二次函数中存在性问题等腰三角形存在性问题.docx
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二次函数中存在性问题等腰三角形存在性问题
二次函数中的存在性问题(等腰三角形)
[07福建龙岩]如图,抛物线
y
ax2
5ax
4经过△ABC的三个极点,
y
已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC
BC.
C
B
(1)求抛物线的对称轴;
1
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的分析式;
A
(3)研究:
若点
P是抛物线对称轴上且在
x轴下方的动点,
0
1
x
能否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出全部切合条
件的点P坐标;不存在,请说明原因.
解:
(1)抛物线的对称轴
x
5a
5
2a
2
y
(2)A(
3,0)
B(5,4)
C(0,4)
C
M
B
把点A坐标代入y
ax2
5ax
4中,解得a
1
A
1
N
6
Q
x
1
5
0
1
P3
x2
K
y
x
4
6
6
P共有3个.以下分三类情况研究.
P2
(3)存在切合条件的点
设抛物线对称轴与
x轴交于N,与CB交于M.
P1
过点B作BQ
x轴于Q,易得BQ
4,AQ
8,AN
5.5,BM
5
2
①以AB为腰且顶角为角
A的△PAB有1个:
△P1AB.
AB2
AQ2
BQ2
82
42
80
在Rt△ANP中,PN
AP2
AN2
AB2
AN2
80
(5.5)2
199
P1
5,
199
1
1
1
2
2
2
②AB为腰且顶角为角
B的△PAB有1个:
△P2AB.
在Rt△BMP2中,MP2
2
2
AB
2
2
25
295
5
8
295
BP2
BM
BM
80
2
P2
2
,
4
2
③以AB为底,顶角为角
P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直均分线交抛物线对称轴于
P3,此时均分线必过等腰
△ABC的极点C.
过点3
作
P3K
垂直
y
轴,垂足为
K
,明显
Rt
△
3
∽
Rt
△
BAQ
.
P3K
BQ1
.
P
PCK
CK
AQ
2
QP3K
CK
5
于是OK
1
P3,1)
1
[07广西河池]如图,已知抛物线
y
2x2
4x2
的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物
3
3
线的对称轴与x轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度
y
P
的速度向B运动,过M作x轴的垂线,交抛物线于点
P,交BC于Q.
C
(1)求点B和点C的坐标;
Q
(2)设当点M运动了x(秒)时,四边形
OBPC的面积为S,
求S与x的函数关系式,并指出自变量
x的取值范围.
Bx
A
(3)在线段BC上能否存在点
Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的
ODM
等腰三角形?
若存在,求出点
Q的坐标,若不存在,说明原因.
(1)把x=0代入y
2x2
4x
2
得点C的坐标为C(0,2)
3
3
把y=0代入y
2
x2
4
x
2得点B的坐标为B(3,0)
33
(2)连接OP,设点P的坐标为P(x,y)
四边形OBPC=S△OPC+
S△OPB
=
1
2
x
1
3
y=x
3
2x2
4x2
=x2
3x3
S
2
2
2
3
3
∵点M运动到B点上停止,∴
0≤x≤3
2
∴S
x
3
3(0≤x≤3)
2
4
(3)存在.BC=OB2
OC2
=
13
①若BQ=DQ
∵BQ=DQ,BD=2
∴BM=1
∴OM=31=2
∴tan
OBC
QM
OC
2
∴QM=
2
因此Q的坐标为Q(2,
2).
BM
OB
3
3
3
②若BQ=BD=2
∵△BQM∽△BCO,∴
BQ
QM
BM
=
=
BO
BC
CO
∴
2
QM
∴QM=
413
13
=
2
13
∵BQ
=BM
∴
2
=
BM
BC
OB
13
3
∴BM=6
13
∴OM=
3
6
13
··························11分
13
13
因此Q的坐标为Q(3
6
13
,
413
)
···························12分
13
13
2
[07年云南省]已知:
如图,抛物线
y
ax2
bx
c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点.
(1)求抛物线的函数关系式;
y
(2)若过点C的直线y
kx
b与抛物线订交于点E(4,m),
C
恳求出△CBE的面积S的值;
(3)在抛物线上求一点
P0使得△ABP0为等腰三角形并
1
A
–
O
B
x
1
写出P0点的坐标;
E
(4)除(3)中所求的P0点外,在抛物线上能否还存在其他的点
P使得△ABP为等腰三角形?
若存在,请
求出一共有几个知足条件的点
P(要求简要说明原因,但不证明)
;若不存在这样的点
P,请说明原因.
解:
(1)∵抛物线经过点
A(1,0)
、B(5,0)
∴y
a(x1)(x
5).
