mathematic命令小结.docx
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mathematic命令小结
1.初等数学
(1).算术函数
Plus(+)加号
Subtract(-)减号
Times(×)乘号,用空格,*或者×(Esc*Esc)表示
Divide(/)除号
Power(^)幂,以上标形式输入,使用Ctrl+^
Sqrt平方根,输入Sqrt[]或使用Ctrl+@
expr直接输入表达式
N[expr]或expr//Nexpr的近似值
N[expr,n]n位精度的expr的近似值
(2).数学常数
Pi()圆周率(EscpEsc)
E()自然对数底数(EsceeEsc)
Infinity()无穷大(EscinfEsc)
I虚数单位
Degree度数°
GoldenRatio黄金分割=(1+Sqrt[5])/21.618
EulerGamma欧拉常数0.577
(3).复数
z=x+Iy
Re[z]求z的实部
Im[z]求z的虚部
Conjugate[z]求z的共轭
Abs[z]求z的模
Arg[z]求z的幅角
Sign[z]将z单位化(z/|z|)
(4).数值函数
IntegerPart[x]x的整数部分
FractionalPart[x]x的分数部分
Round[x]x的四舍五入取整
Floor[x]x的向下取整
Ceiling[x]x的向上取整
Abs[x]x的绝对值
Max[{e1,...,en}]给出n个数的最大值
Min[{e1,...,en}]给出n个数的最小值
Sign[x]符号函数
Boole[x]布尔函数
UnitStep[x]阶梯函数(x>=0时为1,x<0时为0)
Mod[k,n]k模n(k除n的余数)
Quotient[m,n]m除n的商数(舍弃m/n的小数部分)
QuotientRemainder[m,n]m除n的商数和余数的列表
GCD[n1,n2,]求n1,n2,...最大公约数
LCM[n1,n2,]求n1,n2,...最小公倍数
n!
n的阶乘n(n-1)(n-2)1
n!
!
n的二阶阶乘n(n-2)(n-4)
Binomial[n,m]组合数(n,m)=n!
/[m!
(n-m)!
Multinomial[n1,n2,]]多重组合(n1+n2+)!
/(n1!
n2!
...)
Rescale[x,{xmin,xmax}]
IntegerDigits
FromDigits
(5).一般函数
初等函数
Log[x]计算表达式的对数函数值
Log[b,x]计算x以b为底的对数
...
Sin[x]计算表达式的三角正弦
Cos[x]计算表达式的三角余弦
Tan[expr]计算表达式的三角正切
Cot[expr]计算表达式的三角余切
Sec[expr]计算表达式的三角余割
ArcSin[expr]计算表达式的反三角正弦
ArcCos[expr]计算表达式的反三角余弦
ArcTan[expr]计算表达式的反三角正切
...
Sinh[expr]计算表达式的双曲正弦
Cosh[expr]计算表达式的双曲余弦
Coth[expr]计算表达式的双曲余切
Tanh[expr]计算表达式的双曲正切
ArcCosh[expr]计算表达式的反双曲余弦
ArcSinh[expr]计算表达式的反双曲正弦
ArcTanh[expr]计算表达式的反双曲正切
Sech[expr]计算表达式的双曲余割
特殊函数
Zata[expr]计算表达式的Zata函数
Bessell[expr]计算表达式的贝赛尔函数值
Beta[expr]计算表达式的Beta函数值
Gamma[expr]计算表达式的伽玛函数值
Erf[expr]计算表达式的误差函数
统计函数
NormalDistribution[,]正态分布
StudentTDistribution[v]学生分布
ChiSquareDistribution[v]2分布
FRatioDistribution[m,n]F分布
UniformDistribution[min,max]均匀分布
ExponentialDistribution[]指数分布
LaplaceDistribution[,]拉普拉斯分布
GammaDistribution,]分布
BetaDistribution[,]分布
CauchyDistribution[a,b]柯西分布
BernoulliDistribution[p]贝努利分布
BinomialDistribution[n,p]二项分布
PoissonDistribution[]泊松分布
PDF求分布的密度函数
CDF求分布的概率函数
Mean求均值
Variance求方差
Quantile求距
Skewness求峰度
Kurtosis求偏度
ExpectedValue求期望
RandomReal产生随机实数
RandomInteger产生随机整数
(6).自定义函数
f[x_]:
=expr定义函数f
f[x_,y_]:
=expr定义多变量函数f.
