概率论与数理统计习题三解析哈工大版.docx
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概率论与数理统计习题三解析哈工大版
习题二
1•掷一枚非均质的硬币,
出现正面的概率为p(0p1),若以X表示直
至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X的分布列。
解(Xk)表示事件:
前k1次出现正面,第k次出现反面,或前k1次出现反面,第k次出现正面,所以
k1k1
P(Xk)p(1p)(1p)p,k2,3,L.
2.袋中有b个黑球a个白球,从袋中任意取出r个球,求r个球中黑球个
数X的分布列。
解从ab个球中任取r个球共有C;b种取法,r个球中有k个黑球的取法有C^C;k,所以X的分布列为
P(X
k)
CbC
C;
max(O,ra),max(O,ra)1丄,min(b,r),
此乃因为,如果ra,则r个球中可以全是白球,没有黑球,即k0;
如果r
的概率
Pii1(i
i1
1,2,3),以X表示三个零件中合格品的个数,
列。
解
设A
'第i个零件是合格品’i
1,2,3。
则
———
111
1
P(X
0)
P(A1A2A3)
234
24,
P(X
1)
P(A1A2A3
AA2A3
A|A2A3)
P(A1A2A3)
P(A,A2A3)P(A,A2A3)
1111
211
136
2342
342
3424'
P(X
2)
P(AA2A3
A1A2A3
A1A2A3)
PSA2A3)
p(AA2A3)P(A1A2A3)
1211
131
2311
2342
342
3424,
P(X
3)
P(AA2A3)
123
6
a则r个球中至少有r
a个黑球,此时k应从ra开始。
3•一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i个零件是不合格品
23424
即X的分布列为
求X的分布
X
0
1
2
3
P
1
6
11
6
24
24
24
24
4•一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯
为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概
1
率均为一
2
以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,
求X的概率
分布。
解
P(X
1
0)P(第一个路口即为红灯)一,
2
P(X
1)P(第一个路口为绿灯,第二个路口为红灯
)丄
1
1
2
2
4
依此类推,
得X
的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
~T~
~T~
~T~
2
4
8
8
5.将一枚硬币连掷n次,以X表示这n次中出现正面的次数,求X的分
布列。
1
解X为n重贝努里试验中成功出现的次数,故X〜B(n,—),X的分布
2
列为
P(Xk)Ck1k0,1,L,n
6.一交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为
4的泊松分布,求
(1)每分
5的泊松分布,问在月初至
0.99977以上。
钟恰有8次呼叫的概率;
(2)每分钟的呼叫次数大于10的概率。
解设X为每分钟接到的呼叫次数,则X~P(4)
4
4
k
44
k
44
(1)
P(X
8)
e
e
e40.2977
8!
k8k!
kq
k!
4k
4
(2)
P(X
10)
—
e0.00284.
k
11k!
0.99977P(XN)1P(X
N)1P(X
KN1
K)1
5k5ekn1k!
即
5K5
e50.00023
kn1k!
查泊松分布表知N115,故月初要库存14件以上,才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8•已知离散型随机变量X的分布列为:
P(X1)0.2,P(X2)0.3,P(X3)0.5,试写出X的分布函数。
解X的分布列为
X1
2
3
P0.2
所以X的分布函数为
0.3
0.5
0,
x
1,
F(x)
0.2,
1
x
2,
0.5,
2
x
3
1,
x
3.
9.设随机变量X的概率密度为
csinx,0x,f(x)
0,其他.
求:
(1)常数C;
(2)使P(Xa)P(Xa)成立的a.
解
(1)
1
f(x)dx
c0sinxdxccos〉
<0
2c,c一
2
(2)
P(X
a)
1
sinxdx
1
—cosx
1
-cosa,
a2
2
2
2
P(X
a)
a1
sinxdx
1
a
1
1
—
—cosx
—
-cosa,
02
2
0
2
2
可见
cosa
0,
a—。
2
10.
