初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析.docx
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初中数学几何全等基本辅助线与模型练习含答案解析
初中数学几何全等基本辅助线与模型练习
1.(2015•深圳模拟)如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
2.(2014•宁德)如图,已知等边△ABC,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF,DE⊥BC于E,FG⊥BC于G,DF交BC于点P,则下列结论:
①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中,一定正确的是( )
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①②④
3.(2015•德州)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.
②③
B.
②④
C.
①③④
D.
②③④
4.(2013•朝阳)如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;②AD垂直平分EF;③
;④EF一定平行BC.其中正确的是( )
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.
①②③④
5.(2015春•濉溪县期末)在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于( )
A.
3.8cm
B.
7.6cm
C.
11.4cm
D.
11.2cm
6.(2014•台州)如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,则∠EBF的度数是( )
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
不确定
7.(2013秋•硚口区校级期中)在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,则下列结论:
①AB+BD=CD;②S△ABE:
S△AEC=AB:
AC;③AC﹣AB=BE;④∠B=4∠DAE
其中正确的是( )
A.
①②③④
B.
①③④
C.
②③④
D.
①②③
8.(2014•泰安模拟)已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:
①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是( )
A.
①②③
B.
①③④
C.
①②④
D.
①②③④
9.(2012•义乌市模拟)如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC于M,连CD.下列结论:
①AC+CE=AB;②
;③∠CDA=45°;④
=定值.
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
10.(2014秋•万州区校级期中)如图,在不等边△ABC中,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,且PM=PN,Q在AC上,PQ=QA,MP=3,△AMP的面积是6,下列结论:
①AM<PQ+QN,②QP∥AM,③△BMP≌△PQC,④∠QPC+∠MPB=90°,⑤△PQN的周长是7,其中正确的有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
11.(2011秋•汉阳区期中)如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:
①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S△ACD:
S△ABD=AC:
AB,
其中结论正确的序号是( )
A.
①③
B.
①②③④
C.
①②③
D.
②③
12.(2014•亭湖区一模)如图,点A的坐标为(6,0),点B为y轴的负半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于P点,当点B在y轴上移动时,PB的长度为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
PB的长度随点B的运动而变化
13.(2013•齐齐哈尔)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:
①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
14.(2014秋•梁子湖区期末)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点A,D,C在同一直线上,直线CE交BD于F,连接AF,点M,N分别是BD,CE的中点,有下列说法:
①BD=CE;②CF⊥BD;③AF平分∠DFC;④△AMN是等腰直角三角形.其中正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
15.(2015•荆门)如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面结论:
①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,
其中结论正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
16.(2015春•深圳期末)如图,C为线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,则有以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
其中正确的有( )
A.
①③⑤
B.
①③④⑤
C.
①②③⑤
D.
①②③④⑤
17.(2011秋•道里区期末)如图,△ABC,分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,连接AF,有以下四个结论:
①BE=CD;②FA平分∠EFC;③FE=FD;④FE+FC=FA;其中一定正确的结论有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
18.如图,在△ABC中,分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD,BE的延长线与CD交于点F,连接AF,有以下四个结论:
①BE=CD;②FA平分∠EFC;③FE=FD;④FE+FC=FA.
其中正确的结论有 .
19.(2012春•黄陂区校级期中)如图,F是等边△ABC的边AC的中点,D在边BC上,△DFE是等边三角形,ED的延长线交AB于H,则下列结论:
①∠AHD+∠AFD=180°,②AF=
BC,③CF+CE=CD,④
为定值,其中正确的是( )
A.
①③
B.
②③
C.
①②③
D.
①②④
20.(2014秋•姜堰市期中)如图,在△ABC中,BD⊥AC,BD=AC,以BC为底边作等腰直角△BEC,连接AE并延长交BD于F点,下列结论:
①△AEC≌△DEB;②AE⊥DE;③DE=DC;④S△AEB=S△CDE.其中正确的有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
21.(2014秋•丹阳市期中)如图,等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面结论:
①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;④S△ABC=S四边形AOCP,其中正确的有( )
A.
②③
B.
①②④
C.
③④
D.
①②③④
22.(2009秋•江岸区期末)如图,将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EB、EC,则下列结论:
①∠DAC=∠DCA;②ED为AC的垂直平分线;③EB平分∠AED;④ED=2AB.其中正确的是( )
A.
①②③
B.
