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因式分解纵深练习
因式分解纵深
因式分解中的10种变换
在多项式的因式分解中还渗透了10种变换,应予以充分的重视.
一、指数变换
例1因式分解xn+1-3xn+2xn-1.
解xn+1-3xn+2xn-1
=x2·xn-1-3x·xn-1+2xn-1(指数变换)
=xn-1(x+1)(x-2).
二、符号变换
例2因式分解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).
解(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)
=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)(符号变换)
=(a-b)(x-y+x+y)
=2x(a-b).
三、换元变换
例3因式分解(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6.
解设x2+5x-2=y,则
(x2+5x+3)(x2+5x-2)-6
=(y+5)y-6(换元)
=y2+5y-6
=(y+6)(y-1)
=(x2+5x+4)(x2+5x-3)
=(x+1)(x+4)(x2+5x-3).
四、整体变换
例4因式分解(x+y)2-4(x+y-1).
解(x+y)2-4(x+y-1)
=(x+y)2-4(x+y)+4(将x+y看作一整体)
=(x+y-2)2.
五、拆项变换
例5因式分解x2-11x+24.
解x2-11x+24
=x2-3x-8x+24(将-11x拆为-3x-8x)
=x(x-3)-8(x-3)
=(x-3)(x-8)
六、添项变换
例6因式分解4x4+1.
解4x4+1=(4x4+4x2+1)-4x2(添4x2项)
=(2x2+1)2-(2x)2
=(2x2+2x+1)(2x2-2x+1)
七、主元变换
例7因式分解18x2-21xy-5y2.
解18x2-21xy+5y2
=5y2-21xy+18x2
(将原式看作关于y的二次三项式)
=(5y-6x)(y-3x).
八、分组变换
例8因式分解x4-x3+x-1
解x4-x3+x-1
=(x4-x3)+(x-1)(分解)
=x3(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x+1)(x2-x+1).
九、数域变换
例9因式分解4a4-1.
解4a4-1
=(2a2+1)(2a2-1)(有理数范围)
注意:
2a2+1到高中后还可以继续分解.
十、综合变换
例10因式分解a6-b6
解a6-b6
=(a2)3-(b2)3(指数变换)
=(a2-b2)(a4+a2b2+b4)(公式变换)
=(a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)(添项变换)
=(a2-b2)[(a4+2a2b2+b4)-(ab)2](分组变换)
=(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)(公式变换)
因式分解的关键——变形
因式分解题型众多,课本中只介绍了四种基本方法,但是有不少多项式是不能直接应用四种基本方法分解的,往往需要先变形,改变多项式的原有结构,才能达到因式分解.下面向同学们介绍几种变形.
1.变符号
常用的有:
(1)a-b=-(b-a)
(2)当m为偶数时,(a-b)m=(b-a)m
(3)当m为奇数时,(a-b)m=-(b-a)m
例1因式分解:
x3(x-2y)+y3(2y-x)
解x3(x-2y)+y3(2y-x)
=x2(x-2y)-y3(x-2y)
=(x-2y)(x3-y3)
=(x-2y)(x-y)(x2+xy+y2)
2.变指数
常要逆用下面两条性质:
解
(1)am·an=am+n
(2)(am)n=amn
例2因式分解:
xn+1-3xn+2xn-1
解xn+1-3xn+2xn-1
=xn-1·x2-3xn-1·x+2xn-1
=xn-1(x2-3x+2)
=xn-1(x-1)(x-2)
3.添项
例3因式分解:
x4+4
解x4+4
=(x2)2+2×2x2+22-2×2x2
=(x2+2)2-(2x)2
=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
例4因式分解:
x4+x2+2ax+1-a2
解原式=x4+2x2+1-a2+2ax-x2
=(x2+1)2-(a+x)2
=(x2+1+a+x)(x2+1-a-x)
4.拆项
例5因式分解:
x3+10x-11
解x3+10x-11
=x3+10x-1-10
=(x3-1)+(10x-10)
=(x-1)(x2+x+1)+10(x-1)
=(x-1)(x2+x+11)
注:
此例也可考虑拆x3或10x.
