立体几何中探索问题.docx
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立体几何中探索问题
立体几何中探索问题
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1如.图,在四棱锥PABCD中,平面PAB
平面ABCD,AD;BC,PAAB,
1
CDAD,BCCD-AD,E为AD的中点.
2
(I求证:
PACD;
(I)求证:
平面PBD平面PAB;
(I)在平面PAB内是否存在M,使得直线CM:
:
:
平面PBE,请说明理由•
1证明:
(I)因为平面PAB平面ABCD,
平面PABI平面ABCDAB,
又因为PAAB,
所以PA平面ABCD•
贝UPACD•「5分
(I)已知,BC〔ED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,
又CDAD,BCCD,所以四边形BCDE是正方形,
P连接CE,所以BDCE,又因为BCjlAE,BCAE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以CE!
lAB,则BDAB•
由(I知PA平面ABCD,
所以PABD,又因为PA^ABA,则BD平面PAB,且BD平面PBD,所以平面PBD平面PAB•
(I)在梯形ABCD中,AB与CD不平行•延长AB,DC,相交于点M(MI平面PAB),点M即为所求的一个点•理由如下:
由已知,BC.{.ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形,所以CD.1EB,即卩CMEB,
所以CM平面PBE.
2.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P
ABCD中,
底面ABCD为菱形,PC平面ABCD,点E在棱•PA上.
(I)求证:
直线BD平面
PAC;
(H)若PC//平面BDE,
求证:
AE
EP;
(川)是否存在点E,使得四面体ABDE的体积等于四面
积的1?
若存在,求出奥的值;若不存在,请说明理由
3PA
体PBDC的体
所吐血=曲
由”够雇秀尸冏知Eiw宁工lwjc"
慢设亦在点E肖足卩十叭=刊7KK*®F—Of=”则
3.(本小题满分14分)
解:
(I)因为PA平面ABCD,
所
PABC.
因为ABCD为正方形,
所以ABBC,
所以BC平面PAB.所以平面PAB平面PBC.
(H)连接AF.
[5分]
因为PC
平面AEFG,
所以
PC
AF.
又因为
PA
AC,
所以
F是PC的中点.
所以
PF
1
PC
2
分]
(川)AE与平面PCD不可能平行.
证明如下:
[7分]
[8分]
[9
[10分]
假设AE//平面PCD,
因为AB//CD,AB平面PCD.所以AB//平面PCD.
而AE,AB平面PAB,
所以平面PAB//平面PCD,这显然矛盾
[13分]
所以假设不成立
即AE与平面PCD不可能平行
[14分]
4.(本小题满分14分)
如图,在几何体ABCDEF中,底面ABCD为矩形
EF//CD,CD
EA,CD2EF
2,ED3.M为棱FC
上一点,平面ADM与棱FB交于点N.
(I求证:
EDCD;
ADMN垂直?
若能,
求出FM的值;若不能,说明理由.
FC
3.(本小题满分14分)
解:
(1)因为ABCD为矩形,所以CDAD.[1分]
又因为CDEA,:
2分]
所以CD平面EAD.[3分]
所以EDCD.[4分]
(I因为ABCD为矩形,所以AD//BC,[5分]
所以AD//平面FBC.[7分]
又因为平面ADMN口平面FBCMN,
所以AD//MN.[8分]
(I)平面ADMN与平面BCF可以垂直.证明如下:
[
连接DF.因为ADED,ADCD,
所以AD平面CDEF.[10分]
所以ADDM.
因为AD//MN,所以DMMN.:
11分]因为平面ADMN口平面BCFMN,若使平面ADMN平面BCF,
则DM平面BCF,所以DMFC.[12分]在梯形CDEF中,因为EF//CD,EDCD,CD所以DFDC2.
所以若使DMFC能成立,则M为FC的中点.所以FM-.[14分]
FC2
4.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,
ABBC1.
(I)求证:
ABPD;
(H)若E为PD的中点,求证:
CE//平面PAB;
2EF2,ED3,
(川)设平面PABp)平面PCDPM,点M在平面
ABCD上•当PAPD时,求PM的长.