①②④
C.
②③④
D.
①②③④
23.(2011秋•江岸区期末)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:
①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
A.
①②③
B.
①②④
C.
②③④
D.
①②③④
24.(2015春•龙口市期末)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,作CM⊥AD,垂足为M,下列结论不正确的是( )
A.
AD=CE
B.
MF=
CF
C.
∠BEC=∠CDA
D.
AM=CM
25.(2012秋•武昌区期中)如图:
△ABD是等边三角形,以BD为边向外作等边三角形△DBC,点E,F分别在AB,AD上且AE=DF.连接BF于DE相交于点G,连接CG,证明下列结论:
①△AED≌△DFB;
②CG=DG+BG.
26.(2013秋•硚口区校级期中)已知:
如图1:
点A(5,0)B(0,2),AB=AC,∠BAC=90°.
(1)求点C的坐标.
(2)以AB为斜边作等腰直角△ABD,请直接写出点D的坐标 ;
(3)如图2,若E、F分别在BC、AB上,∠AEC=75°,FE⊥BC.求证:
BF=AE.
参考答案与试题解析(题号不对应)
1.(2015•深圳模拟)如图,过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交边AC于点D,则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
不能确定
考点:
全等三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
过P作PF∥BC交AC于F,得出等边三角形APF,推出AP=PF=QC,根据等腰三角形性质求出EF=AE,证△PFD≌△QCD,推出FD=CD,推出DE=
AC即可.
解答:
解:
过P作PF∥BC交AC于F,
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,
∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,
∴△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF,
∵PE⊥AC,
∴AE=EF,
∵AP=PF,AP=CQ,
∴PF=CQ,
在△PFD和△QCD中
,
∴△PFD≌△QCD,
∴FD=CD,
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=
AC,
∵AC=3,
∴DE=
,
故选B.
点评:
本题综合考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识点的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.
2.(2014•宁德)如图,已知等边△ABC,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF,DE⊥BC于E,FG⊥BC于G,DF交BC于点P,则下列结论:
①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP=1中,一定正确的是( )
A.
①③
B.
②④
C.
①②③
D.
①②④
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC,就可以得出BE=CG,DE=FG,就可以得出△DEP≌△FGP,得出∠EDP=∠GFP,EP=PG,得出PC+BE=PE,就可以得出PE=1,从而得出结论.
解答:
解:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵∠ACB=∠GCF,
∵DE⊥BC,FG⊥BC,
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°.
在△DEB和△FGC中,
,
∴△DEB≌△FGC(AAS),
∴BE=CG,DE=FG,故①正确;
在△DEP和△FGP中,
,
∴△DEP≌△FGP(AAS),故②正确;
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°,故③错误;
∵PG=PC+CG,
∴PE=PC+BE.
∵PE+PC+BE=2,
∴PE=1.故④正确.
正确的有①②④,
故选D.
点评:
本题考查了等边三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键.
3.(2015•德州)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时,四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.
②③
B.
②④
C.
①③④
D.
②③④
考点:
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
①如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,所以①不正确.
②首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,AE=AF,DE=DF;然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AE0≌△AFO,即可判断出AD⊥EF.
③首先判断出当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,然后根据DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形即可.
④根据△AED≌△AFD,判断出AE=AF,DE=DF,即可判断出AE+DF=AF+DE成立,据此解答即可.
解答:
解:
如果OA=OD,则四边形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合题意,
∴①不正确;
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD∠FAD,
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴AE+DF=AF+DE,
∴④正确;
在△AEO和△AFO中,
,
∴△AE0≌△AF0(SAS),
∴EO=FO,
又∵AE=AF,
∴AO是EF的中垂线,
∴AD⊥EF,
∴②正确;
∵当∠A=90°时,四边形AEDF的四个角都是直角,
∴四边形AEDF是矩形,
又∵DE=DF,
∴四边形AEDF是正方形,
∴③正确.
综上,可得
正确的是:
②③④.
故选:
D.
点评:
(1)此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用,以及直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和应用,要熟练掌握.
(3)此题还考查了矩形、正方形的性质和应用,要熟练掌握.
4.(2013•朝阳)如图,三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,下面四个结论:
①∠AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
③
;
④EF一定平行BC.
其中正确的是( )
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③④
D.