5.用一个字母代替一个式子
例6因式分解:
(x2+y-2)(x2+y-12)+24
解设x2+y=a,则有:
(x2+y-2)(x2+y-12)+24
=(a-2)(a-12)+24
=a2-14a+48
=(a-6)(a-8)
=(x2+y-6)(x2+y-8)
用待定系数法分解因式
待定系数法是初中数学解题的重要方法之一,下面谈谈待定系数法在因式分解中的应用.
例分解因式:
2x2-7xy+6y2+2x-y-12.
解:
∵2x2-7xy+6y2=(x-2y)(2x-3y),
∴设2x2-7xy+6y2+2x-y-12=(x-2y+m)(2x-3y+n)=2x2-7xy+6y2+(2m+n)x-(3m+2n)y+mn.
比较上式等号两边的对应项的系数,得
解得m=3,n=-4.
∴2x2-7xy+6y2+2x-y-12=(x-2y+3)(2x-3y-4).
小结由上例可以看出,做这类题目一般的步骤和方法是:
1.根据多项式的特点,确定它所能分解成的形式(含有若干个待定系数),这是关键一步,要注意尽量减少待定系数的个数,以利于求解.
2.根据多项式恒等性质列出以待定系数为未知数的方程组.
3.解方程组.如果有解,那么原多项式可以分解为指定形式,将解得的待定系数代回所设的式子中,就得到原式的因式分解式;如果无解,那么原多项式不能分解为指定形式.
下面再举两例来说明:
例1分解因式:
4m2+4mn+n2+6m+3n+2.
解:
∵4m2+4mn+n2=(2m+n)2,
∴可设4m2+4mn+n2+6m+3n+2
=(2m+n+a)(2m+n+b)
=4m2+4mn+n2+(2a+2b)m+(a+b)n+ab.
比较上式两边的对应项系数,可得关于a、b的方程组:
解得a=1,b=2或a=2,b=1.
∴4m2+4mn+n2+6m+3n+2=(2m+n+1)(2m+n+2).
例2确定k的值,使x2-xy-6y2+2x-y+k能分解成两个一次多项式的积.
解:
∵x2-xy-6y2=(x+2y)(x-3y),
∴设原式=(x+2y+a)(x-3y+b)=x2-xy-6y2+(a+b)x+(2b-3a)y+ab.
比较等式两边对应项的系数,可得:
解
(1)、
(2)得a=1,b=1.
代入(3)得k=1.
故当k=1时,使x2-xy-6y2+2x-y+k能分解成两个一次多项式的积.
练习:
1.把x2-xy-2y2-2x-5y-3分解因式.
2.求k的值,使x2+7xy+ky2-5x+43y-24能分解成两个一次因式的积.
(答案:
1.(x+y+1)(x-2y-3);2.k=-18)
换元与因式分解
举两个例题,以说明换元思想在分解因式中的作用.
一、直接设元
例1计算①632+372+63×74;②982-15×98-34.
解:
①令a=63,b=37.
原式=a2+b2+2ab=(a+b)2=(63+37)2=104.
②令a=98,
原式=a2-15a-34=(a+2)(a-17)=8100.
说明:
数字问题经过设元能够更明显地发现其特点,从而准确地选用公式进行计算.
二、变形换元
例2分解因式:
①2x2-7x+3;②6x2-7x-5.
=(x-3)(2x-1).
=(2x+1)(3x-5).
说明:
二次三项式中二次项系数不是1,分解时通常需综合考虑各项系进行多次尝试才能成功.经过变形换元后,使二次项系数变为1,再分解就方便了.
几类特殊多项式的因式分解
因式分解是初中数学的重要内容,同学们除要熟练地掌握课本介绍的几种基本方法外,对某些较为特殊的多项式,还要注意观察分析其特点,将这些方法灵活、综合地运用.下面介绍几类特殊多项式的分解方法.
例1分解因式:
(1)(x2+3x+2)(x2-9x+20)-72;
(2)(a+1)(a+2)(a+3)(a+6)+a2.
分析第
(1)题中的(x2+3x+2)(x2-9x+20)可分解为:
(x+1)(x+2)(x-4)(x-5),其中(x+1)(x-4)=x2-3x-4,而(x+2)(x-5)=x2-3x-10.注意到此时出现了相同的项x2-3x,所以用整体代换就能分解它们.第
(2)题的方法类似.
