验证勾股定理公开课教案.docx
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验证勾股定理公开课教案
1.1探索勾股定理
第2课时验证勾股定理
第一环节:
复习设疑,激趣引入
内容:
教师提出问题:
(1)勾股定理的内容是什么?
(请一名学生回答)
(2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形探索发现了勾股定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?
这需要进一步验证,如何验证勾股定理呢?
事实上,现在已经有几百种勾股定理的验证方法,这节课我们也将去验证勾股定理.
意图:
(1)复习勾股定理内容;
(2)回顾上节课探索过程,强调仍需对一般的直角三角形进行验证,培养学生严谨的科学态度;(3)介绍世界上有数百种验证方法,激发学生兴趣.
效果:
通过这一环节,学生明确了:
仅仅探索得到勾股定理还不够,还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时,马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.
第二环节:
小组活动,拼图验证.
内容:
活动1:
教师导入,小组拼图.
教师:
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(请每位同学用2分钟时间独立拼图,然后再4人小组讨论.)
活动2:
层层设问,完成验证一.
22
图1
学生通过自主探究,小组讨论得到两个图形:
图2
在此基础上教师提问:
(1)如图1你能表示大正方形的面积吗?
能用两种方法吗?
(学生先独立思考,再4人小组交流);
(2)你能由此得到勾股定理吗?
为什么?
(在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×
ab+c2.并得到
)
从而利用图1验证了勾股定理.
活动3:
自主探究,完成验证二.
教师小结:
我们利用拼图的方法,将形的问题与数的问题结合起来,联系整式运算的有关知识,从理论上验证了勾股定理,你还能利用图2验证勾股定理吗?
(学生先独立探究,再小组交流,最后请一个小组同学上台讲解验证方法二)
意图:
设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证作铺垫,同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中,学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证,完成本节课的一个重点内容.设计活动3,让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.
效果:
学生通过先拼图从形上感知,再分析面积验证,比较容易地掌握了本节课的重点内容之一,并突破了本节课的难点.
第三环节延伸拓展,能力提升
1.议一议:
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
_
b
_
a
_
a
_
c
_
b
_
c
2.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:
4,求两直角边的长。
意图:
在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系,那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?
学生通过数格子的方法可以得出:
如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边a,b,c不满足a2+b2=c2。
通过这个结论,学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识,并为后续直角三角形的判别打下基础。
第四环节:
例题讲解初步应用
内容:
例题:
飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩子头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?
意图:
(1)初步运用勾股定理解决实际问题,培养学生应用数学的意识和能力;
(2)体会勾股定理的应用价值.
效果:
学生对这样的实际问题很感兴趣,基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.
第五环节:
追溯历史激发情感
活动内容:
由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.
国内调查组报告:
用图2验证勾股定理的方法,据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会(ICM-2002)在北京召开,这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图,这既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!
国际调查组报告:
勾股定理与第一次数学危机.
约公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理),若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数,它不能表示成两个整数之比,这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭,而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁,第一次数学危机由此爆发.据说,毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒,为了保守秘密,最后将希帕索斯投入大海.
不能表示成两个整数之比的数,15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”,无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.
趣闻调查组报告:
勾股定理的总统证法.
a
a
b
b
c
c
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景……他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
于是这位中年人不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下
的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给
出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
说明:
这个环节完全由学生来组织开展,教师可在两天前布置任务,让部分同学收集勾股定理的资料,并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示,内容可灵活安排.
意图:
(1)介绍与勾股定理有关的历史,激发学生的爱国热情;
(2)学生加强了对数学史的了解,培养学习数学的兴趣;(3)通过让部分学生搜集材料,展示材料,既让学生得到充分的锻炼,同时也活跃了课堂气氛.
效果:
学生热情高涨,对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣,同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出:
当代中国数学成就不够强,还应发奋努力.有同学能意识这一点,这让我喜出望外.
第六环节:
回顾反思提炼升华
内容:
教师提问:
通过这节课的学习,你有什么样的收获?
师生共同畅谈收获.
目的:
(1)归纳出本节课的知识要点,数形结合的思想方法;
(2)教师了解学生对本节课的感受并进行总结;(3)培养学生的归纳概括能力.
效果:
由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性,所以学生谈的收获很多,包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想,学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.
第七环节:
布置作业,课堂延伸
内容:
教师布置作业
1.习题1.21,2,3
2.上网或查阅有关书籍,搜集至少1种勾股定理的其它证法,至少1个勾股定理的应用问题,一周后进行展评.
意图:
(1)巩固本节课的内容.
