人教版高中数学选修21第一章常用逻辑语 同步复习教案2提高.docx
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人教版高中数学选修21第一章常用逻辑语同步复习教案2提高
常用逻辑语辅导教案
学生姓名
性别
年级
学科
数学
授课教师
上课时间
年月日
第()次课
共()次课
课时:
2课时
教学课题
人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案(提高)
教学目标
知识目标:
掌握逻辑联结词“或、且”的含义、正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题、掌握真值表并会应用真值表解决问题、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及、判断其命题的真假性.悉常见的全称量词和存在量词.
能力目标:
在观察和思考中,在解题和证明题中,本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养.
情感态度价值观目标:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神;使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力.
教学重点与难点
1、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定
2、了解逻辑联结词“非”的含义
3、理解全称量词与存在量词的意义
教学过程
(三)简单的逻辑联结词
知识梳理
一、简单的逻辑联结词
1、且;或
在数学中,有时会使用一些联结词,如“且”“或”“非”。
在生活用语中,我们也使用这些联结词,但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。
下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。
为叙述简便,今后常用小写字母p,q,r,s,…表示命题。
(注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别)
2、思考、分析
问题1:
下列各组命题中,三个命题间有什么关系?
(1)①12能被3整除;
②12能被4整除;
③12能被3整除且能被4整除。
(2)①27是7的倍数;
②27是9的倍数;
③27是7的倍数或是9的倍数。
容易看到,在第
(1)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题,在第
(2)组命题中,命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题,。
问题2:
以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢?
你能否举一些例子?
例如:
命题p:
菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。
命题q:
三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。
3、归纳定义
一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作
p∧q
读作“p且q”。
一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q,读作“p或q”。
命题“p∧q”与命题“p∨q”即,命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”字与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗?
(1)若x∈A且x∈B,则x∈A∩B。
(2)若x∈A或x∈B,则x∈A∪B。
定义中的“且”字与“或”字与两个命题中的“且”字与“或”字的含义是类似。
但这里的逻辑联结词“且”与日常语言中的“和”,“并且”,“以及”,“既…又…”等相当,表明前后两者同时兼有,同时满足,逻辑联结词“或”与生活中“或”的含义不同,例如“你去或我去”,理解上是排斥你我都去这种可能.
说明:
符号“∧”与“∩”开口都是向下,符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意:
“p或q”,“p且q”,命题中的“p”、“q”是两个命题,而原命题,逆命题,否命题,逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分.
4、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
你能确定命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假吗?
命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题p,q的真假之间有什么联系?
分析前面所举例子中命题p,q以及命题p∧q的真假性,概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律。
例如:
在上面的例子中,第
(1)组命题中,①②都是真命题,所以命题③是真命题。
第
(2)组命题中,①是假命题,②是真命题,但命题③是真命题。
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
(即一假则假)(即一真则真)
一般地,我们规定:
当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题;当p,q两个命题中有一个是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题。
例题精讲
【例1】将下列命题分别用“且”与“或”联结成新命题“p∧q”与“p∨q”的形式,并判断它们的真假。
(1)p:
平行四边形的对角线互相平分,q:
平行四边形的对角线相等。
(2)p:
菱形的对角线互相垂直,q:
菱形的对角线互相平分;
(3)p:
35是15的倍数,q:
35是7的倍数.
解:
(1)p∧q:
平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分且相等.
p∨q:
平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线互相平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q也是真命题.
(2)p∧q:
菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分.也可简写成
菱形的对角线互相垂直且平分.
p∨q:
菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分.也可简写成
菱形的对角线互相垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q也是真命题.
(3)p∧q:
35是15的倍数且35是7的倍数.也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q:
35是15的倍数或35是7的倍数.也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题.
说明,在用"且"或"或"联结新命题时,如果简写,应注意保持命题的意思不变.
【例2】选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题,并判断它们的真假。
(1)1既是奇数,又是素数;
(2)2是素数且3是素数;
(3)2≤2.
【例3】判断下列命题的真假;
(1)6是自然数且是偶数
(2)是A的子集且是A的真子集;
(3)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;
(4)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.
