常量,变量和函数

在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数

一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量

1.函数的定义域

2.对应法则

（1）