六年级经典数学题解析.docx
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六年级经典数学题解析.docx
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六年级经典数学题解析
归一问题教案
教学目标:
1.让学生初步了解归一化问题,并掌握解决正归一问题,反规一问题的方法。
2.通过老师讲解,使学生掌握分析归一问题的方法。
3.熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。
教学重点:
会分析归一应用题,使之转化为数学问题,并运用数学方法解决。
教学难点:
反归一问题的计算。
教学过程:
归一问题有两种基本类型.一种是正归一,也称为直进归一.如:
一辆汽车3小时行150千米,照这样,7小时行驶多少千米?
另一种是反归一,也称为返回归一.如:
修路队6小时修路180千米,照这样,修路240千米需几小时?
正、反归一问题的相同点是:
一般情况下第一步先求出单一量;不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少,反归一是求包含多少个单一量。
学习例1:
一只小蜗牛6分钟爬行12分米,照这样速度1小时爬行多少米?
集体讨论:
一只小蜗牛6分钟爬行12分米,那么蜗牛一分钟爬行多远?
分析与解答:
为了求出蜗牛1小时爬多少米,必须先求出1分钟爬多少分米,即蜗牛的速度,然后以这个数目为依据按要求算出结果。
解:
①小蜗牛每分钟爬行多少分米?
12÷6=2(分米)
②1小时爬几米?
1小时=60分。
2×60=120(分米)=12(米)
答:
小蜗牛1小时爬行12米。
小结还可以这样想:
先求出题目中的两个同类量(如时间与时间)的倍数(即60分是6分的几倍),然后用1倍数(6分钟爬行12分米)乘以倍数,使问题得解。
解:
1小时=60分钟
12×(60÷6)=12×10=120(分米)=12(米)
或12÷(6÷60)=12÷0.1=120(分米)=12(米)
答:
小蜗牛1小时爬行12米。
学习例2:
一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算,磨完剩下的面粉还要几小时?
集体讨论:
加工厂一小时磨多少千克面粉?
分析与解答:
方法1:
通过3小时磨6000千克,可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时,所以剩下的量除以1小时磨的数量,得到问题所求。
解:
(20000-6000)÷(6000÷3)=7(小时)
答:
磨完剩下的面粉还要7小时。
方法2:
用比例关系解。
解:
设磨剩下的面粉还要x小时。
6000x=3×14000
x=7(小时)
答:
磨完剩下的面粉还要7小时。
学习例3:
学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元;买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元?
分析与解答要求5个足球和4个篮球共花多少元,关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等,而篮球相差7-5=2(个),总价差355-281=74(元).74元正好是两个篮球的价钱,从而可以求出一个篮球的价钱,一个足球的价钱也可以随之求出,使问题得解。
解:
①一个篮球的价钱:
(355-281)÷(7-5)=37元
②一个足球的价钱:
(281-37×5)÷3=32(元)
③共花多少元?
32×5+37×4=308(元)
答:
买5个足球,4个篮球共花308元。
学习例4:
一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满;单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空?
分析与解答要求两管齐开需要多少小时把满池水排光,关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空,排水速度必须大于进水速度,即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题,又知道总水量,就可以求出排空满池水所需时间。
解:
①进水速度:
480÷8=60(吨/小时)
②排水速度:
480÷6=80(吨/小时)
③排空全池水所需的时间:
480÷(80-60)=24(小时)
列综合算式:
480÷(480÷6-480÷8)=24(小时)
答:
两管齐开需24小时把满池水排空。
学习例5:
7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨,要求5趟运完,求需要增加同样的卡车多少辆?
分析与解答:
方法1:
要想求增加同样卡车多少辆,先要求出一共需要卡车多少辆;要求5趟运完560吨沙土,每趟需多少辆卡车,应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。
解:
①一辆卡车一次能运多少吨沙土?
336÷6÷7=56÷7=8(吨)
②560吨沙土,5趟运完,每趟必须运走几吨?
560÷5=112(吨)
③需要增加同样的卡车多少辆?