Piecewise[{{val1,cond1},{val2,cond2},}]用于定义分段函数
f显示函数的定义
Clear[f]清除函数f
x=value给x赋值
x=.清除变量x的值
expr/.x->value用value替换expr中的x
(7).表达式化简
Simplify[expr]
FullSimplify[exper]
Simplify[expr,assum]
assum选项
Element[x,Reals]或xReals
Element[x,Integers]或xIntegers
Element[x,Complexs]或xComplexs
Element[x,Primes]或xPrimes
Element[x,Rationals]或xRationals
Element[x,Booleans]或xBooleans
Assumptions
Assumming
2.多项式与有理函数
(1).多项式
1、多项式的普通运算
Expand[poly]展开多项式乘积与乘方
Factor[poly]对多项式进行因式分解
FactorTerms[poly]提取数字公因子
FactorTerms[poly,patt]提取关于patt的公因子
Collect[poly,x]以x幂的形式重新排列多项式
Collect[poly,{x,y,...}]以x、y、...幂的形式重新排列多项式
Expand[poly,patt]展开与patt相匹配的多项式poly
2、得到多项式的结构
PolynomialQ[expr,x]判断expr是否为关于x的多项式
PolynomialQ[expr,{x,y,...}]判断expr是否为关于x,y,...的多项式
Variables[poly]列出多项式poly中的变量
Length[poly]列出多项式poly的项数
Exponent[poly,x]给出多项式poly的x的最高指数
Coefficient[poly,expr]给出多项式poly中关于expr的系数
CoefficientList[poly,{x,y,..}]生成多项式poly中关于x、y、...的系数
3、多项式的代数运算
PolynomialQuotient[poly1,poly2,x]求出关于x的多项式poly1除以poly2的商,忽略余式
PolynomialRemainder[poly1,poly2,x]求出关于x的多项式poly1除以poly2的余式
PolynomialQuotientRemainder[poly1,poly2,x]求出关于x的多项式poly1除以poly2的商和余式
PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,...},{x1,x2,...}]
PolynomialGCD[poly1,poly2]寻找两个多项式的最大公因式
PolynomialLCM[poly1,poly2]寻找两个多项式的最小公倍式
Resultant[poly1,poly2,x]寻找两个多项式的消元式
Discriminant[poly,x]给出多项式有根的判别式
PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,...},{x1,x2,...}]寻找使用ployi表示poly的最小表示式
(2).有理式
关于有理多项式的运算
ExpandNumerator[expr]仅把有理表达式的分子展开
ExpandDenominator[expr]仅把有理表达式的分母展开
Expand[expr]仅展开分子,并把分母分成单项
ExpandAll[expr]同时展开有理表达式的分子和分母
ExpandAll[expr,patt]仅展开与patt匹配的项
Together[expr]合并具有相同分母的项
Apart[expr]以最简分母项和的形式书写表达式
Cancel[expr]约去分子分母中的公因子
Factor[expr]将有理式合并,并同时对分子分母因式分解
Numerator[expr]获取有理表达式的分子
Denominator[expr]获取有理表达式的分母
(3).三角函数表达式
1、三角表达式
TrigExpand[expr]将三角函数表达式转化为和差
TrigFactor[expr]将三角函数表达式和差形式转化为乘积形式
TrigReduce[expr]用倍角的方法化简三角表达式
TrigToExp[expr]将三角函数表达式转化为指数形式
ExpToTrig[expr]将指数形式表达式转化为三角函数形式
2、含有复数变量的表达式
ComplexExpand[expr]展开表达式expr,并假定所有的变量都是实数
ComplexExpand[expr,{x1,x2,...}]展开表达式expr,并假定x1,x2,...变量都是复数
3.代数方程与不等式
(1)代数方程求解
Solve[eqvar]求解方程eqns中的未知变量vars
Solve[{eq1,eq2,...},{var1,var2,...}]求解方程组
Root[f,k]求解方程f[x]=0的第k个根
Reduce[eqnsvars]给出含未知常数方程eqns所有可能的情况
Eliminate[eqns,elims],消去方程eqns中变量elims
RSolve[eqns,vars[n]]求递推方程eqns的通解vars[n]
Resolve
(2)不等式求解
Reduce[{eqns1,eqns2,...},x]给出满足不等式eqnsi的x的集合
4.微积分
\
(1).求极限
Limit[f,x->x0]
f(x)
Limit[f,xx0,Direction->1]
f(x)
Limit[f,xx0,Direction->-1]
f(x)
(2).求(偏)导
D[exp,x]计算表达式一阶(偏)导数
D[exp,x1,x2,xn]计算表达式混合偏导数
D[exp,{x,n}]计算表达式对x的n阶(偏)导数
D[exp,{{x1,x2,...}}]计算向量函数(偏)导数
Derivative[n1,n2,][f]对f的第一个变量求n1阶导数,第二个变量求n2阶导数,...