设随机变量
X的分布函数为
F(x)A
Barctanx,
x
求:
(1)
系数A与B
;
(2)
P(
1X1);
(3)X的概率密度。
解
(1)由分布函数的性质
0F()ABi
F(
所以X的分布函数为
11
(3)
F(x)
—arctanx
P(1
1)
F
(1)F
(1)
(訂
4)
X的概率密度为
f(x)
(X)
(1x
已知随机变量
X的概率密度为
1
e
2
f(x)
|x|
求X的分布函数.
eudu,
0,
F(x)
f(u)du
-exdx
2
2心,
0,
0,
0.
1e,
2
1
1e
2
x,
0x
1,
f(x)2x,
1x
2,
0,
其他.
求X的分布函数.
解f(x)的图形为
X的分布函数为
12•设随机变量
X的概率密度为
x0,
x
oUdU,0X1,
1X
oxdx1(2u)du,1x2,
1,x2.
0,
2
x
J
2
2
x
2
1,
2x1,
x0,
0x1,
1x2,
x2.
13
助夕祀”卜Fl如RH讥电、以比'恥亠
*..(o開纯
I丨丿小
13•设电子管寿命X的概率密度为
100f(x)〒
x100,
x100.
若一架收音机上装有三个这种管子,求(电了管被烧坏的概率;
(2)
(3)Y的分布函数。
解Y为在使用的最初
在使用的最初
1)使用的最初150小时,至少有两个
150小时烧坏的电子管数
Y的分布列;
pP(X150)
150小时烧坏的电子管数,
1501001
Fdx
100x23
Y〜B(3,
P),其中
(1)所求概率为P(Y
2)P(Y2)P(Y3)
C;
7
27;
(2)
Y的分布列为P(Y
k)
Ck1
C33
Y
01
2
3
P
812
6
1
2727
27
27
(3)
Y的分布函数为
0,x
0,
8,0
27
x
1
F(x)
20
27,1
x
2,
26,2
27
x
3,
1,x
3.
即
设随机变量
0,123,
14
f(x)
X的概率密度为
2x,0x1,
0,其他.
0.1的观测次数,试求
现对X进行n次独立重复观测,以V表示观测值不大于随机变量Vn的概率分布。
解V~B(n,p),其中
0.1
pP(X0.1)o2xdx0.01,
所以Vn的概率分布列为
P(Vnk)C:
(0.01)k(0.99)nk,k0,1丄,n.
15•设随机变量X~U[1,6],求方程x2Xx10有实根的概率
解设A
A发生
A发生
'方程有实根'
,则
X2
X
4
2,
0
即
|X|2,因X~U[1,6],所以
所以
P(A)
P(X
2)
6
2
40.8.
6
1
5
16•设随机变量X~U[2,5],现对X进行3次独立观测,试求至少有两次
观测值大于3的概率.
解设丫为三次观测中,观测值大于
3的观测次数,则Y~B(3,p),其中
pP(X
532
3)52
3
所求概率为
一21
3
220
P(Y2)
P(Y2)
P(Y3)
33
32
17•设顾客在某银行窗口等待服务的时间
X(单位:
分)
,服从参数为
1
-的
5
指数分布。
若等待时间超过10分钟,则他就离开。
设他一个月要来银行5次,
以Y表示一个月他没有等到服务而离开窗口的次数,
求Y的分布列及P(Y1)。
解
由题意Y~B(5,p),其中
xx
1-—
pP(X10)-e5dxe5
105
2
e,
10
于是Y的分布为
0,1,2,3,4,5,
0.5167.
k2、k2、5k
P(Yk)C5(e)(1e)k
P(Y1)1P(Y0)1(1e2)5
18•一大型设备在任何长为t的时间发生故障的次数N(t)服从参数为t的
泊松分布。
(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;
(2)求在设备已经
无故障工作了8小时的情况下,再无故障运行8小时的概率。
解
(1)设T的分布函数为Ft(t),则
FT(t)P(Tt)1P(Tt)
事件仃t)表示两次故障的间隔时间超过t,也就是说在时间t没有发生故
障,故N(t)0,于是
Ft(U1P(Tt)1
P(N(t)0)
0
1(0?
et1八t0,
可见,T的分布函数为
l/、1et,
t0,
Ft(t)
0,
t0.
即T服从参数为的指数分布。
(2)所求概率为
19
P(T16|T
(1)
(3)
设随机变量
P(101.1
常数a,使P(|X
8)P{T16,T8}
P(T8)
2
X~N(108
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