解
(1)原式=(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)-72
=(x2-3x-4)(x2-3x-10)-72
=(x2-3x)2-14(x2-3x)-32
=[(x2-3x)-16][(x2-3x)+2]
=(x2-3x-16)(x-1)(x-2);
(2)原式=(a2+6+7a)(a2+6+5a)+a2
=(a2+6)2+12a(a2+6)+36a2
=(a2+6+6a)2.
例2分解因式:
x2+2xy-8y2-4x-10y+3.
分析此题容易想到用分组分解法,但比较困难.
考虑到x2+2xy-8y2=(x+4y)(x-2y),
且-4x-10y=-3(x+4y)-(x-2y),
可用十字相乘法来分解.此题结果为
原式=(x+4y-1)(x-2y-3).
例3分解因式:
(1)a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)+2abc;
(2)(a+b)c3-(a2+ab+b2)c2+a2b2.
分析此题中项数多、字母多、字母次数较高,可选取其中出现次数较多或次数较低的某个字母为主字母,将多项式按这个主字母的降幂排列,再考虑其分解.
解
(1)原式=a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b+2abc
=a2(b+c)+a(b2+c2+2bc)+(b2c+c2b)
=a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)
=(b+c)(a2+ab+ac+bc)
=(b+c)(a+b)(a+c);
(2)原式=ac3+bc3-a2c2-abc2-b2c2+a2b2
=b2(a2-c2)+b(c3-ac2)+(ac3-a2c2)
=b2(a-c)(a+c)+bc2(c-a)+ac2(c-a)
=(c-a)(-b2a-b2c+bc2+ac2)
=(c-a)[a(-b2+c2)+bc(-b+c)]
=(c-a)(c-b)(ac+ab+bc).
因式分解的应用
因式分解在分式运算、解方程、解不等式、代数式的恒等变形等方面有广泛的应用,此外在中学数学中还有其他重要的应用.请看例子.
1.判断整除性
例12n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),证明这两个连续奇数的平方差能被8整除.
证明(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n·2=8n,
∴这两个连续奇数的平方差能被8整除.
例2求证:
146+1能被197整除.
证明146+1=(142)3+1=1963+1
=(196+1)(1962-196+1)
=197(1962-196+1),
∴146+1能被197整除.
例3x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除.
证明原式即
(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx),
∴x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除.
∴该数能被11整除.
例5设4x-y为3的倍数,求证:
4x2+7xy-2y2能被9整除.
证明∵4x2+7xy-2y2
=(4x-y)(x+2y),
又x+2y=4x-y-3x+3y
=(4x-y)-3(x-y).
∵3/(4x-y),3/3(x-y),
∴3/(x+2y),
于是9/(4x2+7xy-2y2).
2.判定几何图形的形状
例6在△ABC中,三边a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0,试判定三角形的形状?
解∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0,
而a+b+c≠0,
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a=b=c,即△ABC为等边三角形.
例7m为何值时,方程2x2-xy-6y2+mx+17y-12=0的图象是两条直线?
解∵2x2-xy-6y2=(2x+3y)(x-2y),
所以设原式即(2x+3y+A)(x-2y+B)=0,
也即2x2-xy-6y2+(A+2B)x+(3B-2A)y+AB=0.
3.求解多元方程
例8如果xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975,试求自然数x、y、z.
解方程两边加1,得
(x+1)(y+1)(z+1)=23·13·19,
①(x,y,z)为(7,12,18),②(7,18,12),
③(12,7,18),④(12,18,7),
⑤(18,7,12),⑥(18,12,7)共6组解.
例9求x2-y2=1979的整数解.
解∵1979是质数,
而(x+y)(x-y)=1979.
解原方程即4xy=2px+2py,
4xy-2px-2py+p2=p2,
(2x-p)(2y-p)=p2.
∵x≠y,以及p是质数,则只能是
4.开拓平几解题思路
例11已知:
a、b为两圆的半径,c为两圆的圆心距,若方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0有相等的实数根,求证:
两圆相等或外切.
证明对于方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0,
有△=4a2-4b2+4(b-a)c=0,
即(a-b)(a+b-c)=0,
a=b或c=a+b所以两圆相等或外切.
例12在△ABC中,∠BAC=90°,AC>AB,AD是高,M是BC的中点,求证:
AD2=BM2-DM2.
