初中数学中考几何综合题.docx
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初中数学中考几何综合题
2010年中考数学二轮复习--几何综合题
Ⅰ、综合问题精讲:
几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时,也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键.
解几何综合题,还应注意以下几点:
⑴注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.
⑵掌握常规的证题方法和思路.
⑶运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等).
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】(南充,10分)⊿ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点.
(1)求证:
DF是⊙O的切线.
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长.
解:
(1)证明:
连接OD,AD.AC是直径,
∴ AD⊥BC. ⊿ABC中,AB=AC,
∴ ∠B=∠C,∠BAD=∠DAC.
又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角,
∴∠C=∠BED.
故∠B=∠BED,即DE=DB.
点F是BE的中点,DF⊥AB且OA和OD是半径,
即∠DAC=∠BAD=∠ODA.
故OD⊥DF,DF是⊙O的切线.
(2)设BF=x,BE=2BF=2x.
又 BD=CD=
BC=6,根据
,
.
化简,得
,解得
(不合题意,舍去).
则 BF的长为2.
点拨:
过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线,所以要证明一条直线是否是此圆的切线,应满足这两个条件才行.
E
【例2】(重庆,10分)如图,在△ABC中,点E在BC上,点D在AE上,已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求证:
BD=CD。
证明:
因为∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE
而∠BDE=∠ABD+∠BAD,∠CDE=∠ACD+∠CAD
所以∠BAD=∠CAD,而∠ADB=180°-∠BDE
∠ADC=180°-∠CDE,所以∠ADB=∠ADC
在△ADB和△ADC中,
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∠ADB=∠ADC
所以△ADB≌△ADC所以BD=CD。
(注:
用“AAS”证三角形全等,同样给分)
点拨:
要想证明BD=CD,应首先观察它们所在的图形之间有什么联系,经观察可得它们所在的三角形有可能全等.所以应从证明两个三角形全等的角度得出,当然此题还可以采用“AAS”来证明.
【例3】(内江,10分)如图⊙O半径为2,弦BD=
,A为弧BD的中点,E为弦AC的中点,且在BD上。
求:
四边形ABCD的面积。
解:
连结OA、OB,OA交BD于F。
【例4】(博兴模拟,10分)国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造.莲花村六组有四个村庄A、B、CD正好位于一个正方形的四个顶点.现计划在四个村庄联合架一条线路,他们设计了四种架设方案,如图2-4-4中的实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
解:
不妨设正方形的边长为1,显然图2-4-4⑴、⑵中的线路总长相等都是3.
图2-4-4⑶中,利用勾股定理可求得线路总长为2≈2.828.
图2-4-4(4)中,延长EF交BC于H,由∠FBH=30°,BH=,
利用勾股定理,可求得EA=ED=FB==FC=
所以⑷中线路总长为:
4EF+EF=4×
显然图2-4-4⑷线路最短,这种方案最省电线.
点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股未理讲行计算线路长,然后通过比较,得出结论.
【例5】(绍兴)如图矩形ABCD中,过A,B两点的⊙O切CD于E,交BC于F,AH⊥BE于H,连结EF。
⑴求证:
∠CEF=∠BAH,⑵若BC=2CE=6,求BF的长。
⑴证明:
∵CE切⊙O于E,
∴∠CEF=∠EBC,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∵AH丄BE,∴∠ABE+∠BAH=90°
∴∠BAH=∠EBC,∴∠CEF=∠BAH
⑵解:
∵CE切⊙O于E
∴CE2=CF·BC,BC=2CE=6
∴CE2=CF·6,所以CF=∴BF=BC-CF=6-=
点拨:
熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键.
Ⅲ、综合巩固练习:
(100分;90分钟)
一、选择题(每题3分,共21分)
1.如图2-4-6所示,是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为()
A.0.036π平方米;B.0.81π平方米;
C.2π平方米;D、3.24π平方米
2.某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案,其中使花坛面积最大的图案是()
A.正三角形;B.正方形;C.圆;D.不能确定
3.下列说法:
①如果两个三角形的周长之比是1:
2,那么这两个三角形的面积之比是1:
4;②平行四边形是中心对称图形;③经过三点有且只有一个圆;④相等的角是对顶角,其中错误是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.等腰三角形的一个内角为70°,则这个三角形其余的内角可能为()
A.700,400B.700,550
C.700,400或550,550D.无法确定
5.如图2-4-7所示,周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为()
A.98B.196;C.280D.284
6.在△ABC中,若
,则∠C的度数为()
A.60oB.30oC.90oD.45o
7.下列命题中是真命题的个数有()
⑴直角三角形的面积为2,两直角边的比为1。
2,则它的斜边长为;⑵直角三角形的最大边长为,最短边长为l,则另一边长为;(3)在直角三角形中,若两条直角边为n2-1和2n,则斜边长为n2+1;⑸等腰三角形面积为12,底边上的高为4,则腰长为5.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每题3分,共27分)
8.如图2-4-8所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm.将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置,且使点A、B、C′三点在一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是_____.
9.若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等,它们的面积分别记为
则
由大到小的排列顺序是:
__________.
10若菱形的一个内角为60°,边长为4,则它的面积是__________.
11已知数4,6,请再写出一个数,使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项,这个数是________(只需填写一个数).
12一油桶高0.8m,桶内有油,一根木棒长1m,从桶盖小口(小口靠近上壁)斜插入桶内,一端到桶底内壁,另一端到小口,抽出木棒,量得棒上浸油部分长0.87m,则桶内油面的高度为__________.
13等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm,则腰上的高为__________cm.
14在平坦的草地上有A、B、C三个小球,若已知A球和B球相距3米,A球与C球相距1米,则B球与C球可能相距________米.(球的半径可忽略不计,只要求填出一个符合条件的数)
15如果圆的半径为3cm,那么60°的圆心角所对的弧长为____cm.
16如图2-4-9所示,在正方形ABCD中,AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于AD,EF、GH、IJ都垂直于AO,若已知SΔAIJ=1,则S正方形ABCD=______.
三、解答题(每题13分,52分)
17.已知:
如图2-4-10所示,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BA上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC的中点.试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
18.今有一片正方形土地,要在其上修筑两条笔直的道路,使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分,若道路的宽度可以忽略不计,请设计三种不同的修路方案,画图并简述步骤.
19.如图2-4-11所示,已知测速站P到公路l的距离PO为40米,一辆汽车在公路l上行驶,测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒,并测得∠APO=60○,∠BPO=30○,计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米(结果保留四个有效数字)并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度.
20.如图2-4-12所示,EF为梯形ABCD的中位线.AH平分∠DAB交EF于M,延长DM交AB于N.求证:
AADN是等腰三角形.
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