4.(本小题满分14分)
解:
(1)因为BAD90,
所以ABAD,:
1分]
又因为ABPA,:
2分]
所以AB平面PAD,:
3分]
所以ABPD.[4分]
(H)取卩人的中点F,连接BF,EF•[5分]因为E为棱PD中点,所以EF〃AD,EF-AD,
又因为BC//ADBC丄AD
,2
所以BC//EFBCEF.
所以四边形BCEG是平行四边形,EC//BF•[8分]
又BF平面PAB,CE平面PAB,
所以CE//平面PAB.[9分]
(川)在平面ABCD上,延长AB,CD交于点M.
因为MAB,所以M平面PAB;又MCD,所以M平面PCD,
所以平面PAB平面PCDPM.[11分]
1
在厶ADM中,因为BC//AD,BC丄AD,
所以AM2AB2.[12分]
因为PAPD,所以△APD是等腰直角三角形,所以PA.2.[13分]
由(I)得AM平面PAD,所以AMPA.
在直角△PAM中,PMPA2AM2,6.[14分]
18-(車小题網井12分)如图、裡四險椎P-ARCD中,庭面%尿3为正方形*0=AD=2.^PAC^正三角瞬山为刊的中点』为圾段BC±任盘一点(不営瑞点h
仃)证明;平面CDE丄平面杆尺
⑺是否存在点仁使得三棱惟F-PAH体积为£齐存配请确宦点¥的位也若不存在・请说明理由.
恨無析:
(l)v磁P为AC二打CD*zJ/*4C为世三角居・/,PC二匹3..,Pb:
亠Cf/
=2af-阳co1Pit.<■/cdm/*/>-i)r
aCf>£g/MD二CD1ft\E为巧沽中点=!
>/*,ADE丄PA.■/CDCijtfCDE.PEC畑CDE,a)r\b£=叽phrsiw:
/Mefitivv.a和iwf丄riM*:
i重、6分
<2》|l|P/J=4n=2tJP4C为山方带■得PDj.(7仇円J丄彳刃.二円?
丄半面
BCDE,O,F分别为BE,DE的中点.
(I)求证:
AOCD;
(n)求证:
平面AOF平面ACE;
(川)侧棱AC上是否存在点P,使得BP//平面AOF?
AP
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
PC
6.解:
(I)因为ABE为等边三角形,
O为BE的中点,
所以AOBE.
又因为平面ABE平面BCDE,
平面ABEp|平面BCDEBE,
AO平面ABE,
所以AO平面BCDE.
又因为CD平面BCDE,
所以AOCD.分3
(n)连结BD,因为四边形BCDE为菱形,
所以CEBD.
因为O,F分别为BE,DE的中点,
所以OF〃BD,所以CEOF.
由(I)可知,AO平面BCDE.
因为CE平面BCDE,所以AOCE.
因为AO什OFO,所以CE平面AOF.
又因为CE平面ACE,
所以平面AOF平面ACE.分•……7(川)当点P为AC上的三等分点(靠近A点)时,BP//平面AOF.
证明如下:
设CE与BD,OF的交点分别为M,N,连结AN,PM.
因为四边形BCDE为菱形,O,F分别为BE,DE的中点,所以1
MC2'
设P为AC上靠近A点的三等分点,
则列],所以pm//AN.
PCMC2
因为AN平面AOF,PM平面AOF,所以PM//平面AOF.
由于BD//OF,OF平面AOF,BD平面AOF,
所以BD//平面AOF,即BM//平面AOF.
因为BM^PMM,
所以平面BMP//平面AOF.
因为BP平面BMP,所以BP//平面AOF.
AP1
可见侧棱AC上存在点P,使得BP//平面AOF,且分12
PC2
7如图,在多面体ABCDEF中侧面ABFE底面ABCD,底面ABCD为矩形,四边形ABFE为梯形,
AB//EF,EAAB,AB3EF,AEEB,妙线段CD上的一点若AFFG.
dg
(1)求的值;
GC
(2)若ADAE,点A到平面CDE的距离为2,求四棱锥FAGCB的体积.
斷以四視年m出的伕积为学一
1則2福)x2=毁
CQ
ift.AG.MZiACC,柯gCHMS正曰I奉.
取OCj中点ajj撰CM・GB”J|ctj工OArCG丄OB.从而CCiJ_平面QA3i10^J_AA”……*井⑵H個⑴如gcg5収AJ91T扭描足aV+QB?