证明∵BM2-DM2
=(BM+DM)(BM-DM)
=(CM+DM)(BM-DM)
=CD·DB=AD2,
∴AD2=BM2-DM2.
注:
若用CM替代BM,则:
CD=CM+DM,DB=BM-DM.
二次六项式的因式分解
解二元二次方程组常常需将二次六项式:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解,现举一例,以介绍二次六项式的五种分解方法.
例分解因式:
x2+2xy-8y2+2x+14y-3.
方法1主元法
整理为关于x(或y)的二次三项式,先分解常数项(事实上是关于y(或x)的二次三项式),再分解关于x(或y)的二次三项式.
解原式=x2+(2y+2)x-8y2+14y-3=x2+(2y+2)x+(-2y+3)(4y-1)=(x-2y+3)(x+4y-1).
方法2双十字相乘法先把二次项部分分解成两个一次式的积,然后再分解原式.
解原式=(x-2y)(x+4y)+2x+14y-3
=(x-2y+3)(x+4y-1).
方法3零值法
分别令y=0,x=0得关于x、y的二次三项式.分别分解(常数项分解要一致)即可得结果.
解令y=0.
则原式=x2+2x-3=(x+3)(x-1)
令x=0.
则原式=-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)
因此,原式=(x-2y+3)(x+4y-1)
方法4待定系数法
利用“两多项式恒等,则对应项系数相等”性质,比较系数得方程组,从而确定分解因数.
解∵x2+2xy-8y2=(x-2y)(x+4y)
∴原式=(x-2y+m)(x+4y+n)
=x2+2xy-8y2+(m+n)x+(4m-2n)y+mn.
解方程组,得m=3,n=-1.满足mn=-3
因此,原式=(x-2y+3)(x+4y-1)
说明亦可直接设原式=(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2),展开,整理.比较系数得六元方程组,而确定a1、a2、b1、b2、c1、c2,但较繁.
方法5求根法
利用法则:
若方程ax2+bx+c=0两根为x1,x2则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)进行分解.
解∵关于x的方程
x2+(2y+2)x-8y2+14y-3=0两根为
x1=2y-3,x2=-4y+1
∴原式=(x-2y+3)(x+4y-1).
取零法分解二元二次多项式
在中学数学教学中,常常遇到二元二次多项式的因式分解,如在方程组求解及解析几何的求轨迹等问题中,都用到了二元二次多项式的因式分解.尽管二元二次多项式的分解有一些常用的方法,但对有些学生来说,却仍感到困难.因此,这里通过实例介绍一种新的分解方法——取零法.
例1把2x2+xy-y2-4x+5y-6分解因式.
分析:
该二次式若分解因式,则其因式为一次式.
设2x2+xy-y2-4x+5y-6
=(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2),
令y=0,则2x2-4x-6=(a1x+c1)(a2x+c2),得(2x+2)(x-3)=(a1x+c1)(a2x+c2),通过对照系数就可以求出a1、a2、c1、c2.
令x=0,则-y2+5y-6=(b1y+c1)(b2y+c2),得(-y+2)(y-3)=(b1y+c1)(b2y+c2),
同理可求出b1、b2、c1、c2.
解:
在原式中令y=0,分解因式,得
2x2-4x-6=(2x+2)(x-3);①
在原式中令x=0,分解因式,得
-y2+5y-6=(-y+2)(y-3).②
比较①、②两式,拼凑并检验,得
2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+2)·(x+y-3).
一般来说,若二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f能分解成两个一次因式的积,即ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2),③
令y=0,则ax2+dx+f=(a1x+c1)(a2x+c2),④
令x=0,则cy2+ey+f=(b1y+c1)(b2y+c2).⑤
④、⑤式与③式比较、拼凑,得原式分解结果:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2).
注意:
(1)常数分解必须一致,否则很可能不能分解;
(2)常数项的符号保持不变的情况下,变动二次项系数的符号;(3)分解后的结果必须经过检验.
例2把2x2-2y2-3z2-3xy+xz-7yz分解因式.
分析:
这是一个三元二次多项式,如果我们将其一个字母,如z当作常数,那么原多项式就是关于x、y的二元二次多项式.
解令y=0,得2x2+zx-3z2=(2x+3z)·(x-z)
令x=0,得-2y2-7zy-3z2=(y+3z)·(-2y-z).以上两式比较、拼凑并检验,得
2x2-2y2-3z2-3xy+xz-7yz=(2x+y+3z)(x-2y-z).