巩固训练
1.已知命题p:
点P在直线y=2x-3上;命题q:
点P在直线y=-3x+2上,则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是( )
A.(0,-3)B.(1,2)
C.(1,-1)D.(-1,1)
2.下列命题:
①5>4或4>5;②9≥3;③命题“若a>b,则a+c>b+c”;④命题“菱形的两条对角线互相垂直”,其中假命题的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
3.若命题p:
0是偶数,命题q:
2是3的约数,则下列结论中正确的是( )
A.“p∨q”为假B.“p∨q”为真
C.“p∧q”为真D.以上都不对
二、填空题
4.设命题p:
3≥2,q:
3
∈[2
,+∞)
则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________.
5.分别用“p∧q”“p∨q”填空.
(1)命题“0是自然数且是偶数”是________形式.
(2)命题“5小于或等于7”是________形式.
(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式.
三、解答题
6.指出下列命题的构成形式(“p∧q”或“p∨q”)及构成它的命题p,q,并判断它们的真假.
(1)5≥3;
(2)(n-1)·n·(n+1)(n∈N*)既能被2整除,也能被3整除;
(3)∅是{∅}的元素,也是{∅}的真子集.
※7.已知命题p:
x2-5x+6≥0;命题q:
0 二、非 1、思考、分析 问题1: 下列各组命题中的两个命题间有什么关系? (1)①35能被5整除;②35不能被5整除; (2)①方程x2+x+1=0有实数根。 ②方程x2+x+1=0无实数根。 容易看到,在每组命题中,命题②是命题①的否定。 2、归纳定义 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 ¬p 读作“非p”或“p的否定”。 3、命题“¬p”与命题p的真假间的关系 命题“¬p”与命题p的真假之间有什么联系? 引导学生分析前面所举例子中命题p与命题¬p的真假性,概括出这两个命题的真假之间的关系的一般规律。 例如: 在上面的例子中,第 (1)组命题中,命题①是真命题,而命题②是假命题。 第 (2)组命题中,命题①是假命题,而命题②是真命题。 由此可以看出,既然命题¬P是命题P的否定,那么¬P与P不能同时为真命题,也不能同时为假命题,也就是说,若p是真命题,则¬p必是假命题;若p是假命题,则¬p必是真命题; p ¬P 真 假 假 真 4、命题的否定与否命题的区别 思考: 命题的否定与原命题的否命题有什么区别? 命题的否定是否定命题的结论,而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定,因此在解题时应分请命题的条件和结论。 例: 如果命题p: 5是15的约数,那么 命题¬p: 5不是15的约数; p的否命题: 若一个数不是5,则这个数不是15的约数。 显然,命题p为真命题,而命题p的否定¬p与否命题均为假命题。 例题精讲 【例1】写出下表中各给定语的否定语。 若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个 其否定语分别为 【例2】写出下列命题的否定,判断下列命题的真假 (1)p: y=sinx是周期函数; (2)p: 3<2; (3)p: 空集是集合A的子集。 巩固训练 一、选择题 1.若p、q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有( ) A.p真q真B.p假q假 C.p真q假D.p假q真 2.命题p: a2+b2<0(a、b∈R);命题q: a2+b2≥0(a、b∈R),下列结论中正确的是( ) A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真 C.“非p”为假D.“非q”为真 3.对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题: ①p或¬q是真命题;②p且¬q是真命题; ③¬p且¬q是假命题;④¬p或q是假命题. 其中真命题是( ) A.①②B.③④ C.①③D.②④ 二、填空题 4.已知命题p: 不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q: 不等式 ≤0的解集为{x|1 5.已知命题p: 方程x2-5x+6=0的根是x=2,命题q: 方程x2-5x+6=0的根是x=3,那么p∧q: ____________________________________________________,其真假是________;p∨q: ________________________________________,其真假是________. 三、解答题 6.已知p: |x+1|>1,q: <0.判断非p是非q的什么条件. ※※7.设命题p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q: 实数x满足 (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. (四)全称量词与存在量词 一、全称量词、存在量词 1.思考、分析 下列语句是命题吗? 假如是命题你能判断它的真假吗? (1)2x+1是整数; (2)x>3; (3)如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等; (4)平行于同一条直线的两条直线互相平行; (5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书; (6)所有有中国国籍的人都是黄种人; (7)对所有的x∈R,x>3; (8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。 2.