《探索型数学问题》教学设计.docx

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《探索型数学问题》教学设计

人教课标版《数学》九年级下册

中考总复习第二轮

——专题复习之一

《探索型数学问题》

教学设计及其说明

九年级数学专题复习

《探索型数学问题》教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

条件探索型问题，结论探索型问题，存在探索型问题。

.

2.内容解析

本节课是针对九年级学生的中考第二轮专题复习课，安排在中考第一轮复习之后。

近几年全国各地的中考试卷中，常常能看到许多值得回味的探索性问题，所谓探索性问题，是指问题的条件或结论尚不明确，需通过探索去补充条件或完善结论的一类问题，这类问题能很好地实现对学生数学品质的考查，这和新课程的理念相符，因此探索性问题也就很自然地成为近几年新课程中考的热点问题。

探索性问题的“探索性”是与传统问题的“明确性”相对而言的。

一般情况下，传统问题条件完备，结论明确，只需计算结果或对结论加以论证。

而探索性问题则是通过学习对问题剖析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探索性活动来探索解题思路。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）经历探索型数学问题的教学，使学生基本掌握条件探索型问题，结论探索型问题，条件、结论探索型问题的解题策略与方法。

（2）教学中培养学生善于应用类比、联想、转化、数形结合等数学思想方法，提高观察、分析、比较、归纳探索及发散思维、动手操作的能力。

2.目标解析

开放探索性问题可分为条件型探索问题、结论探索型问题、存在探索型问题。

对于条件探索型问题，要善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；对于结论探索型问题，包括相应的结论的“存在性”问题，解决这类问题的关键是充分利用条件进行大胆而合理的推理、猜想，发现规律，得出结论，主要考查发散性思维和所学基础知识的应用能力；存在探索型问题，一般是指解题方法不唯一，或解题路径不明确，解答这类题要注意不能墨守成规，要善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

三、教学问题诊断分析

教学重点：

掌握探索型问题的特点及类型，熟练运用探索型问题的解题策略解决有关问题.教学难点：

通过对各种类型的探索型问题的探索，培养学生分析问题的能力和解决问题的能力.教学目标（知识、能力、教育）1.掌握探索型问题的特点及类型，熟练运用探索型问题的解题策略解决有关问题；2.通过对各种类型的探索型问题的探索，培养学生分析问题的能力和解决问题的能力；3.通过富有情趣的问题，激发学生进一步探索知识的积极性，感受到数学来源于生活。

探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的活动，探索性问题存在于一切学科领域，在数学中则更为普遍。

初中数学的探索性试题主要指命题缺少题设或未给出明确结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题。

探索型问题及解题策略主要有：

1.条件探索型：

一般是给出问题的部分条件及结论，让考生探索缺少的条件。

解决此问题的方法是采用逆向思维，从结论及部分条件出发，推出所需的条件；2.结论探索型：

一般是给定某些条件，让学生根据条件探索相应的结论。

符合条件的结论可能是多样的，也可能只有一种或不存在，需要进行推断，甚至还要探索条件变化中的结论；3.条件、结论探索型问题：

一般指解题方法不唯一，或解题途径不明确的问题，要求学生在解题过程中不应墨守成规，通过积极的思考，创新求索，优化解题策略。

四、教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

（一）创设情境，引入课题

活动1：

抢答题

若

，则无理数x可以是.

（写出一个即可）

教师让学生感受探索型问题在中考中所占的比重和学习的必要性，并初步唤起学生的好奇心和求知欲。

以抢答题的形式来创设情境，主要是为了调动学生的积极性和活跃课堂气氛，也是为了引出课题，并板书。

（二）互动合作，探究规律

活动2：

例题讲解1

例1：

如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，请你增加一个条件，使△ABC≌△ADC.（不能添加辅助线），增加的条件是.

