初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析.docx
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初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析
初一实数所有知识点总结和常考题
知识点:
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
7,32等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π+8等;
3
(3)有特定结构的数,如0.1010010001,等;二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如
果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值时
它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.实数与数轴上点的关系:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
(1)平方根的定义:
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:
如果x2a,那么x叫做a的平方根.
第1页(共19页)
(2)开平方的定义:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数
必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:
3的平方等于9,9的平方根是3
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算
(5)符号:
正数a的正的平方根可用
a表示,a也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-
a表示.
(6)x2
a<—>
x
a
a是x的平方
x的平方是a
x是a的平方根
a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义
:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2
a,那么这
个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为
a,读作“根号
a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是
0.
也就是,在等式
x2
a
(x≥中0),规定xa。
(2)a的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,
a是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,
a是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)x2
a(x≥0)<—>
x
a
a是x的平方
x的平方是a
x是a的算术平方根
a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a(a0)
a
0
a2
a
;注意
a的双重非负性:
-a(a<0)
a
0
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个
,而它的算术平方根只有一个
;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根
的相反数。
3、立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三
次方根),即如果x3a,那么x叫做a的立方根
第2页(共19页)
(2)一个数a的立方根,记作3a,读作:
“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
1有一个立方根,是它本身;一个负数有一个负的立方根;任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反
数,即3a
3a
a0。
(5)x3
a
<—>x
3a
a是x的立方
x的立方是a
x是a的立方根
a的立方根是x
(6)3
a
3a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,
就说它精确到哪一位,
这时,从左边第一个不是零的数
字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做
a10n的形式,其中1a10,n是整数,这种记数法叫做科学记数
法。
五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
ab0ab,
a
b
0
a
b,
a
b
0
a
b
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,a
1
a
;a
1
;a
1ab;
b
b
ab
b
b
(4)绝对值比较法:
设
a、b是两负实数,则
a
b
a
b。
(5)平方法:
设
a、b是两负实数,则a2
b2
a
b。
六、实数的运算
第3页(共19页)
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
abba
(ab)ca(bc)
abba
(ab)ca(bc)
5、乘法对加法的分配律a(bc)abac
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。
同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,
而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:
第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?
幂?
底数?
指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式
子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
常考题:
一.选择题(共13小题)
1.9的平方根为()
A.3B.﹣3C.±3D.
2.的算术平方根是()
A.2B.±2C.D.±
3.下列各组数中,互为相反数的一组是()
A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2
4.如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是()
A.a+b>0
B.ab>0
C.a﹣b>0D.|a|﹣|b|>0
5.估算
﹣2的值(
)
A.在1到2之间
B.在2到3之间
C.在3到4之间
D.在4到5之间
6.估计
的值(
)
A.在3到4之间
B.在4到5之间
C.在5到6之间
D.在6到7之间
第4页(共19页)
7.估计+3的值()
A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间
8.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在()
A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间
9.如图,在数轴上表示实数的点可能是()
A.点PB.点QC.点MD.点N
10.数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则
点C所表示的数是()
A.﹣1B.1﹣C.2﹣D.﹣2
11.下列说法不正确的是()
A.1的平方根是±1B.﹣1的立方根是﹣1
C.是2的平方根D.﹣3是的平方根
12.下列各数中,3.14159,,0.131131113⋯(相邻两个3之间1的个数逐
次加1个),﹣π,,,无理数的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()
A.ac>bcB.|a﹣b|=a﹣bC.﹣a<﹣b<cD.﹣a﹣c>﹣b﹣c
二.填空题(共
13小题)
14.
的平方根是
.
15.﹣8的立方根是
.
16.
的算术平方根是
.
17.﹣()2=
.
18.已知a、b为两个连续的整数,且
,则a+b=
.
19.已知一个正数的平方根是
3x﹣2和5x+6,则这个数是
.
20.若实数a、b满足|a+2|
,则=
.
21.比较大小:
﹣3
﹣2
.
22.
=
.
23.5﹣的小数部分是
.