Dt[exp]计算表达式的全微分df
Dt[exp,x]计算表达式关于x的全导数df/dx
Dt[exp,x1,x2,xn]计算表达式关于x1,x2,xn的全导数d/dx1d/dx2...d/dxnf
Dt[exp,x,Constants->{c1,c2,,cn}]
计算表达式关于x的全导数,并指出表达式中ci为常数
Maximize[f,{x,y,}]求变量为x,y,函数f的最大值.
Maximize[{f,cons},{x,y,}]求在约束条件cons下函数f的最大值
Minimize[f,{x,y,}]求变量为x,y,函数f的最小值.
Minimize[{f,cons},{x,y,}]求在约束条件cons下函数f的最小值
FindMinimum[{f,cons},{x,x0},{y,y0}]求在约束条件cons下函数f的局部最小值
\(3).求积分
Integrate[exp,x]求表达式关于x的不定积分
Integrate[exp,{x,a,b}]求表达式关于x在区间[a,b]上的定积分
NIntegrate[exp,{x,a,b}]求表达式关于x在区间[a,b]上的数值积分
Integrate[exp,{x,a,b},{y,c,d}]求x,y在区间[a,b][c,d]上的二重积分
Integrate[Boole*ieq,{x,a,b},{y,c,d}]求不等式所限制的区域上的二重积分
\(4).幂级数展开
Series[exp,{x,x0,n}]对表达式在x0处进行n阶展开
Series[exp,{x,x0,n1},{y,y0,n2}]对二元表达式在x0,y0处进行n1,n2阶展开
Series1/.x->Series2将级数Series2代入级数Series1
Normal[exp]将级数转化为函数表达式(即:
除去余项)
Residue[exp,{x,x0}]求exp在x=x0处的留数
\(5).微分方程
DSolve[eqn,y[x],x]求解微分方程解y[x]
DSolve[eqn,y,x]求解微分方程解函数
DSolve[{eqn1,eqn2,eqnn},{y1,y2,yn},x]求解微分方程组的解
DSolve[eqn,y[x1,x2,...],{x1,x2,...}]求解偏微分方程的解
\(6).和与积
Sum[f,{i,imin,imax}]和式
Sum[f,{i,imin,imax,di}]关于i求和,i的步长为di
Sum[f,{i,imin,imax},{j,min,jmax}]多重求和
Product[f,{i,imin,imax}]求积
\(7).一些用于迭代的函数
Nest[f,x,n]对x嵌套运用f函数n次
NestList[f,x,n]产生一n元嵌套列表{x,f(x),f(f(x)),...}。
FixPoint[f,x]求x=f(x)的不动点
FixPointList[f,x]产生一列表{x,f(x),f(f(x)),...},直到不动点为止
FixPoint[f,x,SameTestComp]求x=f(x)的迭代,直到满足comp为止
Fold[f,x0,{a,b,...}]
FoldList[f,x,{a,b,...}]产生一列表{x,f(x,a),f(f(x,a),b),...}
\5.线性代数
\
(1).数表与矩阵的输入及其构造
v={a1,a2,...an}输入一个名为v的n维向量(表),其中ai为数值或为表达式
p={{e11,e12,e1n},,{em1,em2,emn}}
输入一个名为p的m×n矩阵(多维表),其中eij为数值或为表达式
v=Table[f,{i,m}]输入一个名为v的n维向量(表),其元素f为i的函数
p=Table[f,{i,m},{j,n}]输入一个名为p的m×n矩阵,其元素f为i,j的函数
p=Array[f,{i,m},{j,n}]输入一个名为p的m×n矩阵,其元素为f[i,j]
p=Range[f,{n}]生成一列表{f[1],f[2],....f[n]}
p=DiagonalMatrix[{e1,e2,,en}]输入一个名为p的n阶对角阵,对角元素为e1,e2,,en
p=IdentityMatrix[n]输入一个名为t的n阶单位阵
p=Table[0,{m},{n}]输入一个名为t的m×n零矩阵
p=Table[If[i>=j,f,0],{i,m},{j,n}]输入一个名为p的m×n下三角阵,其元素f为i,j的函数
p=Table[If[i<=j,f,0],{i,m},{j,n}]输入一个名为p的m×n上三角阵其元素f为i,j的函数
p=Normal[SparseArry[{{i1,j1}->v1,{i2,j2}->v2,...},{m,n}]
构造一矩阵其在ik行jk列的值为vk,其余为0。
Tuples
Subsets
Permutations
RandomChoice
(2).矩阵的剪裁
v[[i]](Part[v,i])取出向量v的第i个元素
M[[i,j]]取出矩阵M的元素m(i,j)
M[[i]]取出矩阵M的第i行
M[[All,i]]取出矩阵M的第i列