112÷8-7=7(辆)
列综合算式:
560÷5÷(336÷6÷7)-7=7(辆)
答:
需增加同样的卡车7辆。
方法2:
在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时,可以列出两种不同情况的算式:
336÷6÷7①,336÷7÷6.②算式①先除以6,先求出7辆卡车1次运的吨数,再除以7求出每辆卡车的载重量;算式②,先除以7,求出一辆卡车6次运的吨数,再除以6,求出每辆卡车的载重量。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时,有以下几种不同的计算方法:
求出一共用车14辆后,再求增加的辆数就容易了。
学习例6:
某车间要加工一批零件,原计划由18人,每天工作8小时,7.5天完成任务.由于缩短工期,要求4天完成任务,可是又要增加6人.求每天加班工作几小时?
分析与解答:
我们把1个工人工作1小时,作为1个工时.根据已知条件,加工这批零件,原计划需要多少“工时”呢?
求出“工时”数,使我们知道了工作总量.有了工作总量,以它为标准,不管人数增加或减少,工期延长或缩短,仍然按照原来的工作效率,只要能够达到加工零件所需“工时”总数,再求出要加班的工时数,问题就解决了。
解:
①原计划加工这批零件需要的“工时”:
8×18×7.5=1080(工时)
②增加6人后每天工作几小时?
1080÷(18+6)÷4=11.25(小时)
③每天加班工作几小时?
11.25-8=3.25(小时)
答:
每天要加班工作3.25小时。
平均数问题教案
教学目标:
1:
认识什么是算数平均数、加权平均数、调和平均数和基准数平均数。
2:
学会解决平均数问题的方法,理解平均数的意义。
教学重点:
如何解决复杂平均数问题,弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系。
教学难点:
如何让学生把握理解复杂平均数应用题的技巧与方法。
教学过程:
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数。
一、算术平均数
学习例1:
用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米?
集体讨论:
这是很简单的一道题,大家试着自己解答一下。
分析与解答:
求4个杯子水面的平均高度,就相当于把4个杯子里的水合在一起,再平均倒入4个杯子里,看每个杯子里水面的高度。
解:
(4+5+7+8)÷4=6(厘米)
答:
这4个杯子水面平均高度是6厘米。
学习例2:
蔡琛在期末考试中,政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分,而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分?
集体讨论:
你能在这几个平均数中发现什么?
分析与解答:
解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分,又知道两科的分数差是10分,用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后,就可以求出其他各科成绩。
解:
①英语:
(84×2+10)÷2=89(分)
②语文:
89-10=79(分)
③政治:
86×2-89=83(分)
④数学:
91.5×2-83=100(分)
⑤生物:
89×5-(89+79+83+100)=94(分)
答:
蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。
二、加权平均数
学习例3:
果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元,水果糖每千克4.20元,奶糖每千克7.20元.问:
什锦糖每千克多少元?
分析与解答:
要求混合后的什锦糖每千克的价钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解:
①什锦糖的总价:
4.40×2+4.20×3+7.20×5=57.4(元)
②什锦糖的总千克数:
2+3+5=10(千克)
③什锦糖的单价:
57.4÷10=5.74(元)
答:
混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,对什锦糖的单价产生不同影响,有权衡轻重的作用,所以这样的数叫做“权数”。
三、连续数平均问题
我们学过的连续数有“连续自然数”、“连续奇数”、“连续偶数”.已知几个连续数的和求出这几个数,也叫平均问题。
学习例5:
已知八个连续奇数的和是144,求这八个连续奇数。
分析与解答:
已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时,它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和,等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组,八个数分成4组,每一组两个数的和是144÷4=36.这样可以确定出中间的两个数,再依次求出其他各数。
解:
①每组数之和:
144÷4=36
②中间两个数中较大的一个:
(36+2)÷2=19
③中间两个数中较小的一个:
19-2=17
∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。
答:
这八个连续奇数分别为:
11、13、15、17、19、21、23和25。
四、调和平均数
学习例6:
一个运动员进行爬山训练.从A地出发,上山路长11千米,每小时行4.4千米.爬到山顶后,沿原路下山,下山每小时行5.5千米.求这位运动员上山、下山的平均速度。
分析与解答:
这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=(上山速度+下山速度)÷2,而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。
解:
①上山时间:
11÷4.4=2.5(小时)
②下山时间:
11÷5.5=2(小时)
③上下山平均速度:
11
2
(2.5+2)=4
(千米)
答:
上下山的平均速度是每小时4
(千米)
我们打4
千米叫做4.4千米和5.5千米的调和平均数。
五、基准数平均数
学习例7:
中关村三小有15名同学参加跳绳比赛,他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89,求每个人平均每分钟跳绳多少
个?