24.比较大小:
(填“>”“<”“)=.”
25.若x,y为实数,且
,则(x+y)2010的值为
.
第5页(共19页)
26.若将三个数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖
的数是.
三.解答题(共14小题)
27.计算:
(﹣2)2+(﹣3)×2﹣.
28.计算:
(﹣2)2+|
﹣1|﹣
.
29.求值:
+(
)2+(﹣1)2015.
30.阅读下面的文字,解答问题:
大家知道
是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此
的小数部分我们不
可能全部地写出来,于是小明用
来表示
的小数部分,你同意小明的表示
方法吗?
事实上,小明的表示方法是有道理,因为
的整数部分是1,将这个数减去其整
数部分,差就是小数部分.
又例如:
∵
,即
,
∴的整数部分为2,小数部分为
.
请解答:
(1)如果
的小数部分为a,
的整数部分为b,求
的值;
(2)已知:
,其中x是整数,且
0<y<1,求x﹣y的相反数.
31.已知:
x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.
32.已知,a、b互为倒数,c、d互为相反数,求的值.
33.设2+的整数部分和小数部分分别是x、y,试求x、y的值与x﹣1的算术平方根.
34.计算:
(﹣2)2﹣(3﹣5)﹣+2×(﹣3)
35.
(1)有这样一个问题:
与下列哪些数相乘,结果是有理数?
A、;B、;C、;D、;E、0,问题的答案是(只需填字母):
;
(2)如果一个数与相乘的结果是有理数,则这个数的一般形式是什么(用代
数式表示).
36.求值:
已知y=x2﹣5,且y的算术平方根是2,求x的值.
37.画一条数轴,把﹣1,,2各数和它们的相反数在数轴上表示出来,并
比较它们的大小,用“<”号连接.
38.求x的值:
(1)4x2=25;
(2)(x﹣0.7)3=0.027.
39.已知2a﹣1的平方根是±3,3a+b﹣1的算术平方根是4,求12a+2b的立方
根.
40.已知M=是m+3的算术平方根,N=是n﹣2的立方根,试
第6页(共19页)
求M﹣N的值.
第7页(共19页)
初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
(含答案解析)
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.(2017?
武汉模拟)9的平方根为()
A.3B.﹣3C.±3D.
【分析】根据平方根的定义求解即可,注意一个正数的平方根有两个.
【解答】解:
9的平方根有:
=±3.
故选C.
【点评】此题考查了平方根的知识,属于基础题,解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个,且互为相反数.
2.(2015?
日照)的算术平方根是()
A.2B.±2C.D.±
【分析】先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可.
【解答】解:
∵=2,
而2的算术平方根是,
∴的算术平方根是,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误.
3.(2002?
杭州)下列各组数中,互为相反数的一组是()
A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2
【分析】根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择项.
【解答】解:
A、=2,﹣2与2互为相反数,故选项正确;
B、=﹣2,﹣2与﹣2不互为相反数,故选项错误;
C、﹣2与不互为相反数,故选项错误;
D、|﹣2|=2,2与2不互为相反数,故选项错误.
故选A.
【点评】本题考查的是相反数的概念,只有符号不同的两个数叫互为相反数.如果两数互为相反数,它们的和为0.
4.(2009?
江苏)如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确
的是()
第8页(共19页)
A.a+b>0B.ab>0C.a﹣b>0D.|a|﹣|b|>0
【分析】本题要先观察a,b在数轴上的位置,得b<﹣1<0<a<1,然后对四个选项逐一分析.
【解答】解:
A、∵b<﹣1<0<a<1,∴|b|>|a|,∴a+b<0,故选项A错误;B、∵b<﹣1<0<a<1,∴ab<0,故选项B错误;
C、∵b<﹣1<0<a<1,∴a﹣b>0,故选项C正确;
D、∵b<﹣1<0<a<1,∴|a|﹣|b|<0,故选项D错误.
故选:
C.
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系,数轴上右边的数总是大于左边的数.
5.(2015?
