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初三数学反比例函数知识点及经典例题
一、基础知识
1.
定义:
一般地,形如y=k(k为常数,k≠o)的函数称为反比例函数。
xy=k还可以写成y=kx-1
x
2.反比例函数解析式的特征:
⑴等号左边是函数y,等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k),分母中含有自变量x,且指数为1.
⑵比例系数k≠0
⑶自变量x的取值为一切非零实数。
⑷函数y的取值是一切非零实数。
3.反比例函数的图像
⑴图像的画法:
描点法
①列表(应以O为中心,沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数)
②描点(有小到大的顺序)
③连线(从左到右光滑的曲线)
⑵反比例函数的图像是双曲线,y=k(k为常数,k≠0)中自变量x≠0,
x
函数值y≠0,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是y=x或y=-x)。
⑷反比例函数y=k(k≠0)中比例系数k的几何意义是:
过双曲线y=k
xx
(k≠0)上任意引x轴y轴的垂线,所得矩形面积为k。
4.反比例函数性质如下表:
k的取值
图像所在象限
函数的增减性
k>o
一、三象限
在每个象限内,y值随x的增大而减小
k 二、四象限 在每个象限内,y值随x的增大而增大 5.反比例函数解析式的确定: 利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k) 6.“反比例关系”与“反比例函数”: 成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数y=k中的两个变量必成反比例关系。 x 7.反比例函数的应用 二、例题 【例1】如果函数y=kx2k2+k-2的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的 值是多少? 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y=k,(k≠0)即y=kx x -1(k≠0)又在第二,四象限内,则k<0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义,得: ⎧2k2+k-2=-1⎪k=-1或k=1 ⎨k<0解得⎨2 ⎩ ∴k=-1 ⎩k<0 ∴k=-1时函数y=kx2k2+k-2为y=-1 【例2】在反比例函数y=- x 1的图像上有三点(x,y),(x,y),(x,y) x112233 。 若x1>x2>0>x3则下列各式正确的是() A.y3>y1>y2B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一: 由题意得y1 =-1 x1 ,y2 =-1 x2 ,y3 =-1 x3 x1>x2>0>x3,∴y3>y1>y2所以选A 解法二: 用图像法,在直角坐标系中作出y=-1的图像 x 描出三个点,满足x1>x2>0>x3观察图像直接得到y3>y1>y2选A 解法三: 用特殊值法 x1 > x2 >0>x3 ∴令x1 =2,x2 =1,x3 =-1∴y1=- 1 2,y2 =-1,y3 =1,∴y3 > y1 > y2 【例3】如果一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=3n-m的图像相交于点 x (1,2),那么该直线与双曲线的另一个交点为() 2 【解析】 3n-m⎛1⎫⎪1 m+n=2解得⎨⎧m=2 直线y=mx+n与双曲线y=x相交于ç,2⎪,∴⎨ ⎝⎭⎩3n-m=1⎩ n=1 ∴直线为y=2x+1,双曲线为y= 得⎨ ⎧x1=-1 y=-1 ⎩1 ⎪x=1 ⎨22 ⎩y2=2 ∴另一个点为(-1,-1) 1⎪y=2x+1 解方程组y=1 x⎩x 【例4】如图,在Rt∆AOB中,点A是直线y=x+m与双曲线y=m在第一象 x 限的交点,且S∆AOB=2,则m的值是. 图 解: 因为直线y=x+m与双曲线y=m过点A,设A点的坐标为(x,y). 则有yA =xA +m,yA= x m.所以m=xxA AA AyA. 又点A在第一象限,所以OB=xA =xA,AB=yA =yA. 所以S=1OB∙AB=1xy=1m.而已知S=2. ∆AOB2 所以m=4. 三、练习题 2AA2∆AOB I.选择题 1. 反比例函数y=-2的图像位于() x A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限 2.若y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的() A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定 3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为( ) xxxx ABCD 4. 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( ) 53534343 A、不小于m 4 B、小于m 4 C、不小于m 5 D、小于m 5 5. 如图,A、C是函数y=1的图象上的任意两点,过A作 x x轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记RtΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则() A.S1>S2B.S1 C.S1=S2D.S1与S2的大小关系不能确定 y=(2k-1)xk 3k2-2k-1 6、若反比例函数的图象位于第二、四象限,则的值是 ( )(A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 4 7、已知圆柱的侧面积是100cm2,若圆柱底面半径为r(cm2),高线长为h(cm),则h关于r的函数的图象大致是 () 8.在同一坐标系中,函数 () y=ky=kx+3 x和的图像大致是 ABCD y=k(k<0) 9.已知反比例函数x的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1 () A正数B负数C非正数D不能确定 y=(2m-1)xm2-2m 10.若反比例函数的图像在第二、四象限,则的值是 () 1 A-1或1B小于2 定 的任意实数C-1D不能确 11. 如图,面积为2的ΔABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致是 () 12.如图所示,A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)y=1 是函数x的图象在第一象限分支上的三个点,且x1<x2<x3, 过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线,得矩形ADOH、BEON、CFOP, 它们的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论中正确的是() A.S1 C.S2 13.