第十一章第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
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第十一章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础知识整合
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=
m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=
mn种不同的方法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终.
(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类.
(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间的方法“相互独立,分步完成”.
1.快递员去某小区送快递,该小区共有四个出入口,每个出入口均可进出,则该快递员进出该小区的方案种数为( )
A.6B.8C.16D.14
答案 C
解析 方案种数为4×4=16种,故选C.
2.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
A.2160B.720C.240D.120
答案 B
解析 分步来完成此事.第1张有10种分法;第2张有9种分法;第3张有8种分法.共有10×9×8=720种分法.
3.(2018·九江模拟)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40B.16C.13D.10
答案 C
解析 分两类情况讨论:
第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.
4.(2019·长沙模拟)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种B.18种C.24种D.36种
答案 A
解析 第一步先排第一列,有A
=6(种),再排第二列,当第一列确定时,
第二列有两种方法,如图所示,所以不同的排列方法共有6×2=12(种).
5.从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数,其中奇数的个数是________.
答案 18
解析 从1,3中取一个排个位,故排个位有2种方法;排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个,有3种方法;排十位有3种方法.故所求奇数的个数为2×3×3=18.
6.(2019·宁波模拟)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法.
答案 260
解析 区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:
若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色方法.
核心考向突破
考向一 分类加法计数原理
例1
(1)(2019·广西桂林模拟)如图,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是( )
A.6B.10C.12D.24
答案 B
解析 将图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论:
若先取1,则有12345,12453,12435,14523,14235,14253,共6种取法;若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种取法,故共有6+4=10种取法.
(2)(2019·河北保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A,B,C三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法种数为( )
A.8B.7C.6D.5
答案 B
解析 根据题意,分两种情况讨论:
①乙和甲一起去A社区,此时将丙、丁二人安排到B,C社区即可,有A
=2种情况,②乙不去A社区,则乙必须去C社区,若丙、丁都去B社区,有1种情况,若丙、丁中有1人去B社区,则先在丙、丁中选出1人,安排到B社区,剩下1人安排到A或C社区,有2×2=4种情况,则不同的安排方法种数有2+1+4=7种.故选B.
(3)(2018·沈阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数为________.
答案 12
解析 若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法,这时,共有C
×3=6种方法;若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方法,这时,共有3×2=6种方法.综上可得,不同的考试安排方案共有6+6=12种.
触类旁通
使用分类加法计数原理时应注意的三方面
(1)各类方法之间相互独立,每种方法都能完成这件事,且方法总数是各类方法数相加得到的.
(2)分类时,首先要在问题的条件之下确定一个分类标准,然后在确定的分类标准下进行分类.
(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类,且分别属于不同类的方法都是不同的.
即时训练 1.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )
A.4种B.10种C.18种D.20种
答案 B
解析 依题意,就所剩余的一本画册进行分类计数:
第一类,剩余的是一本画册,此时满足题意的赠送方法共有4种;第二类,剩余的是一本集邮册,此时满足题意的赠送方法共有C
=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10种.
2.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有( )
A.18B.20C.21D.22
答案 B
解析 当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A
·A
=12种,当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有C
·A
·A
=8种,所以共有20种不同的排法.
3.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )
A.16种B.36种C.42种D.60种
答案 D
解析 ①投资到两个城市,有C
·A
=36种方案;②投资到三个城市,有A
=24种方案,由分类加法计数原理可得,该外商不同的投资方案有36+24=60种.故选D.
考向二 分步乘法计数原理
例2
(1)(2016·全国卷Ⅱ)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24B.18C.12D.9
答案 B
解析 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.
(2)(2019·苏州模拟)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数,则所产生的不同对数值的个数为( )
A.56B.54C.53D.52
答案 D
解析 在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7=56个对数值,在这56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,则满足条件的对数值共有56-4=52个.
(3)现安排一份5天的工作值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,则此值班表共有________种不同的排法.