分析与解答:
从他们每人跳绳的个数可以看出,每人跳绳的个数很接近,所以可以选择其中一个数90做为基准数,再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数,如93=90+3,3作为加数;小于基准数的差作为减数,如87=90-3,3作为减数.把这些差累计起来,用和数的项数乘以基准数,加上累计差,再除以和数的个数就可以算出结果。
解:
①跳绳总个数。
93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89
=90×15+(3+4+2+4+1+2+3)-(5+4+2+2+1+4+1)
=1350+19-19
=1350(个)
②每人平均每分钟跳多少个?
1350÷15=90(个)
答:
每人平均每分钟跳90个.
工程问题教案
(一)
顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作量=工作效率×工作时间,
工作时间=工作量÷工作效率,
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可
工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
分析与解:
以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天,甲的工作效
例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
分析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
答:
甲队干了12天。
例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
问:
甲队实际工作了几天?
分析与解:
乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了
例4一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
分析与解:
这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间,
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水?
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇?
分析:
这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下:
完成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间?
由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。
答:
甲再出发后15分钟两人相遇。
工程问题教案
(二)
上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中,工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解决。
例1一项工程,如果甲先做5天,那么乙接着做20天可完成;如果甲先做20天,那么乙接着做8天可完成。
如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?
分析与解:
本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意图:
从上图可直观地看出:
甲15天的工作量和乙12天的工作量相等,即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。
于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件,通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24(天)
甲、乙合做这一工程,需用的时间为
例2一项工程,甲、乙两队合作需6天完成,现在乙队先做7天,然后
么还要几天才能完成?
分析与解:
题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率,只知道他们合作
们把“乙先做7天,甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天,乙再单独
例3单独完成一件工作,甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙二人合做2天后,剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。
问:
甲、乙二人合做需多少天完成?
分析与解:
乙单独做要超过3天,甲、乙合做2天后乙继续做,刚好按时完成,说明甲做2天等于乙做3天,即完成这件工作,乙需要的时间是甲的
,乙需要10+5=15(天)。
甲、乙合作需要
例4放满一个水池的水,若同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成;若同时打开2,3,4号阀门,则21分钟可以完成;若同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成;若同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成。
问:
如果同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成?
分析与解:
同时打开1,2,3号阀门1分钟,再同时打开2,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,2,4号阀门1分钟,这时,1,2,3,4号阀门各打开了3分钟,放水量等于一
例5某工程由一、二、三小队合干,需要8天完成;由二、三、四小队合干,需要10天完成;由一、四小队合干,需15天完成。
如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序,每个小队干一天地轮流干,那么工程由哪个队最后完成?
分析与解:
与例4类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是
例6甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的顺序轮流
件工作,要用多少天才能完成?
