1112学年高中数学1512曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习新人教A版选修22.docx
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1112学年高中数学1512曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习新人教A版选修22
选修2-21.5.1曲边梯形的面积、1.5.2汽车行驶的路程
一、选择题
5
1.和式(yi+1)可表示为()
i=1
A.(y1+1)+(y5+1)
B.y1+y2+y3+y4+y5+1
C.y1+y2+y3+y4+y5+5
D.(y1+1)(y2+1)⋯(y5+1)
[答案]
C
5
[解析]
(yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+
i=1
y5+5,故选C.
2.在求由x=a,x=b(a
围成的曲边梯形的面积
S时,在
区间[a,b]上等间隔地插入n-1
个分点,分别过这些分点作
x轴的垂线,把曲边梯形分成n
个小曲边梯形,下列说法中正确的个数是()
①n个小曲边梯形的面积和等于
S;
②n个小曲边梯形的面积和小于
S;
③
n
个小曲边梯形的面积和大于
;
S
④n个小曲边梯形的面积和与
S之间的大小关系无法确定
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[答案]
A
[解析]
n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为
S.∴①正
确,②③④错误,故应选A.
3.在“近似代替”中,函数
f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值等于(
)
A.只能是左端点的函数值
f(xi)
B.只能是右端点的函数值
f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξ
)(ξ
∈[x
,x
i+
])
i
i
i
1
D.以上答案均不正确
[答案]
C
[解析]
由求曲边梯形面积的“近似代替”知,
C正确,故应选C.
4.(2010·惠州高二检测)求由抛物线
y
=22
与直线
x
=0,
=
(
t
>0),
=0所围成的曲
x
x
t
y
第-1-页共6页
边梯形的面积时,将区间
[0,t]等分成n个小区间,则第
i-1个区间为(
)
A.
i-1
i
B.
i
i+1
n
,n
n,n
C.
t(i-1),
ti
D.
t(i-2)
,t(i
-1)
n
n
n
n
[答案]
D
[解析]
在[0,t]上等间隔插入(n-1)
个分点,把区间[0,t]等分成n个小区间,每个
t
t(i-2)
,
t(i-1)
小区间的长度均为
n,故第i-1个区间为
n
n
,故选D.
5.由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,将区间
4等分,则曲边梯
形面积的近似值(取每个区间的右端点
)是(
)
1
111
A.19
B.256
C.
110
D.
25
270
64
[答案]
D
[解析]
s=
13
+
23
+
33
+1
3
1
4
4
4
×
4
13+23+33+4325
=44=64.
1
6.在等分区间的情况下,f(x)=1+x2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极
限形式正确的是()
n
1
2
A.lim
[
]
i
·
n→∞
i=1
2
n
1+n
n
1
2
B.lim
[
·
]
n→∞
i=1
2i
2
n
1+n
n
1
1
C.lim
2·
i=1
1+i
n
n→∞
n
1
D.lim
[
·n]
i
n→∞
i=1
2
1+n
[答案]
B
进行n等分每个区间长度为
2
[解析]
将区间[0,2]
n,故应选B.
第-2-
页共6
页
二、填空题
7.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1围成的曲边梯形,将区间[0,2]5等分,按照
区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
[答案]3.925.52
8.已知某物体运动的速度为v=t,t∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点
处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________.
[答案]55
三、解答题
2
9.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x所围成曲边梯形的面积.
分成n个小区间,则第
i个小区间为
2(i-1)
2i
[解析]
将区间[0,2]
n
,n.
第i个小区间的面积
Si
=f
2(t-1)
2
n
·n,
n
2(i-1)
2
∴Sn=
f
·
n
n
i=1
2n
4(i-1)
2
n
8
(i
-1)
2
=
n
2
=
3
ni=1
ni
=1
8
2
2
2
2
=n3[0+
1+2+⋯+(n-1)
]
8(n-1)n(2n-1)
=n3·6
8(n-1)(2n-1)
=6n2.
=limn=lim
8(n-1)(2n-1)
8
2
=,
Sn→∞Sn→∞
6n
3
8
∴所求曲边梯形面积为3.
[点评]注意求平方和时,用到数列中的一个求和公式
.12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)
.
6
不要忘记对Sn求极限.
10.汽车以速度
v
做匀速直线运动时,经过时间
t
所行驶的路程
=
vt
.如果汽车做变速
s
直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(单位:
km/h),那么它在
1≤t≤2(单位:
h)这段时
间行驶的路程是多少?
