一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结.docx

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一次函数反比例函数二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）

知识点一、平面直角坐标系

1，平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方

向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一

象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位

置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征

1、各象限内点的坐标的特征

点P（x,y）在第一象限

x

0,y

0

点P（x,y）在第二象限

x

0,y

0

点P（x,y）在第三象限

x

0,y

0

点P（x,y）在第四象限

x

0,y

0

2、坐标轴上的点的特征

点P（x,y）在x轴上y0，x为任意实数

点P（x,y）在y轴上x0，y为任意实数

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

1

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于

y

x

（3）点P（x,y）到原点的距离等于x2y2

知识点三、函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法

叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

2

知识点四，正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果ykxb（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数ykxb中的b为0时，ykx（k为常数，k0）。

这时，y叫做x的正比

例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数ykx

b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数

ykx的图像是经过原点（

0，0）

的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

图像特征

y

b>0

0

图像经过一、二、三象限，

y随x

x

的增大而增大。

k>0

y

b<0

0

x

图像经过一、三、四象限，

y随x

的增大而增大。

y

图像经过一、二、四象限，y随x

b>0

的增大而减小

0x

K<0

y

图像经过二、三、四象限，

y随x

b<0

的增大而减小。

3

0x

注：

当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数ykx有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数ykxb有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx（k0）中的常数k。

确定一个一次函

数，需要确定一次函数定义式ykxb（k0）中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法

知识点五、反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数y

k（k是常数，k

0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成

ykx1

x

的形式。

自变量x的取值范围是x

0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，

它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

4

3、反比例函数的性质

反比例

y

k（k0）

函数

x

k的符号

k>0

k<0

yy

图像

OxOx

①x的取值范围是x0，①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；y的取值范围是y0；

性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。

在每个象限内，y在第二、四象限。

在每个象限内，y

随x的增大而减小。

随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数

y

k中，只有一个待定系数，因此只需要

x

一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出

k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数

PMON的面积S=PMPN=

y

k（k

0）图像上任一点

P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形

x

k,xyk,Sk。

yx

xy。

y

x

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

2

a

0）

特别注意a不为零

yaxbxcabc

是常数，

，

一般地，如果特

（,,

那么y叫做x

的二次函数。

yax2

bx

c（a,b,c是常数，a0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

5

b

二次函数的图像是一条关于x对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线yax2

bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点

A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称

点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与

y轴的交点C及对称点D。

由C、M、D

三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点

A、B，然后顺

次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

口诀-----一般两根三顶点

（1）一般一般式：

yax2bxc（a,b,c是常数，a0）

（2）两根当抛物线yax2bxc与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2bxc0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxca（xx1）（xx2），二次函数yax2bxc可转化为两根式ya（xx1）（xx2）。