M[{i1,i2ir},{j1,j2js}]取出矩阵M的一个r×s子矩阵,它由i1,ir
行和j1,js列相交处的元素构成
M[{Range[i0,i1],Range[j0,j1]}]或Take[M,{i0,i1},{j0,j1}]
取出矩阵M的一个子块,它由i0到i1行和j0到j1列相交处的元素构成
Minors[M,i]算出矩阵M的一个i×s的i阶余子式矩阵
ArrayRules[M]矩阵M中非零元素的位置
Tr[M,List]矩阵M对角线上的元素
M[[i,j]]=v将矩阵M的i行j列的元素换为v。
M[[i]]=v将矩阵M的i行的元素全换为v。
M[[i]]={v1,v2,...}将矩阵M的i行的元素全换为{v1,v2,...}。
M[[All,j]]=u将矩阵M的j列的元素全换为u。
M[[All,j]]={u1,u2,...}将矩阵M的j列的元素全换为{u1,u2,...}。
First
Last
Rest
Most
Take
Drop
TakeWhile
Append
Prepend
Insert
Delete
AppendTo
PrependTo
RotateLeft
RotateRight
Reverse
Partition
Flatten
Sort
Join
Riffle
(3).矩阵的运算
c*v常数乘矩阵
v.u向量内积
Norm[u]求向量u的模
v*m向量对应的元素相乘
m.v矩阵乘向量
m.p矩阵相乘
Cross[v,v]向量差积
m*p矩阵对应的元素相乘
VectorAngle[u,v]求两向量的夹角
Normalize[u]将向量u单位化
Orthogonalize[{u,v,...}]将向两组正交化
Projection[u,v]求向量u到v上的投影
Outer[Times,m,n]求矩阵的外积
Transpose[m]求矩阵的转置
Inverse[m]求矩阵的逆矩阵
Det[m]求矩阵的行列式
Minors[m,k]矩阵所有可能的k*k阶子式
MatrixPower[m,i]求矩阵m的i次幂
MatrixExp[m]求以矩阵m作为指数的值
Tr[m]求矩阵的迹
CharacteristicPolynomial[m,x]求矩阵的特征多项式。
Chop[%]舍弃上一个输出中的无意义的小量
MatrixPlot[M]打印矩阵
Map
Apply
(4).解线性方程组
LinearSolve[m,w]求解线性方程组m.x=w的解
NullSpace[m]求矩阵m的零化子空间
RowReduce[m]用Gauss消元将矩阵m化为对角形式
MatrixRank[m]求矩阵m的秩
LeastSquares[m,w]求线性方程组m.x=w的最小二乘解
(5).特征值,特征向量及分解
Eigenvalues[m]求矩阵m的特征值
Eigenvalues[m,k]矩阵m的最大的前k个特征值
Eigenvectors[m]求矩阵m的特征向量
Eigenvectors[m,k]对应矩阵m的最大的前k个特征值的特征向量
Eigensystems[m]求数字矩阵m的特征值和特征向量
Eigenvalules[{m,a}]求矩阵m关于a的广义特征值
Eigenvectors[{m,a}]求矩阵m关于a的广义特征向量
QRDecomposition[m]求数字矩阵m的QR分解
SchurDecomposition[m]求数字矩阵m的Schur分解
LUDecomposition[m]求数字矩阵m的LU分解
CholeskyDecomposition[m]求数字矩阵m的Cholesky分解
JordanDecomposition[m]求数字矩阵m的Jordan分解
SingularValues[m]求数字矩阵m的奇异值分解
PseudoInverse[m]求数字奇异矩阵m的拟逆
\6.数值计算
\
(1).数据拟合与插值
\ff=Table[N[f[x]],{x,n}]
输入名为ff的拟合函数表,变量x在区间[0,n]上,间距为1。
fp=Fit[ff,{f1,f2,,fn},x]
建立名为fp的拟合函数,它由f1,,fn的线性组合形成,拟合变量为x。
fp=FindFit[ff,form,{pars1,pars2,...},x]
建立名为fp的拟合函数,函数形式form已知,求参数parsi。
fp=Fit[ff,Table[x^i,{i,0,n}],x]
多项式拟合的简单输入形式
ff=Flatten[Table[{x,y,f[x,y]},{x,x1,x2,dx},{y,y1,y2,dy},1]
输入名为ff的二元拟合函数表,变量x在区间[x1,x2]上,间距为dx。
变量y在区间[y1,y2]上,间距为dy。
fp=Fit[ff,{f1,f2,,fn},{x,y}]
建立名为fp的拟合函数,它由f1,,fn的线性组合形成,拟合变量为x,y。
ff={{x1,y1},{x2,y2},,{xn,yn}}
输入名为ff的二元插值函数表
fp=InterpolatingPolynomial[ff,x]
用牛顿法进行多项式插值
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