若矩形的面积为6cm2,则它的长ycm与宽xcm之间的函数关系用图象表 示大致() x A II.填空题 xxx BCD y=3m-2 1. 已知反比例函数 象限内; x,当m时,其图象的两个分支在第一、三 当m时,其图象在每个象限内y随x的增大而增大; 2.若直线 y=k1x(k1 ≠0) 和双曲线 y=k2(k x2 ≠0) 在同一坐标系内的图象无交点, 则k1、k2的关系是; y=k-3 3.若反比例函数x的图象位于一、三象限内,正比例函数 y=(2k-9)x过二、四象限,则k的整数值是; 4.反比例函数 y=k x的图象经过点P(a,b),且a,b为一元二次方程 x2+kx+4=0的两根,那么点P的坐标是_,到原点的距离为 ; 5.反比例函数 y=k x的图象上有一点P(m,n),其坐标是关于t的一元二次 方程t2-3t+k=0的两个根,且点P到原点的距离为,则该反比例函数解析式为 ky=(k+k)xk 2k2-k-3 6、为何值时,是反比例函数,即=; y=ax和y=4-a 7、已知函数x的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标为 1,则两个函数图象的交点坐标是; y=-k2-2 8、在函数x(k为常数)的图象上有三个点 1 (-2,y1),(-1,y2),(2,y3),函数值y1,y2, y3的大小为; 9、如图,面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数 y=k x的图象上,另三点在坐标轴上,则k=. y=k 10、反比例函数x与一次函数y=kx+m的图象有一个交点是(-2,1),则 它们的另一个交点的坐标是. III.解答题 1.已知一次函数y=-x+8和反比例函数 y=k x图象在第一象限内有两个不同的 公共点A、B. (1)求实数k的取值范围; (2)若ΔAOB的面积S=24,求k的值. 2.已知反比例函数 y=-3m x和一次函数 y=kx-1 的图象都经过点 P(m ,-3m) ⑴求点P的坐标和这个一次函数的解析式; ⑵若点M(a,y1)和点N(a+1,y2)都在这个一次函数的图象上.试通过计算或利用一次函数的性质,说明y1大于y2 3.如图: A,B是函数 y=1 x的图象上关于原点O对称的任意两点。 AC平行于 y轴,BC平行于x轴,求△ABC的面积。 4.已知□ABCD中,AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点,设AE=x,DE延长线交CB的延长线于F,设CF=y,求y与x之间的函数关系。 DC A F 5. 关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=n+1的图象都经过点A(- x 2,1). 求: (1)一次函数和反比例函数的解析式; (2)两函数图象的另一个交点B的坐标; (3)△AOB的面积. k 6.如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=x的图象交于 A、B两点,与x轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为 1 (2,m). (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围. 7.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6小时可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? (2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化? (3)写出t与Q的关系式. (4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? (5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空? 8.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件. (1)请写出y关于x的函数关系式; (2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元? 9.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=m的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点。 x (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求△AOB的面积。 四、课后作业 1. 对与反比例函数y=2,下列说法不正确的是() x A.点(-2,-1)在它的图像上B.它的图像在第一、三象限C.当x>0时,y随x的增大而增大 D.当x<0时,y随x的增大而减小 2. 已知反比例函数y=k(k≠0)的图象经过点(1,-2),则这个函数的图象一定 x 经过() A、(2,1)B、(2,-1)C、(2,4)D、(-1,-2) 3.在同一直角坐标平面内,如果直线y=kx与双曲线y=k2没有交点,那么 1x k1和k2的关系一定是() A.k1+k2=0B.k1·k2<0C. k k1·k2>0D.k1=k2 4.反比例函数y=x的图象过点P(-1.5,2),则k=. 1 5.点P(2m-3,1)在反比例函数y=x的图象上,则m=. 6.已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为 1-2m . 7.已知反比例函数y=的图象上两点A(x,y),B(x,y),当x<0 x 有y1 112212 8.已知y与x-1成反比例,并且x=-2时y=7,求: (1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y的值;(3)y=-2时,x的值。 1+b 9. 已知b=3,且反比例函数y=的图象在每个象限内,y随x的增大而增 x 大,如果点(a,3)在双曲线上y=1+b,求a是多少? x Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericalandteachingposition,Iunderstandtheimportanceofcontinuouslearning,"lifeisdiligent,nothingcanbegained",onlycontinuouslearningcanachievebetterself.Onlybyconstantlylearningandmasteringthelatestrelevantknowledge,canemployeesfromallwalksoflifekeepupwiththepaceofenterprisedevelopmentandinnovatetomeettheneedsofthemarket.Thisdocumentisalsoeditedbymystudioprofessionals,theremaybeerrorsinthedocument,ifthereareerrors,pleasecorrect,thankyou!
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