如果没有交点，则不能这样表示。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点顶点式：

ya（xh）2k（a,h,k是常数，a0）

知识点八、二次函数的最值

6

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）

，即当x

b

时，

2a

y最值

4ac

b2

。

4a

如果自变量的取值范围是

x1

x

x2，那么，首先要看

b

x1

xx2内，

是否在自变量取值范围

2a

若在此范围内，则当x=

b

时，y最值

4acb2

；若不在此范围内，则需要考虑函数在

x1

x

x2范

2a

4a

围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x

x2时，y最大

ax22

bx2

c，当x

x1

时，y

最小

ax2

bx

c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1

时，y

最大

ax2

bx

c，

1

1

1

1

当x

x2时，y最小

ax22

bx2

c。

知识点九、二次函数的性质

1、二次函数的性质

二次函数

函数

ax2

bxc（a,b,c是常数，a0）

y

a>0

a<0

图像

7

y

y

0x0x

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

b

，顶点坐标是（

b

（2）对称轴是x=

b

b

，

（2）对称轴是x=

，

，顶点坐标是（

2a

2a

2a

2a

4ac

b2

4acb

2

4a

）；

4a

）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<

b

（3）在对称轴的左侧，即当

x<

b

时，y随x

时，y随

2a

2a

性质

的增大而减小；在对称轴的右侧，即当

x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当

b

时，y随x的增大而增大，简记左减

b

时，y随x的增大而减小，简记左

x>

x>

2a

2a

右增；

增右减；

（4）抛物线有最低点，当

x=

b

（4）抛物线有最高点，当

x=

b

时，y有最小

时，y有最

2a

2a

4ac

b2

大值，y最大值

4ac

b2

值，y最小值

4a

4a

2

yax

2

bxc（a,b,c是常数，a0）

中，a、b、c的含义：

、二次函数

a表示开口方向：

a>0时，抛物线开口向上

a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：

对称轴为

b

x=

2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：

（0，c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的b24ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

8

当<0时，图像与x轴没有交点。

知识点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

y

如图：

点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为x1x2

2

y1y2

2

A

0x

B

2，二次函数图象的平移

①将抛物线解析式转化成顶点式

2

h，k

；

yaxhk，确定其顶点坐标

②保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位

y=ax2y=ax2+k

向右（h>0）【或左（h<0）】

向右（h>0）【或左（h<0）】

向右（h>0）

【或左（h<0）

】

平移|k|个单位

平移|k|个单位

平移|k|个单位

向上（k>0）【或下（k<0）】

平移|k|个单位

y=a（x-h）2

向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|个单位

y=a（x-h）2+k

③平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有

很大帮助，可以大大节省做题的时间）

9

特别记忆--同左上加异右下减（必须理解记忆）

说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右

②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减

3

y2

y1

b

为直线在y轴上的截距

4

、直线方程：

、直线斜率：

ktan

x2

x1

4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式

:

yy1kxb

（tan）x

b

y2

y1x（x

x1）

此公式有多种变形

牢记

x2

x1

②点斜

yy1

kx（x

x1）

③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式

:

y＝kx＋b（k≠0）

④截距

x

y

由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：

1

a

b

牢记

口诀---

两点斜截距--两点点斜斜截截距

5、设两条直线分别为，

l1：

yk1x

b1l2：

y

k2xb2若l1//

l2，则有l1//l2k1k2

且b1

b2。

若l1l2

k1k2

1

6、点P（x0

0）到直线y=kx+b（即：

kx-y+b=0）

kx0

y0

b

kx0y0

b

的距离:

d

，y

k2

（

1）2

k2

1

7、抛物线y

ax2

bx

c中，abc,

的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与

y

ax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.

由于抛物线y

ax2

bxc的对称轴是直线

x

b

0时，对称轴为

b

0（即a、b同号）时，对称轴在

y轴左侧；

，故：

①b

y轴；②

2a

a

10

③b

0（即a、b异号）时，对称轴在

y轴右侧.

口诀---

同左

异右

a

（3）c的大小决定抛物线yax2

bx

c与y轴交点的位置.

当x

0

时，yc，∴抛物线y

ax2

bxc与y轴有且只有一个交点（

0，c）：

①c

0

，抛物线经过原点;

②c

0

与y轴交于正半轴；

③c

0

与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立

.如抛物线的对称轴在

y轴右侧，则

b

0.

a

十一，中考点击

考点分析：

内容

要求

1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点

Ⅰ

2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系

Ⅰ

3、一次函数的概念和图像

Ⅰ

4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图

Ⅱ

5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用

Ⅱ

6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次

Ⅱ

函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题

命题预测：

函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的

形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占

5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：

能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称

11

轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值．

分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计2009年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与

因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用．

十二，初中数学助记口诀（函数部分）

特殊点坐标特征:

坐标平面点（x,y）,横在前来纵在后；（+,+）,（-,+）,（-,-）和（+,-）,四个象限分前后；

X轴上y为0,x为0在Y轴。

对称点坐标:

对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。

自变量的取值范围：

分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

函数图像的移动规律:

若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）

2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移