(2)充分发挥勾股定理的育人价值.
教学设计反思
1.设计说明
勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值,因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,我设计了拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究得到方法1,最后由学生独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.
2.教学建议
如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学,并且可以把分层练习中“知识拓展”作为课堂教学内容.如果学生程度稍差,可以舍弃第三环节以及第五环节中的
(2)(3)两个问题.而把分层练习中“基础训练”作为课堂过关使用.
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
2.2 平方根
第1课时 算术平方根
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根;(重点)
2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(重点)
3.了解算术平方根的性质.(难点)
一、情境导入
上一节课我们做过:
由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,那么有a2=2,a=________,2是有理数,而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫做x的平方,反过来x叫做a的什么呢?
二、合作探究
探究点一:
算术平方根的概念
【类型一】求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根:
(1)64;
(2)2
;(3)0.36;(4)
.
解析:
根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根,只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.
解:
(1)∵82=64,∴64的算术平方根是8;
(2)∵(
)2=
=2
,∴2
的算术平方根是
;
(3)∵0.62=0.36,∴0.36的算术平方根是0.6;
(4)∵
=
,又92=81,∴
=9,而32=9,∴
的算术平方根是3.
方法总结:
(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求
与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑.
(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.
【类型二】利用算术平方根的定义求值
3+a的算术平方根是5,求a的值.
解析:
先根据算术平方根的定义,求出3+a的值,再求a.
解:
因为52=25,所以25的算术平方根是5,即3+a=25,所以a=22.
方法总结:
已知一个数的算术平方根,可以根据平方运算来解题.
探究点二:
算术平方根的性质
【类型一】含算术平方根式子的运算
计算:
+
-
.
解析:
首先根据算术平方根的定义进行开方运算,再进行加减运算.
解:
+
-
=7+5-15=-3.
方法总结:
解题时容易出现如
=
+
的错误.
【类型二】算术平方根的非负性
已知x,y为有理数,且
+3(y-2)2=0,求x-y的值.
解析:
算术平方根和完全平方式都具有非负性,即
≥0,a2≥0,由几个非负数相加和为0,可得每一个非负数都为0,由此可求出x和y的值,进而求得答案.
解:
由题意可得x-1=0,y-2=0,所以x=1,y=2.所以x-y=1-2=-1.
方法总结:
算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性,即
≥0,|a|≥0,a2≥0,当几个非负数的和为0时,各数均为0.
三、板书设计
算术平方根
让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到:
讲清概念,加强训练,逐步深化.
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1.会确定正比例函数的表达式;(重点)
2.会确定一次函数的表达式.(重点)
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦,在甲播种机播种2天后,又调来乙播种机参与播种,直至完成800亩的播种任务,播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗?
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢?
学习了本节的内容,你就知道了.
二、合作探究
探究点一:
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y=(m-4)m2-15的表达式.
解析:
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的,即自变量的指数为1,系数不为0,这种类型简称为定义式.
解:
由正比例函数的定义知m2-15=1且m-4≠0,∴m=-4,∴y=-8x.
方法总结:
利用正比例函数的定义确定表达式:
自变量的指数为1,系数不为0.
探究点二:
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解析:
先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,-5)两点,所以当x=0时,y=5;当x=2时,y=-5.由此可以得到两个关于k、b的方程,通过解方程即可求出待定系数k和b的值,再代回原设即可.
解:
设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得,
∴
解得
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
方法总结:
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解析:
根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式,利用勾股定理可以求出OA的长,从而可以求出点B的坐标,根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.
解:
设正比例函数的表达式为y1=k1x,一次函数的表达式为y2=k2x+b.∵点A(4,3)是它们的交点,∴代入上述表达式中,得3=4k1,3=4k2+b.∴k1=
,即正比例函数的表达式为y=
x.∵OA=
=5,且OA=2OB,∴OB=
.∵点B在y轴的负半轴上,∴B点的坐标为(0,-
).又∵点B在一次函数y2=k2x+b的图象上,∴-
=b,代入3=4k2+b中,得k2=
.∴一次函数的表达式为y2=
x-
.
方法总结:
根据图象确定一次函数的表达式的方法:
从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时,在进价的基础上加一定利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请你根据表中所提供的信息,列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
5
40+2.0
…
…
解析:
从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解:
由表中信息,得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时,y=8.4×2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.
方法总结:
解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程,掌握用待定系数法求一次函数的表达式,进一步使用数形结合的思想方法;经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程,体会到解决问题的多样性,拓展学生的思维.
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