①②③④
考点:
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
由三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB,根据角平分线的性质,可得DE=DF,∠ADE=∠ADF,又由角平分线的性质,可得AF=AE,继而证得①∠AFE=∠AEF;又由线段垂直平分线的判定,可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面积公式求解即可得③
.
解答:
解:
①∵三角形ABC中,∠A的平分线交BC于点D,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,
∴AF=AE,
∴∠AFE=∠AEF,故正确;
②∵DF=DE,AF=AE,
∴点D在EF的垂直平分线上,点A在EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF,故正确;
③∵S△BFD=
BF•DF,S△CDE=
CE•DE,DF=DE,
∴
;故正确;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF,
∴EF不一定平行BC.故错误.
故选A.
点评:
此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
5.(2015春•濉溪县期末)在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于( )
A.
3.8cm
B.
7.6cm
C.
11.4cm
D.
11.2cm
考点:
角平分线的性质.菁优网版权所有
分析:
由∠C=90°,∠CAB=60°,可得∠B的度数,故BD=2DE=7.6,又AD平分∠CAB,故DC=DE=3.8,由BC=BD+DC求解.
解答:
解:
∵∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,
又∵AD平分∠CAB,
∴DC=DE=3.8,
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4.
故选C.
点评:
本题主要考查平分线的性质,由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长,是解题的关键.
6.(2014•台州)如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,则∠EBF的度数是( )
A.
45°
B.
50°
C.
60°
D.
不确定
考点:
全等三角形的判定与性质;正方形的性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
过E作HI∥BC,分别交AB、CD于点H、I,证明Rt△BHE≌Rt△EIF,可得∠IEF+∠HEB=90°,再根据BE=EF即可解题.
解答:
解:
如图所示,过E作HI∥BC,分别交AB、CD于点H、I,则∠BHE=∠EIF=90°,
∵E是BF的垂直平分线EM上的点,
∴EF=EB,
∵E是∠BCD角平分线上一点,
∴E到BC和CD的距离相等,即BH=EI,
Rt△BHE和Rt△EIF中,
,
∴Rt△BHE≌Rt△EIF(HL),
∴∠HBE=∠IEF,
∵∠HBE+∠HEB=90°,
∴∠IEF+∠HEB=90°,
∴∠BEF=90°,
∵BE=EF,
∴∠EBF=∠EFB=45°.
故选:
A.
点评:
本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定,全等三角形对应角相等的性质.
7.(2013秋•硚口区校级期中)在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC.
求证:
①AB+BD=CD;②S△ABE:
S△AEC=AB:
AC;③AC﹣AB=BE;④∠B=4∠DAE
考点:
等腰三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
根据每一个题目的结果,作出适当的辅助线,进一步利用三角形全等,角平分线的性质,三角形的面积以及三角形的内角和逐一分析得出答案.
解答:
解:
①如图,
在BC上截取DF=BD,
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
又AD=AD
∴△ABD≌△AFD
∴AB=AF
∠B=∠AFD=∠FAC+∠C=2∠C
∴AF=FC
∴AB+BD=FC+DF=CD.
②如图:
作EG⊥AB,EH⊥AC分别交AB、AC于点G、H,
∵AE平分∠BAC,
∴EG=EH
∴S△ABE:
S△AEC=
AB•EG:
(
AC•EH)=AB:
AC.
③如图:
在AC上截取AM=AB,
∠BAE=∠EAM
AE=AE
∴△ABE≌△AME
∴BE=ME
∠AME=∠B=∠C+∠MEC=2∠C
∴∠MEC=∠C
∴MC=ME=BE=AC﹣AM=AC﹣AB.
④∠DAE=
∠BAC﹣∠BAD
=
(180°﹣∠B﹣∠C)﹣(90°﹣∠B)
=90°﹣
∠B﹣90°+∠B
=
∠B
∴∠B=4∠DAE.
综上所知①②③④都是正确的.
故选:
A.
点评:
此题综合考查了三角形全等的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和等知识点.
8.(2014•泰安模拟)已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:
①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是( )
A.
①②③
B.
①③④
C.
①②④
D.
①②③④
考点:
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专题:
常规题型.
分析:
易证△ABD≌△EBC,可得∠BCE=∠BDA,AD=EC可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE,即③正确,根据③可求得④正确.
解答:
解:
①∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD,
∴在△ABD和△EBC中,
,
∴△ABD≌△EBC(SAS),…①正确;
②∵BD为△AB
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