一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。
a×b=c,当b=1时,c=a.
注:
在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。
附:
形如的分数可折成()×
(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同,先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律:
a×b=b×a乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律:
a×(b±c)=a×b±a×c
(五)倒数的意义:
乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。
单独一个数不能称为倒数。
(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:
两数相乘的积是否为“1”。
例如:
a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法:
①求分数的倒数:
交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数:
整数分之1。
③求带分数的倒数:
先化成假分数,再求倒数。
④求小数的倒数:
先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身,因为1×1=1;0没有倒数,因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。
5、任意数a(a≠0),它的倒数为1/a;非零整数a的倒数为1/a;分数1/a的倒数是a。
6、真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。
带分数的倒数小于1。
(六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少?
(用乘法)
“1”×
=
例如:
求25的是多少?
列式:
25×=15
甲数的等于乙数,已知甲数是25,求乙数是多少?
列式:
25×=15
注:
已知单位“1”的量,求单位“1”的量的几分之几是多少,用单位“1”的量与分数相乘。
2、(什么)是(什么)的。
()=(“1”)×
例1:
已知甲数是乙数的,乙数是25,求甲数是多少?
甲数=乙数×即25×=15
注:
(1)“是”“的”字中间的量“乙数”是的单位“1”的量,即是把乙数看作单位“1”,把乙数平均分成5份,甲数是其中的3份。
(2)“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号,“的”字相当于“×”。
(3)单位“1”的量×分率=分率对应的量例2:
甲数比乙数多(少),乙数是25,求甲数是多少?
甲数=乙数 ± 乙数×即25±25×=25×(1±)=40(或10)
3、巧找单位“1”的量:
在含有分数(分率)的语句中,分率前面的量就是单位“1”对应的量,或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。
4、什么是速度?
——速度是单位时间内行驶的路程。
速度=路程÷时间时间=路程÷速度路程=速度×时间
—单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位,每分钟、每小时、每秒钟等。
5、求甲比乙多(少)几分之几?
多:
(甲-乙)÷乙少:
(乙-甲)÷乙
分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:
画两条线段图;
(2)部分和整体的关系:
画一条线段图。
2、找单位“1”:
在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍:
一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:
一个数×
。
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:
单位“1”的量×(1
分率)=分率对应量
三、倒数1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。
因为1×1=1;0乘任何数都得0,
(分母不能为0)
4、对于任意数
,它的倒数为
;非零整数
的倒数为
;分数
的倒数是
;
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
乘法:
因数×因数=积除法:
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、“
”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题(未知单位“1”的量(用除法):
已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。
)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:
单位“1”的量×(1
分率)=分率对应量
2、解法:
(建议:
最好用方程解答)
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:
就一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:
两个数的相差量÷单位“1”的量或:
①求多几分之几:
大数÷小数–1②求少几分之几:
1-小数÷大数
三、比和比的应用
(一)、比的意义1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
例如15:
10=15÷10=
(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
∶∶∶∶
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。
也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。
例:
路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比:
表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:
相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“:
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
7、比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:
0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:
比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比:
(1)
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比:
用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比:
向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。
注意:
最后结果要写成比的形式。
如:
15∶10=15÷10=
=3∶2
5.按比例分配:
把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配。
如:
已知两个量之比为
,则设这两个量分别为
。
6.路程一定,速度比和时间比成反比。
(如:
路程相同,速度比是4:
5,时间比则为5:
4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。
(如:
工作总量相同,工作时间比是3:
2,工作效率比则是2:
3)
第四单元圆
一、认识圆
1、圆的定义:
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:
将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的
。
用字母表示为:
d=2r或r=
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:
长方形;只有3条对称轴的图形是:
等边三角形。
只有4条对称轴的图形是:
正方形;有无数条对称轴的图形是:
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
3.圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时,一般取π≈3.14。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:
C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:
等于圆的周长÷2计算方法:
2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法:
πr+2r即5.14r
三、圆的面积1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:
体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:
长方形面积=长×宽
所以:
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r
圆的面积公式:
S圆=πr2r2=S÷π
4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。
(R=r+环的宽度.)