变式：

（2014.江苏）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是________．

（只写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）

教师指明：

像这种结论确定，条件不完备的问题就叫“条件探索型”问题。

让学生结合这两个问题来归纳它的解题策略，教师作补充，并归纳成八个字：

执果索因,逆水行舟

引导学生观察、分析并解决问题，让学生初步感受到条件探索型问题的特征和解题策略。

在这个教学环节的处理上，多安排些学生回答，培养学生的发散思维。

活动3：

例题讲解2

抛物线

的部

分图象如图所示，请根据图象写出两个正确结论：

　　　　　，　　　　．

（直接写已知点的坐标的结论除外）

变式：

若一次函数y=2x+b的图象不经过第四象限，则实数b可以为___。

（写一个即可）

（三）跟踪训练，触类旁通

1.“若一组数据4、7、9、1、6、

的中位数是6”，其中两个数据不慎被墨水沾黑，这两个数据可能是（写出一组即可）

2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是（）

A.6B.7C.8D.9

让学生结合这两个问题来归纳它的解题策略，教师作补充，并归纳成八个字：

解题策略：

从分析题意入手，充分捕捉题设信息，由条件出发，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论．

执因索果，顺藤摸瓜

检测学生对解法的掌握情况，并借住问题2来归纳构造等腰三角形的技巧，为后面的问题做铺垫。

解决问题后再对这两个问题进行归类，分别属于条件探索型和结论探索型问题。

引导学生观察分析并解决问题，让学生感受到结论探索型问题的特征和解题策略。

同时也借例2来复习二次函数的有关知识，为后面的内容作铺垫。

像这种给定一些条件，需探索合情结论的问题就叫“结论探索型”问题。

（四）直击中考，实战演练

（江西中考改编）如图，已知二次函数

和二次函数

图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E、F．

（1）直接写出二次函数

，

图象的顶点坐标:

M_____,N______；

（2）当二次函数

，

的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是_______；

变式1：

如图，已知二次函数

（a＞0）和二次函数

（a＞0）图像的顶点分别为M、N，与y轴分别交于点E，F．

（1）直接写出二次函数

，

图象的顶点坐标:

M_____,N______；

（2）当二次函数

，

的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是_______；

（3）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）；

变式2：

如图，已知二次函数

和二次函数

图像的顶点分别为M、N，与y轴分别交于点E，F．

（4）思考：

当EF=8时，求a的值；

（5）若二次函数

的图象与x轴的右交点为A，是否存在这样的点A,使△AMN为等腰三角形，若存在，请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由。

答案呈现后，再回到解析式，从数的角度，看二次项系数a的值，再转向从形的角度，得出两图形形状相同，并进一步研究图形变换规律和对称性，为后面的问题做铺垫。

（1）若二次项系数a为不定值，该怎么求顶点坐标？

（2）E、F点的坐标能否用含a的式子来表示？

（3）E、F两点间的距离呢？

（4）M、N两点间的距离又是多少呢？

怎么求？

若删掉“（a＞0）”这个条件，思考：

当EF=8时，求a的值.

已知二次函数的解析式求顶点坐标和结合图形研究函数的增减性问题，让学生可以没有压力的解决问题，给他们解题的信心和兴趣。

答案呈现后，再回到解析式，从数的角度，看二次项系数a的值，再转向从形的角度，得出两图形形状相同，并进一步研究图形变换规律和对称性，为后面的问题做铺垫。

由特殊到一般，降低问题的难度，让学生迎刃而解，并再次讨论两抛物线的形状和对称性问题。

并归纳：

不管a为何值，顶点都不变。

[活动5]课堂小结，学习反思

（1）学到了什么知识?

（2）学会了什么数学思想?

认识了三类常见的探索型数学问题，分别是条件探索型，结论探索型和存在探索型，对应的解题策略分别是执果索因，逆水行舟、执因索果，顺藤摸瓜、假设存在迂回论证。

通过小结使学生对所学的知识有一个完整的、系统的认识，掌握本节课的重点，同时培养学生归纳概括能力.