例3若多项x2-y2+mx+5y-6能分解为两个一次因式的积,求m的值.
解:
在原式中令x=0,得-y2+5y-6=(-y+2)(y-3),或-y2+5y-6=(y-2)·(-y+3).
在原式中令y=0,得x2+mx-6=(x-2)(x+3),或x2+mx-6=(x+2)(x-3).
∴x2-y2+mx+5y-6=(x-y+2)·(x+y-3),①
或x2-y2+mx+5y-6=(x+y-2)(x-y+3).②
比较①、②式两边的系数,可得m=±1.
例4当m为何值时m为质数,方程6x2-7xy-my2-x+7y-2=0表示两条直线?
并求出直线的方程.
解:
所给方程要表示两条直线,则方程左边6x2-7xy-my2-x+7y-2必可分解为两个一次因式的形式.
∴令y=0,得6x2-x-2=(2x+1)(3x-2).
令x=0,得-my2+7y-2=(-my+1)(y-2).
∴m=3.
检验,得原方程变形为
(2x-3y+1)(3x+y-2)=0,
∴当m=3时,原方程表示两条直线,方程为2x-3y+1=0或3x+y-2=0.
一题多解开阔视野
一题多解,可以开阔学生的视野,加强学生对基础知识的灵活运用,激发学生学习数学的兴趣,增强学生的自信心.
例分解因式2x2-xy-3y2+5x-5y+2.
1.按次幂分组
把多项式中相同次的项分为一组.
解法一:
原式=(2x2-xy-3y2)+(5x-5y)+2
=(2x-3y)(x+y)+(5x-5y)+2
=(2x-3y+1)(x+y+2).
2.主元法
把x视为主元,按x的降幂重新排列.
解法二:
原式=2x2+(5-y)x-3y2-5y+2
=2x2+(5-y)x+(-3y+1)(y+2)
=(2x-3y+1)(x+y+2).
把y视为主元,按y的降幂重新排列.
解法三:
原式=-3y2-(5+x)y+2x2+5x+2
=-3y2-(5+x)y+(2x+1)(x+2)
=(-3y+2x+1)(y+x+2)
=(2x-3y+1)(x+y+2)
3.待定系数法
假定原式可分解为两个一次因式的积的形式,然后根据恒等式的性质求出有关待定系数,进而达到将多项式得以分解因式.
解法四:
∵2x2-xy-3y2=(2x-3y)(x+y)
∴设原式=[(2x-3y)+m][(x+y)+n]=2x2-xy-3y2+(2n+m)x+(m-3n)y+mn.
由多项式相等的条件得:
∴原式=(2x-3y+1)(x+y+2).
4.取零法
设ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2).
(1)
令y=0,则
(1)式变为ax2+dx+f=(a1x+c1)(a2x+c2).
(2)
令x=0,则
(1)式变为cy2+ey+f=(b1y+c1)(b2y+c2).(3)
因此只要先求出
(2),(3)式,便可得
(1)式
解法五:
令x=0,则-3y2-5y+2=(-3y+1)(y+2).
令y=0,则2x2+5x+2=(2x+1)(x+2).
∴原式=(2x-3y+1)(x+y+2).
例说一题多解
浙江黄岩实验中学叶对萍
例1已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值.
法1由x+y=1,两边立方,得(x+y)3=1.
∵(x+y)3=(x+y)2(x+y)
=(x2+2xy+y2)(x+y)
=(x3+2x2y+xy2+x2y+2xy2+y3
=x3+y3+3x2y+3xy2
=x3+y3+3xy(x+y)
把x+y=1代入,得
x3+3xy+y3=1.
法2x3+3xy+y3
=(x+y)(x2-xy+y2)+3xy
=x2-xy+y2+3xy
=x2+2xy+y2=(x+y)2=1.
法3x3+3xy+y3
=x3+3xy(x+y)+y3
=x3+3x2y+3xy2+y3
=(x+y)3=1.
例2已知a+b+c=0,求证:
a3+b3+c3=3abc
法1把a=-(b+c)代入等式左边,得
a3+b3+c3
=-(b+c)3+b3+c3
=-b3-c3-
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