推理、判断 (1)、 (2)不能判断真假,不是命题。 (3)、(4)是命题且是真命题。 (5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。 注: 对于(5)-(8)将反例用命题的形式写出来。 因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 (5)的真假就看命题: 海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假; 命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. 命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2),x<3. (至少有一个x∈R,x≤3) 命题(8)是真命题。 事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。 也可以说命题: 存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题. 3.发现、归纳 命题(5)-(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到“所有的”“任意一个”这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。 命题(5)-(8)都是全称命题。 通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),……表示,变量x的取值范围用M表示。 那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为: xM,p(x),读做“对任意x属于M,有p(x)成立”。 刚才在判断命题(5)-(8)的真假的时候,我们还得出这样一些命题: (5),存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书; (6),存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人. (7),存在一个(个别、某些)实数x(如x=2),使x≤3.(至少有一个x∈R,x≤3) (8),不存在某个x∈Z使2x+1不是整数. 这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。 并用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)命题(5),-(8),都是特称命题(存在命题). 特称命题: “存在M中一个x,使p(x)成立”可以用符号简记为: : 。 读做“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等;存在量词相当于日常语言中“存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“至多有一个”等. 巩固训练 (1)下列全称命题中,真命题是: A.所有的素数是奇数;B. ; C. D. (2)下列特称命题中,假命题是: A. B.至少有一个 能被2和3整除 C.存在两个相交平面垂直于同一直线D. x2是有理数. (3)已知: 对 恒成立,则a的取值范围是; 变式: 已知: 对 恒成立,则a的取值范围是; (4)求函数 的值域; 变式: 已知: 对 方程 有解,求a的取值范围.5.作业、探究 判断下列全称命题的真假: ①末位是o的整数,可以被5整除; ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ③负数的平方是正数; ④梯形的对角线相等。 (2)判断下列特称命题的真假: ①有些实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有些菱形是正方形。 二、含有一个量词的命题的否定 1.思考、分析 判断下列命题是全称命题还是特称命题,你能写出下列命题的否定吗? (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)x∈R,x2-2x+1≥0。 (4)有些实数的绝对值是正数; (5)某些平行四边形是菱形; (6)x∈R,x2+1<0。 2.发现、归纳 从命题的形式上看,前三个全称命题的否定都变成了特称命题。 后三个特称命题的否定都变成了全称命题。 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题P: 它的否定¬P 特称命题P: 它的否定¬P: ∀x∈M,¬P(x) 全称命题和否定是特称命题。 特称命题的否定是全称命题。 巩固训练判断下列命题是全称命题还是特称命题,并写出它们的否定: (1)p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3)p: 对x∈Z,x2个位数字不等于3; (4)p: x∈R,x2+2x+2≤0; (5)p: 有的三角形是等边三角形; (6)p: 有一个素数含三个正因数。 巩固训练 一、选择题 1.下列特称命题中真命题的个数是( ) ①∃x∈R,x≤0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数 ③∃x∈{x|x是整数},x2是整数 A.0B.1C.2D.3 2.下列命题中的假命题是( ) A.∃x∈R,lgx=0B.∃x∈R,tanx=1 C.∀x∈R,x2>0D.∀x∈R,2x>0 3.命题“存在x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是( ) A.存在x∈Z,使x2+2x+m>0 B.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0 C.对于任意的x∈Z都有x2+2x+m≤0 D.对于任意x∈Z都有x2+2x+m>0 D.对数函数在定义域上是单调函数 二、填空题 4.