（五）布置作业：

《数学总复习》第126，127页中选题。

教师布置作业，学生记录作业。

为了巩固所学知识，使不同的学生得到不同的发展,老师分层布置作业，学生按要求完成。

九年级数学专题复习

《探索型数学问题》教学设计说明

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识，经常用到的知识是：

一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图像及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等，其中用几何图形的某些特殊性质：

勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。

一、授课内容的数学本质、地位和对今后学习的影响

本节课是针对九年级学生的中考第二轮专题复习课，安排在中考第一轮复习之后。

近几年全国各地的中考试卷中，常常能看到许多值得回味的探索性问题，所谓探索性问题，是指问题的条件或结论尚不明确，需通过探索去补充条件或完善结论的一类问题，这类问题能很好地实现对同学们数学品质的考查，这和新课程的理念相符，因此探索性问题也就很自然地成为近几年新课程中考的热点问题。

二、教学内容的设计流程与目标定位

新课标指出，数学学习不仅包括数学的一些现成的结果，还有包括这些结果的形成过程。

探索性问题已成为课改思想的具体体现的热点之一，纵观全国各地中考试题，探索性试题已成为中考压轴的主要题型来源。

探索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。

探索性问题对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求，所以它是在新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。

在本节教学过程中教师以知识的运用为载体，引导学生从实例中体验条件和结论探索型问题的解题策略，抽象出一个可行实用的解题套路，并把握住学习探索型问题的目标。

为此在过程中，学生的学法应以自主探究与合作交流为主，教法采用师生互动、引导探究式教学.探索型问题在平时的学习过程中，学生虽有接触过，也已有了一定的解决能力，但从未进行过专题课堂教学，所以对专业术语的给出，学生很是困惑。

为了扫除学生思维上的障碍，本节课从最简单的也是学生最熟悉的问题出发，由简到繁，由易到难，通过解决问题的过程潜移默化地让学生感受各类探索型问题的特征及解题策略，并学会运用，以增强学习数学的兴趣，从而享受数学学习带来的乐趣．为了达到教学目标,我把教学过程设计成五个活动：

创设情境，呈现课题、类型学习，归纳策略、跟踪训练，触类旁通、直击中考，实战演练、课堂小结，学习反思

三、教学诊断与学习过程中的难易程度分析

所设计的四个活动都是为了让学生体会数学探索的活动过程，让学生在积极的讨论，合作交流中体会数学的综合应用.开放探索型问题的特点是：

（1）条件多余需选择，条件不足需补充；

（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法。

本节课教学中所挑选习题均是近几年的中考或中考改编题，具有典型性和代表性，从第一题无理式到最后的函数综合题，层层递进，学生的思维不断发散，不断升华，但其中对于基础偏弱的孩子还是会比较吃力。

所以在设计时，提前安排了学案的预习，应该可以起到好比较好的铺垫效果。

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

这节课本着以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则；遵循特殊到一般，具体到抽象，由浅入深，由易到难的认识规律.整个教学过程突出以下构想：

（1）创设情境，引人入胜首先根据学生的认知基础，抛出一个简单的探索型问题，激发学生的求知欲，使学生感知探索型问题的存在和意义，为新课的开展创设良好的教学氛围.

（2）过程凸现，紧扣重点各类探索型问题的和特征和解题策略的形成过程是本节的重点.所以本节突出概念形成过程的教学.首先列举学生熟悉例子，引导学生从实例中观察分析探索型问题的特征，归纳出方法.然后提出问题，帮助学生把握概念的本质特征，再引导学生运用概念并及时反馈，最后再进行综合训练，同时在概念的形成过程中，着力于培养学生观察分析概括的能力.引导学生从探索变化的角度看问题，向学生渗透唯物主义观点的教育.（3）由简到繁，化难为易本节课的难点是培养学生分析和解决综合问题的能力.教学活动中充分利用一题多解，一题多变，从特殊到一般，对问题进行分解，逐步呈现，循序渐进，使复杂的问题简单化，使抽象的问题形象化，让学生先尝到解题的甜头，在愉快轻松的氛围中获得新知，锻炼思维，提高能力。

（4）例子展现，做好铺垫为了让学生轻松，胜利地解决最后一个中考改编的综合题，消除学生做综合题的恐惧心理，前面的例题和习题训练，不仅是为了呈现知识和方法，更是有意地选题，为了解决综合题做了大量的知识和技能的铺垫，以达承前启后的效果，并让学生体验成功的快感。

作为一名青年教师，在专业成长的道路上还有太多的未知等待着自己去发现与解决，我将以最大的热情与精力投入到教育事业中去，任重而道远。