判定平行四边形的五种方法精编版.docx

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判定平行四边形的五种方法精编版

判别平行四边形的基本方法

如何判别一个四边形是平行四边形呢?

下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别

例1如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.

分析:

由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.

解：

连接BD交AC于点O.

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,

所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.

所以四边形DEBF是平行四边形.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别

例2如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.

分析:

设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.

解：

设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,

所以四边形ABCF是平行四边形.

同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.

因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别

例3如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.

分析:

题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.

解：

因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.

因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,

所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，

所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别

例4如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？

为什么？

分析：

由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.

解：

四边形AECF是平行四边形.

理由：

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，∠DAB=∠BCD，

所以AF∥EC.又因为∠1=

∠DAB，∠2=

∠BCD，

所以∠1=∠2.因为AD∥BC，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以AE∥CF.

所以四边形AECF是平行四边形.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：

（1）证两组对边分别平行；

（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、

两组对边分别平行

如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF

（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

解：

（1）选证△BDE≌△FEC

证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACD=60°

∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形

∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°

∴∠BDE=∠FEC=120°

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC

（2）四边形ABDF是平行四边形

理由：

由

（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形

∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°

∴AB∥DF，BD∥AF

∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：

当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：

如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F

（1）求证：

△BCG≌△DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？

并说明理由。

分析：

（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：

（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：

当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：

四边形DAEF是平行四边形；

分析：

利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：

∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

点评：

题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。

四、对角线互相平分

例4已知：

如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：

四边形EFGH是平行四边形。

图4

分析：

因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：

∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴∠AEO=∠CGO，

∵∠AOE=∠COG，OA=OC

∴△AOE≌△COG，∴OE=OG

同理△BOF≌△DOH

∴OF=OH

∴四边形EFGH是平行四边形

点评：

当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等

例5将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起

四边形ABCD是平行四边形吗？

理由。

（1）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

。

分析：

因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。

解：

（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，

∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°

又∠A=60°，∠C=60°，

∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C

（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：

将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1

∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1

∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=

∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB

所以四边形ABC1D1是平行四边形

点评：

（2）也可这样证明：

由

（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将

Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。

判断平行四边形的策略

在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：

一、考虑“对边”关系

思路1：

证明两组对边分别相等

例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.求证：

四边形ACEF是平行四边形.

证明：

∵DE是BC的垂直平分线，

∴DF⊥BC，DB=DC.

∴∠FDB=∠ACB=90°.

∴DF∥AC.∴CE=AE=

AB.

∴∠1=∠2.

又∵EF∥AC，AF=CE=AE，

∴∠2=∠1=∠3=∠F.

∴△ACE≌△EFA.

∴AC=EF.

∴四边形ACEF是平行四边形.

思路2：

证明两组对边分别平行

例2已知：

如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.

求证：

四边形AEFC是平行四边形.

证明：

∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.

∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.

∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.

∵E是AB的中点，∴BD=CD.

∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，

∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.

∴AB∥CF.

∴四边形AEFC是平行四边形.

思路3：

证明一组对边平行且相等

例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.

求证：

四边形ENFM是平行四边形.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠A=∠C.

又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.

∴∠1=∠2，DE=BF.

∵M、N分别是DE、BF的中点，

∴EM=FN.

∵DC∥AB，∴∠3=∠2.

∴∠1=∠3.∴EM∥FN.

∴四边形ENFM是平行四边形.

二、考虑“对角”关系

思路：

证明两组对角分别相等

例4如图4，在正方形ABCD中，点E、

F分别是AD、BC的中点.

求证：

（1）△ABE≌△CDF；

（2）四边形BFDE是平行四边形.

证明：

（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=

90°，∵AE=

AD，CF=

BC，

∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.

（2）由

（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.

∴∠BED=∠DFB.

∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，

∴∠EBF=∠EDF.

∴四边形BFDE是平行四边形.

三、考虑“对角线”的关系

思路：

证明两条对角线相互平分

例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.

求证：

四边形AP1CP2是平行四边形.

证明：

连结AC交BD于O.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.

∴四边形AP1CP2是平行四边形.

平行四边形的识别浅析

平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。

识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。

1利用定义或定理直接识别平行四边形

1.1两组对边分别平行，如图1,AB∥CD,AD∥BC。

1.2两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。

1.3两组对角分别相等，

如图1,∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD。

1.4一组对边平行且相等，如图1,AB∥CD,AB=CD。

1.5两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。

2利用定义和定理间接识别平行四边形

2.1一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB∥CD,∠ABC=∠ADC。

证明：

∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC∴∠ADC＋∠BCD＝180°∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）

2.2一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,AB∥CD，OA=OC。

证明：

∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA在⊿AOB和⊿COD中，∠BAC=∠DCA，OA=OC，∠AOB=∠COD∴⊿AOB≌⊿COD（ASA）∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等）