又∵抛物线经过点C(0,5)
∴5a
5,a
1.
∴抛物线的分析式为
y
(x
1)(x
5)
x2
6x5.
(2)∵E点在抛物线上,
∴m=42–4×6+5=-3.
∵直线y=kx+b过点C(0,5)、E(4,–3),
∴b5,
解得k=-2,b=5.
4kb
3.
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D,当y=0时,-2x+5=0,解得x=
5.∴D点的坐标为(5,0).
2
2
∴S=SBDC+SBDE=
1
(5
5
1
5
3=10.
)
5+
(5
)
△
△
2
2
2
2
(3)∵抛物线的极点P0(3,
4)
既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,
∴点P0(3,4)为所求知足条件的点.
(4)除P0点外,在抛物线上还存在其他的点
P使得△ABP为等腰三角形.
原因以下:
∵AP0
BP0
22
42
2
5
4
,
∴分别以A、B为圆心半径长为
4画圆,分别与抛物线
交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6,
除掉B、A两个点外,其他6个点为知足条件的点.
(说明:
只说出P点个数但未简要说明原因的不给分)
3
[07山东威海]如图①,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(12),,点B的坐标为(31),,二次函数yx2的
图象记为抛物线l1.
(1)平移抛物线
l1,使平移后的抛物线过点
A,但可是点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式:
(任写一个即可).
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过
A,B两点,记为抛物线l2,如图②,求抛物线
l2的函数表达式.
(3)设抛物线
l
2的极点为
C
,
K
为
y
轴上一点.若
△
△
ABC
,求点K的坐标.
SABK
S
(4)请在图③上用尺规作图的方式研究抛物线
l2上能否存在点
P,使△ABP为等腰三角形.若存在,请
判断点P共有几个可能的地点(保存作图印迹)
;若不存在,请说明原因.
y
y
l2
y
l1
l2
1
A
B
1
A
B
A
x
C
x
1
B
x
O
1
O
O
1
1
图①
图②
图③
解:
(1)有多种答案,切合条件即可.比如
y
x2
1,y
x2
x,y
(x
1)2
2
或yx2
2x3,y(x
21)2,y(x1
2)2.
y
l2
(2)设抛物线l2的函数表达式为y
x2
bx
c,
K
Q点A(12),,B(31),在抛物线l2上,
G
A
B
x
C
O
b
9,
DFE
1
b
c
,
2
9
11
图②
2
解得
2
抛物线l2的函数表达式为
y
.
9
3b
c
1
11.
x
x
c
2
2
2
9
11
9
2
7,C点的坐标为
9,7
(3)y
x2
x
x
.
2
2
4
16
4
16
过A,B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为
D,E,F
,
则AD
2,CF
7,BE
1,DE
2,DF
5,FE
3.
16
4
4
S△ABC
S梯形ADEB
S梯形ADFC
S梯形CFEB
1
(2
1)
2
1
2
7
5
1
1
7
3
15.
2
2
16
4
2
16
4
16
4
延伸
BA交y轴于点
G,设直线AB的函数表达式为
y
mx
n,
Q点
A(12),,B(31),
在直线AB上,
2
m
,
m
1,
1
5
5
n
2
直线AB的函数表达式为
y
.G点的坐标为
解得
5.
x
0,.
1
3m
n.
n
2
2
2
2
设K点坐标为(0,h),分两种状况:
若K点位于G点的上方,则
KG
h
5
.连接AK,BK.
2
S△ABK
S△BKGS△AKG
1
3
h
5
11
h
5
h
5.
2
2
2
2
2
QS△ABK
15
h
5
15
,解得h
55
K点的坐标为
55
S△ABC
,
2
16
.
0,
.
16
16
16
若K点位于G点的下方,则
KG
5
h.同理可得,
h
25
.
K点的坐标为
25
.
2
16
0,
16
(4)作图印迹如图③所示.
由图③可知,点
P共有3个可能的地点.
y
l2
注:
作出线段AB的中垂线得
1分,画出此外两段弧得
1分.
A
Bx
O
图③
5
[07山东泰安]如图,在△OAB中,
B
90o,BOA30o,OA4,
将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至
△OAB,C点的坐标为(0,4).
(1)求A点的坐标;
(2)求过C,A,A三点的抛物线
y
ax2
bxc的分析式;
(3)在
(2)中的抛物线上能否存在点
P,使以O,A,P为极点的三角形
是等腰直角三角形?
若存在,求出全部点
P的坐标;若不存在,请说明原因
解:
(1)过点A作AD垂直于x轴,垂足为D,则四边形OBAD为矩形
在△ADO中,
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