-ABf(
飙他丄0B“CM丄平面BtC,C如图廣希赶按g.过D,Ai泅件0商±CC,"為科丄CCl*垂览分别为EltFlr所単A0#
因为旳T百斗=%7应产号X<4X2^X3)XD|El尽所以DiEl*L
又01为△GOEsAGAlFi,虏肛題■黯■*,从而牆12分
10如图
(1),已知平行四边形ACDP中,
AD丄APAD=AP,延长PA至B,使得
1
AB=—AP=1,连接BG现沿AD进行
4
翻折,使得平面ABCD丄平面ADP,连接PBPC得到如图
(2)所示的空间
CQ
图形,点Q在线段PC上,且=m.
PQ
(1)若EQ//平面ADP,求m的值;
(2)在
(1)的条件下,求点Q到平面ABP的距离.
19.<.車小軀满分12分)
【斛析】〔1)说。
为蜿段CP上靠进点尸的训移分恵*
血圉,过Q作QQfmCD交。
尸于
凶为QQ7/CDfAB"CD*所^Qff//AS.
>
又QQ*=~CD,AB--CD.所好为平抒四边形
44
^.BQ/ZAQ1,〔3分)
riaADP.BQa平甑ADP*所以BQ"平面adp”"分)
从itrim=3.M分》
⑵解法一;由
AftQ^N丄AP于N.Q-N即为点Q到面ABP的奥視
由U)知・Q^rftABP的靠近点卩的吗等分点■从而QP=V2VAD=QPsin45=1
解法二由"》町弼BQ卅平面彳D几将△朋P补城一个ABRP.连接©?
井过0点作0M
垂氛眛、交曲予胡.M帘gM为电Q對平面』8尸的距赢円分)
由平订性质码张QRRDF、RB//PAtaZ^/tS-4S5■MrttigW=^2xsinZ^J?
5=1.(1:
^)
离三丸+Ht孝住鮮金析弟$頁i井』氏}
11.(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行
四边形,侧面PAD是边长为2的正三角形,ABBD.'5,PB7.
(I)求证:
平面PAD平面ABCD;
(U)设Q是棱PC上的点,当PA//平面BDQ时,求QB与面AECD成角的正弦值。
解答
:
(1)取AD
中占
1八、、
O,连结
0P0B,因为
PAD是边长为
2的正三角形,所以
OP
AD,OP、3
5
I4
AB
BD
5
OB
AD,OB2,
OB2
OP2PB2
OP
OB
OP
11
ABCD(OP
PAD
平面
PAD
平面ABCD
33
11
1
12已知等腰梯形ABCE(图1)中,AB//EC,ABBC1EC4,ABC1200,D是EC中点,将
ADE沿AD折起,构成四棱锥PABCD(图2),M,N分别是BC,PC的中点.
(1)求证:
AD平面DMN;
(2)当平面PAD平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离•
证明:
取AD的中点0,连接PO,OB,BD.
;PAD,ABD都是等边三角形,P0AD,BOAD,';P^B00,AD平面P0B.
;M,N分别为BC,PC的中点,MN//PB,
11
iAD//BC0D//BM,四边形OBMD是平行四边形•DM//OB
MNDMM,平面DMN//平面POBAD平面DMN
⑵设点C到平面PAB的距离为h
SABCPO=4.15
SPAB5
-平面PAD平面ABCD,POADPO平面ABCD
:
VcPABVpABC,PO2.3,Sabc43,Spab2.15h
®侏題摘分12分)在三梭拄川馳一£邱2申,已揃卫丘=/^=马三务点召在底面ABC的按影是找覆月Q的中点O・
(I)证期:
在情媛“上存在一点使轉丄平面,并求出的长;
平面ABC,
(1)证明:
连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E,因为AA1//BB1,得OEBB「因为AO
所以A1OBC,
因为ABAC,OBOC,得AOBC,所以BC平面AA1O,所以BCOE,所以OE平面BB1C1C,
E一二斗mJ二5$巨字;-華掘—±甘二-粵區限逗锻VHKFUL1
+«e蕊空鰹・战祚礙«・-£»薛想牌•岸曲耳琛量贮强UJC也二赛H3T宁<珂-1:
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