2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，

如图1,∠DAB+∠ABC=180°,∠ABC+∠BCD=180°。

证明：

∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC又∵∠ABC+∠BCD=180°

∴AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行）

3不能识别为平行四边形

3.1两组不同的邻角互补，

如图2,∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,可以画出梯形。

3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。

两组邻边相等，如图3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。

两对邻角相等，如图4,∠A=∠D,∠B=∠C,可以画出等腰梯形。

3.3一组对边平行且另一组对边相等，

如图4,AD∥BC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。

3.4一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。

反例作图方法,如图5：

①作∠ABC,在边BA上确定点A,在边BC上确定点C,②过点A、B、C作⊙O1,③以点C为圆心，以线段AB长为半径作⊙C,④以AC为弦作⊙O1的等圆⊙O2,交⊙C于D、E两点，则四边形ABCD为平行四边形，而四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即AB=CE,∠ABC=∠AEC。

3.5一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。

反例作图方法,如图6：

①作线段AB,②过线段AB的中点O作直线CD,③过点B作BE⊥CD,垂足为E,④以点E为圆心，小于线段OE的长为半径作⊙E,交CD于F、G两点，⑤以点A为圆心，BF长为半径作⊙A,交直线CD于H、I两点，则四边形AGBH和四边形AFBI为平行四边形，而四边形AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI中，AI=BG,OA=OB。

说明一个四边形是平行四边形的思路

山东于秀坤

平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形．如何说明一个四边形是平行四边形呢？

要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路进行说明．

一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．

例1如图1，在△ABC中，AD是角的平分线，DE//AC交AB于点E，EF//BC交AC于点F，试说明AE=CF．

图1

分析：

由AD是角的平分线，可知∠1=∠2，由DE//AC，可知∠2=∠3，所以∠1=∠3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明ED=EC，因此，只需说明四边形EDCF是平行四边形就可以了．

解：

因为∠1=∠2，∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE=ED，

又因为DE//AC，EF//BC，所以四边形EDCF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．

所以ED=CF，所以AE=CF．

二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形”．

例2如图2，AE、CF分别是ABCD的内角∠DAB、∠BCD的平分线，试说明四边形AECF是平行四边形．

图2

解：

在ABCD中，因为∠DAB=∠BCD，又因为∠1=

∠DAB，∠2=

∠BCD，

所以，∠1=∠2，

因为AB//CD，所以∠3=∠1，∠4=∠2，

所以∠3=∠4，所以∠5=∠6，

所以四边形AECF是平行四边形．

三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”

例3如图3，在□ABCD中，AC、BD相交于O，EF过O分别交AD、BC于E、F，GH过O分别AB、CD交于G、H．试说明四边形EGFH是平行四边形．

图3

解：

在□ABCD中，因为AB//CD，所以∠1=∠2，

因为OA=OC，∠3=∠4，所以△AOG≌△COH，所以OG=OH，

同理OE=OF，

所以四边形EGFH是平行四边形．

构造平行四边形解题

山东邹殿敏

平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决．

一、求线段的长

例１如图1，在正△ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP=CQ．今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则P点到C点的距离等于cm．

分析：

作QD//AB，交BC于点D，连接PD，MD．由△ABC为正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四边形APDQ为平行四边形．所以AMD是平行四边形APDQ的对角线．所以AD=2AM=2×19=38（cm）．由△ABD≌△CBP可得PC=AD．所以PC=38cm．

二、证明线段相等问题

例2如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB到E，使EB=AD，连接AE．求证：

AE=AC．

分析：

连接BD．由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以BD=AE．因为AC=BD，所以AE=AC．

三、证明线段和差问题

例3如图3，△ABC中，D，F是AB边上两点，且AD=BF，作DE//BC，FG//BC，分别交AC于点E，G．求证：

DE+FG=BC．

分析：

作GH//AB交BC于点H．则四边形BHGF是平行四边形．所以GH=BF=AD，FG=BH．因为DE//BC，GH//AB，所以∠1=∠C，∠A=∠2．所以△ADE≌△GHC．所以DE=HC．因为BH+CH=BC，所以DE+FG=BC．

四、证明线段倍分问题

例4如图4，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF．试说明：

AB=2OF．

分析：

连接BE．易知四边形ABEC为平行四边形．由“平行四边形的对角线互相平分”这一性质可得BF=CF，AO=OC，所以OF为△CAB的中位线，从而得出AB=2OF．

五、证明两直线平行问题

例5如图5，△ABC中，E，F分别是AB，BC边的中点，M，N是AC的三等分点，EM，FN的延长线交于点D．求证：

AB//CD．

分析：

连接BD交AC于点O，连接BM，BN．

由AE=BE，AM=MN可得ED//BN；由BF=CF，MN=NC可得BM//FD．所以四边形BMDN是平行四边形．所以OB=OD，OM=ON．所以OA=OC．由此可得出四边形ABCD是平行四边形．所以AB//CD．

六、证明两直线垂直问题

例6如图6，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：

MA⊥BC．

分析：

设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN，HN．则四边形AHNF为平行四边形．所以FN=AH=AC，∠AFN+∠FAH=180°．因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC．所以∠1=∠2．

因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．