下列命题中真命题为________,假命题为________. ①末位是0的整数,可以被2整除 ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③正四面体中两侧面的夹角相等 ④有的实数是无限不循环小数 ⑤有些三角形不是等腰三角形 ⑥所有的菱形都是正方形 5.命题∀x∈R,x2-x+3>0的否定是________,命题∃x∈R,x2+1<0的否定是________. 三、解答题 5.写出下列命题的否定. (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根; (3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0; (4)有些质数是奇数. ※※6.若∀x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围. ※※7.写出下列各命题的否命题和命题的否定,并判断真假. (1)∀a,b∈R,若a=b,则a2=ab; (2)若a·c=b·c,则a=b; (3)若b2=ac,则a,b,c是等比数列. 课后作业 【基础巩固】 1.下列命题: ①2>1或1<3; ②方程x2-3x-4=0的判别式大于或等于0; ③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ④集合A∩B是集合A的子集,且是A∪B的子集. 其中真命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 2.p: 函数f(x)=lgx+1有零点;q: 存在α、β,使sin(α-β)=sinα-sinβ,在p∨q,p∧q,非p,非q中真命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,那么下列说法: ①M的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素; ③M中有P的元素;④M中元素不都是P的元素. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知p: 2≤4,q: x2-2x+1-m2≤0(m>0),若非p⇒非q为假命题,非q⇒非p为真命题,求m的取值范围. 参考答案: 例2: (1)1是奇数且是素数 (2)2且3是素数 (3)2等于2或2小于2 例3: (1)真 (2)真 (3)假 (4)假 课堂练习1: 一选择题 C A B 二、填空题 6 p∨q7 (1)p∧q (2)p∨q (3)p∨q 三、解答题 8[解析] (1)此命题为“p或q”的形式,其中, p: 5>3;q: 5=3. 此命题为真命题,因为p为真,q为假,所以“p或q”为真命题. (2)此命题为“p且q”形式的命题,其中, p: (n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被2整除; q: (n-1)·n·(n+1)(n∈N*)能被3整除. 此命题为真命题,因为p为真命题,q也是真命题.所以“p且q”为真命题. (3)此命题为“p且q”的形式,其中, p: ∅是{∅}的元素; q: ∅是{∅}的真子集. 此命题为真命题,因为p为真,q也为真,故“p且q”为真命题. 9[解析] 由x2-5x+6≥0得x≥3或x≤2. ∵命题q为假,∴x≤0或x≥4. 则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}={x|x≤0或x≥4}. ∴满足条件的实数x的范围为(-∞,0)∪[4,+∞]. 例2: (1)1是奇数且是素数 (2)2且3是素数 (3)2等于2或2小于2 1.思考、分析 (5)假 (6)假 (7)真 (8)真 (9)假 (10)假 (11)真 4、练习、感悟 (1)D (2)C (3)a≤2 5、 ①、真 ②、真 ③、真 ④、假 6、 ①、真 ②、真 ③、真 四、 3、 (1)、全称 (2)、全称 (3)、全称 (4)、特称 (5)、特称 (6)、特称 课堂练习2: 一、选择题 B AC 二、填空题 4 p∨q 5方程x2-5x+6=0的根是x=2且方程x2-5x+6=0的根是x=3 假命题 方程x2-5x+6=0的根是x=2或方程x2-5x+6=0的根是x=3 真命题 三、解答题 6[解析] p: x+1>1或x+1<-1 ∴x>0或x<-2, ∴非p: -2≤x≤0, q: <0,∴x<-2或0 ∴非q: -2≤x≤0或x≥2 ∴非p⇒非q,且非q⇒/非p. ∴非p是非q的充分不必要条件. 7、解析: (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0. 又a>0,所以a 当a=1时,1 即p为真命题时实数x的取值范围是1 由 解得 即2 所以q为真时实数x的取值范围是2 若p∧q为真,则 ⇔2 所以q为真时实数x的取值范围是2 课堂练习3: 一、选择题 DCD 二、填空题 6 ①②③④⑤ ⑥ 7∃x∈R,x2-x+3≤0 ∀x∈R,x2+1≥0 三、解答题 8[解析] (1)的否定: 有些自然数的平方不是正数. (2)的否定: 存在实数x不是方程5x-12=0的根. (3)的否定: 存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0. (4)的否定: 所有的质数都不是奇数. 9、解析: (1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R; (2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立, 即4m2+4am+1≥0恒成立. 又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1. 综上所述,当m=0时,a∈R; 当m≠0,a∈[-1,1]. 10[解析] 解析:
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