新疆)估算﹣2的值()
A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4到5之间
【分析】先估计的整数部分,然后即可判断﹣2的近似值.
【解答】解:
∵5<<6,
∴3<﹣2<4.故选C.
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
6.(2014?
营口)估计的值()
A.在3到4之间B.在4到5之间C.在5到6之间D.在6到7之间
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求
的无理数的范围.
【解答】解:
∵5<<6,
∴在5到6之间.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了估算无理数的那就,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
7.(2006?
沈阳)估计+3的值()
A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间
【分析】先估计的整数部分,然后即可判断+3的近似值.
【解答】解:
∵42=16,52=25,
所以,
所以+3在7到8之间.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小的能力,理解无理数性质,估算其数值.现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
8.(2012?
义乌市)一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在()
第9页(共19页)
A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间
【分析】先根据正方形的面积是15计算出其边长,在估算出该数的大小即可.
【解答】解:
∵一个正方形的面积是15,
∴该正方形的边长为,
∵9<15<16,
∴3<<4.故选B.
【点评】本题考查的是估算无理数的大小及正方形的性质,根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键.
9.(2008?
遵义)如图,在数轴上表示实数的点可能是()
A.点PB.点QC.点MD.点N
【分析】先对进行估算,再确定是在哪两个相邻的整数之间,然后确定
对应的点即可解决问题.
【解答】解:
∵≈3.87,
∴3<<4,
∴对应的点是M.故选C
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系,应先看这个无理数在哪两个有理数之间,进而求解.
10.(2006?
西岗区)数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的
对称点为C,则点C所表示的数是()
A.﹣1B.1﹣C.2﹣D.﹣2
【分析】首先根据数轴上表示1,的对应点分别为A,B可以求出线段AB的长度,然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答.
【解答】解:
∵数轴上表示1,的对应点分别为A,B,
∴AB=﹣1,
∵点B关于点A的对称点为C,
∴AC=AB.
∴点C的坐标为:
1﹣(﹣1)=2﹣.
故选:
C.
【点评】本题考查的知识点为:
求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数.知道两点间的距离,求较小的数,就用较大的数减去两点间的距离.
11.(2012秋?
安新县期末)下列说法不正确的是()
A.1的平方根是±1B.﹣1的立方根是﹣1
C.是2的平方根D.﹣3是的平方根
【分析】A、根据平方根的定义即可判定;
第10页(共19页)
B、根据立方根的定义即可判定;
C、根据平方根的定义即可判定;
D、根据平方根的定义即可判定.
【解答】解:
A、1的平方根是±1,故A选项正确;B、﹣1的立方根是﹣1,故B选项正确;
C、是2的平方根,故C选项正确;
D、=3,3的平方根是±,故D选项错误.
故选:
D.
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
12.(2013?
安顺)下列各数中,3.14159,,0.131131113⋯(相邻两个3之
间1的个数逐次加1个),﹣π,,,无理数的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数.
【解答】解:
由定义可知无理数有:
0.131131113⋯,﹣π,共两个.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:
π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001⋯,等有这样规律的数.
13.(2015?
枣庄)实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确
的是()
A.ac>bcB.|a﹣b|=a﹣bC.﹣a<﹣b<cD.﹣a﹣c>﹣b﹣c
【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小,再对各选项进行分析即可.
【解答】解:
∵由图可知,a<b<0<c,
∴A、ac<bc,故A选项错误;
B、∵a<b,
∴a﹣b<0,
∴|a﹣b|=b﹣a,故B选项错误;
C、∵a<b<0,
∴﹣a>﹣b,故C选项错误;
D、∵﹣a>﹣b,c>0,
∴﹣a﹣c>﹣b﹣c,故D选项正确.
故选:
D.
【点评】本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.
二.填空题(共13小题)
14.(2015?
庆阳)的平方根是±2.
第11页(共19页)
【分析】根据平方根的定义,求数
a的平方根,也就是求一个数
x,使得x2,
则x就是a的平方根,由此即可解决问题.
=a
【解答】解:
的平方根是±2.
故答案为:
±2
【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
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