S环=πR²-πr²或环形的面积公式:
S环=π(R²-r²)。
5、扇形的面积计算公式:
S扇=πr2×
(n表示扇形圆心角的度数)
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:
在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:
半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。
例如:
两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:
4∶π
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。
反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线:
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。
(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:
2×π×跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π=3.142π=6.283π=9.425π=15.76π=18.847π=21.989π=28.2610π=31.416π=50.2436π=113.0464π=200.9696π=301.44
4π=12.568π=25.1225π=78.5
12、常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
第五单元、百分数一、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
注:
百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:
都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:
意义不同:
百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。
分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。
注:
百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。
“%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:
小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:
小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:
先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:
分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:
把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:
分子除以分母。
二、百分数应用题;1、求常见的百分率如:
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
求甲比乙多百分之几(甲-乙)÷乙求乙比甲少百分之几(甲-乙)÷甲
3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数部分量÷百分率=一个数(单位“1”)
5、折扣折扣、打折的意义:
几折就是十分之几也就是百分之几十
折扣成数几分之几百分之几小数通用八折八成十分之八百分之八十0.8八五折八成五十分之八点五百分之八十五0.85五折五成十分之五百分之五十0.5半价。
6、纳税缴纳的税款叫做应纳税额。
(应纳税额)÷(总收入)=(税率)(应纳税额)=(总收入)×(税率)。
7、利率
(1)存入银行的钱叫做本金。
(2)取款时银行多支付的钱叫做利息。
(3)利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×5%注:
国债和教育储蓄的利息不纳税。
8、百分数应用题型分类
(1)求甲是乙的百分之几——(甲÷乙)×100%=×100%=百分之几
(2)求甲比乙多(少)百分之几——×100%=×100%
例①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?
(50是40的百分之几?
)50÷40=125%
②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?
(40是50的百分之几?
)40÷50=80%
③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?
(40的125%是多少?
)40×125%=50
④甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?
(50的80%是多少?
)50×80%=40
⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?
(一个数的80%是40,这个数是多少?
)40÷80%=50
⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?
(一个数的125%是50,这个数是多少?
)50÷125%=40
⑦甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?
(50比40多百分之几?
)(50-40)÷40×100%=25%
⑧甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?
(40比50少百分之几?
)(50-40)÷50×100%=20%
⑨甲比乙多25%,多10,乙是多少?
10÷25%=40
⑩甲比乙多25%,多10,甲是多少?
10÷25%+10=50
⑪乙比甲少20%,少10,甲是多少?
10÷20%=50
⑫乙比甲少20%,少10,乙是多少?
10÷20%-10=40
⑬乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?
(什么数比40多25%?
)40×(1+25%)=50
⑭甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?
(什么数比50多25%?
)50×(1-20%)=40
⑮乙是40,比甲少20%,甲数是多少?
(40比什么数少20%?
)40÷(1-20%)=50
⑯甲是50,比乙多25%,乙数是多少?
(50比什么数多25%?
)40÷(1+25%)=40
第六单元统计
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:
可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:
不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:
在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。
(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。
)
第七单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法
2、假设法
(1)假如都是兔
(2)假如都是鸡(3)古人“抬脚法”:
解答思路:
假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。
这样,鸡和兔的脚的总数就少了一半。
这种思维方法叫化归法。
关系式:
鸡兔总脚数÷2-鸡兔总数=兔的只数;鸡兔总数-兔的只数=鸡的只数。
3、列方程法
第七单元、数学广角
一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。
1、用表格方式解决有局限性,数目必须小,例:
头数鸡(只)兔(只)腿数
35134
35233
35332……(逐一列表法、腿数少,小幅度跳跃;腿数多,大幅度跳跃。
跳跃逐一相结合、取中列表)2、用假设法解决
(1)假如都是兔
(2)假如都是鸡(3)假如它们各抬起一条腿(4)假如兔子抬起两条前腿3、用代数方法解(一般规律)注释:
这个问题,是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
这四句话的