答案 1280
解析 完成一件事是安排值班表,因而需一天一天地排,用分步计数原理,分步进行:
第一天有5种不同排法,第二天不能与第一天已排的人相同,所以有4种不同排法,依次类推,第三、四、五天都有4种不同排法,所以共有5×4×4×4×4=1280种不同的排法.
触类旁通
使用分步乘法计数原理应注意的问题
(1)各个步骤之间相互依存,且方法总数是各个步骤的方法数相乘.
(2)分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准,然后在确定的分步标准下进行分步.
即时训练 4.(2019·成都模拟)两对夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的入园顺序的排法种数是( )
A.12B.24C.36D.48
答案 B
解析 首尾要排两位爸爸有A
=2种排法;两个小孩排在一起,再与两位妈妈排列有A
·A
=12种排法,根据分步乘法计数原理共有2×12=24种排法.故选B.
5.从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有________种.
答案 240
解析 分步完成此事,第一步选1人去巴黎有4种方法,第二步选1人去伦敦有5种方法,第三步选1人去悉尼有4种方法,第四步选1人去莫斯科有3种方法,由分步乘法计数原理可知:
共有4×5×4×3=240种.
6.(2019·南通模拟)从1到9的正整数中任意抽取2个数相加,所得的和为奇数的不同情形种数是________.
答案 20
解析 根据题意,从1到9的正整数中任意抽取2个数相加,若所得的和为奇数,则取出的2个数必为1个奇数、1个偶数.分两步:
先在1,3,5,7,9中取出1个奇数,有5种取法,再在2,4,6,8中取出1个偶数,有4种取法.则1个奇数、1个偶数的取法有5×4=20(种),即所得的和为奇数的不同情形种数是20.
考向三 两个计数原理的综合应用
角度1 与数字有关的问题
例3
(1)(2019·山东模拟)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243B.252C.261D.279
答案 B
解析 由分步乘法计数原理知:
用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.故选B.
(2)(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).
答案 1260
解析 若不取0,则排列数为C
C
A
,若取0,则排列数为C
C
A
A
,因此一共有C
C
A
+C
C
A
A
=1260个没有重复数字的四位数.
角度2 与几何有关的问题
例4
(1)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )
A.8种B.12种C.16种D.20种
答案 B
解析 正方体共有3组对面互不相邻.与正方体的每组对面相邻的面有4个,所以有3×4=12(种)选法.
(2)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A.60B.48C.36D.24
答案 B
解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6=36,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.
角度3 与涂色、种植有关的问题
例5
(1)用5种不同颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.120B.160C.180D.240
答案 C
解析 根据题意,因为规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A有5种涂法,B有4种涂法,D有3种涂法,C有3种涂法,所以共有5×4×3×3=180种不同的涂色方法.故选C.
(2)(2019·四川泸州模拟)如图,将一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有3种不同的花供选种,要求在同一块中种一种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A.12B.24C.18D.6
答案 C
解析 四块地种2种不同的花共有C
A
=6种不同的种植方法,四块地种3种不同的花共有2A
=12种不同的种植方法,所以共有6+12=18种不同的种植方法,故选C.
触类旁通
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法.
(2)分类时,标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
即时训练 7.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由
两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A.48B.18C.24D.36
答案 D
解析 分类讨论:
第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;
第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.
所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36个.
8.(2019·广西南宁模拟)用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色,同一条棱的两个顶点涂不同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( )
A.24种B.48种C.64种D.72种
答案 D
解析 设该正四棱锥为S-ABCD,顶点S有4种不同的涂法,用三种不同的颜色涂底面ABCD的四个顶点.①当A,C同色时,有3×2×2=12种不同的涂法;②当A,C不同色时,有3×2×1×1=6种不同的涂法,故符合条件的所有涂法共有4×(12+6)=72种.故选D.
9.4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成________个不同的三位数.
答案 168
解析 要组成三位数,根据首位、十位、个位应分三步:
第一步:
首位可放8-1=7个数;
第二步:
十位可放6个数;
第三步:
个位可放4个数.
故由分步计数原理,得共可组成7×6×4=168个不同的三位数.
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- 第十一章 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第十一 分类 加法 计数 原理 分步 乘法
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