分析与解:
把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。
在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同。
所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同(见下图虚线左边),相差的就是最后一轮(见下图虚线右边)。
由最后一轮完成的工作量相同,得到
比和比例教案
比的概念是借助于除法的概念建立的。
两个数相除叫做两个数的比。
例如,5÷6可记作5∶6。
比值。
表示两个比相等的式子叫做比例(式)。
如,3∶7=9∶21。
判断两个比是否成比例,就要看它们的比值是否相等。
两个比的比值相等,这两个比能组成比例,否则不能组成比例。
在任意一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
即:
如果a∶b=c∶d,那么a×d=b×c。
两个数的比叫做单比,两个以上的数的比叫做连比。
例如a∶b∶c。
连比中的“∶”不能用“÷”代替,不能把连比看成连除。
把两个比化为连比,关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项,方法是把这两项化成它们的最小公倍数。
例如,
甲∶乙=5∶6,乙∶丙=4∶3,
因为[6,4]=12,所以
5∶6=10∶12,4∶3=12∶9,
得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。
例1已知3∶(x-1)=7∶9,求x。
解:
7×(x-1)=3×9,
x-1=3×9÷7,
例2六年级一班的男、女生比例为3∶2,又来了4名女生后,全班共有44人。
求现在的男、女生人数之比。
分析与解:
原来共有学生44-4=40(人),由男、女生人数之比为3∶2知,如果将人数分为5份,那么男生占3份,女生占2份。
由此求出
女生增加4人变为16+4=20(人),男生人数不变,现在男、女生人数之比为24∶20=6∶5。
在例2中,我们用到了按比例分配的方法。
将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。
按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配,把比的各项相加得到总份数,各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率,由此可求得各个分量。
例3配制一种农药,其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12,现在要配制这种农药2700千克,求各种原料分别需要多少千克。
分析:
总量是2700千克,各分量的比是1∶2∶12,总份数是1+2+12=15,
答:
生石灰、硫磺粉、水分别需要180,360和2160千克。
在按比例分配的问题中,也可以先求出每份的量,再求出各个分量。
如例3中,总份数是1+2+12=15,每份的量是2700÷15=180(千克),然后用每份的量分别乘以各分量的份数,即用180千克分别乘以1,2,12,就可以求出各个分量。
例4师徒二人共加工零件400个,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟。
完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?
分析与解:
解法很多,这里只用按比例分配做。
师傅与徒弟的工作效率
有多少学生?
按比例分配得到
例6某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:
大客车30元,小客车15元,小轿车10元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5∶6,小客车与小轿车之比是4∶11,收取小轿车的通行费比大客车多210元。
求这天这三种车辆通过的数量。
分析与解:
大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比,如果能将5∶6中的6与4∶11中的4统一成[4,6]=12,就可以得到大客车∶小客车∶小轿车的连比。
由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33,得到
大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。
以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组。
因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30(元),所以这天通过的车辆共有210÷30=7(组)。
这天通过
大客车=10×7=70(辆),
小客车=12×7=84(辆),
小轿车=33×7=231(辆)。
巧用单位“1”教案
在工程问题中,我们往往设工作总量为单位“1”。
在许多分数应用题中,都会遇到单位“1”的问题,根据题目条件正确使用单位“1”,能使解答的思路更清晰,方法更简捷。
分析:
因为第一天、第二天都是与全书比较,所以应以全书的页数为单位
答:
这本故事书共有240页。
分析与解:
本题条件中单位“1”的量在变化,依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”,出现了3个不同的单位“1”。
按照常规思路,需要统一单位“1”,转化分率。
但在本题中,不统一单位“1”反而更方便。
我们先把全书看成“1”,
看成“1”,就可以求出第三天看后余下的部分占全书的
共有多少本图书?
分析与解:
故事书增加了,图书的总数随之增加。
题中出现两个分率,
这给计算带来很多不便,需要统一单位“1”。
统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化,而其它书的本数没有变,可以以
图书室原来共有图书
分析与解:
与例3类似,甲、乙组人数都发生了变化,不变量是甲、乙组的总人数,所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。
例5公路上同向行驶着三辆汽车,客车在前,货车在中,小轿车在后。
在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等;走了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车,再过多少分钟,货车追上客车?
分析与解:
根据“在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等”,设这段距离为单位“1”。
由“走了10分钟,小轿车追上了货车”,可知小轿
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离,每分钟多行这段距离的
两班各有多少人?
乙班有84-48=36(人)。
圆
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