[分析]汽车行驶路程类似曲边梯形面积,根据曲边梯形面积思想,求和后再求极限值.
第-3-页共6页
将区间[1,2]等分成n个小区间,第
i个小区间为
i-1
i
[解析]
1+n
,1+n.
∴Δsi=f
i
-1
1
1+
n
·.
n
n
i
-1
1
sn=f
1+
n
·
n
i=1
1n
i
-12
=ni=1
1+n
+2
1n
(i
-1)2
2(
i-1)
=ni=1
n2
+
n
+3
1
1
2
2
2
2
1
=n3n+n2[0+1+2+⋯+(n-1)
]+n[0+2+4+6+⋯+2(n-1)]
(n-1)(2n-1)
n-1
=3+
6n2
+n.
3+
(n-1)(2
n-1)n-1
13
.
n
2
+
=
s=lims=lim
6n
n
3
n→∞
n→∞
13
∴这段时间行驶的路程为
3km.
11.求物体自由落体的下落距离:
已知自由落体的运动速度
v=gt,求在时间区间[0,t]
内物体下落的距离.
[分析]
选定区间→分割→近似代替→求和→取极限
[解析]
(1)分割:
将时间区间
[0,t]分成n等份.
i-1
it
把时间[0,t]分成n个小区间
n
t,n
(i=1,2,⋯,n),
it
i-1
t
每个小区间所表示的时间段
t=n-
n
t=n,在各小区间物体下落的距离记作
si(i
=1,2,⋯,n).
(2)近似代替:
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.
在
i-1
t,
it
(i-1)
t近似代
n
n
上任取一时刻ξi(i=1,2,⋯,n),可取ξi使v(ξi)=g
n
t
替第i
个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体
t=n内所经过的距离可近似表示
i
-1
t
为si
≈g
nt
·n(i=1,2,⋯,n).
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n
(3)求和:
sn=si
i=1
n
i-1
t
=g
·t
·
i=1
n
n
gt2
=n2[0+1+2+⋯+(n-1)]
=1gt21-1.
2n
1
2
1-
1
1
2
(4)取极限:
s=limgt
n
=gt.
n→∞2
2
1
12.求由直线x=1、x=2、y=0及曲线y=x2围成的图形的面积S.
[解析]
(1)
分割
在区间[1,2]
上等间隔地插入
-1个点,将它等分成
n
个小区间:
n
n+1
,
n+1
n+2
,⋯,
n+n-1
i
个区间为
n+i-1
,
n+i
(i=
1,
n
,
n
,2,记第
n
n
n
n
1,2,⋯,),其长度为
n
+
i
n
+
-11
n
i
=n.
x=n
-
n
分别过上述n-1
个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成
n个小曲边梯形(如下图),它们
n
的面积记作:
S,
S,⋯,
S,则小区边梯形面积的和为
S=i
1
2
n
S.
i=1
(2)近似代替
1
n+i
-1
n+i
1
记f(x)=x2.当n很大,即
x很小时,在区间
n
,
n
上,可以认为f(x)=x2的
f(
n+i-1
n+i
值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于
n
·
n).从图形上看,就
是用平行于
x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间
n+i-1,n+i上,
n
n
用小矩形面积
Si′近似地代替
Si,即在局部小范围内“以直代曲”,
则有
Si≈Si′=
第-5-页共6页
+
-
+
i
n2
1
n
n
)(i=1,2,⋯,n).
f
ni
1
·
n
x=(
n
+
-1)(
n
+
)
·=
(
+
-1)(
+
n
i
i
n
ni
ni
(3)求和
nn
小曲边梯形的面积和
n=
i
≈
i
′
S
S
S
i=1
i=1
n
n
n
n
n
=i=1(n+i-1)(n+i)=n(n+1)+(n+1)(n+2)+⋯+(n+n-1)(n+n)
111111
=nn-n+1+n+1-n+2+⋯+n+n-1-n+n
1111
=nn-2n=2.从而得到S的近似值S≈Sn=2.
(4)取极限
分别将区间[1,2]
等分成8,16,20,⋯等份时,Sn越来越趋向于
1
S,从而有S=limSn=.
n→∞
2
1
S
1
∴由直线x=1,x=2,y=0及曲线y=
2围成的图形的面积
为.
x
2
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- 1112 学年 高中数学 1512 梯形 面积 汽车 行驶 路程 同步 练习 新人 选修 22