高一数学必修4三角函数综合复习 21.docx

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高一数学必修4三角函数综合复习21

《三角函数》复习教案

【知识网络】

应用

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课三角函数的概念

考试注意：

理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．

知识典例：

1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．

2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边（）

A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．

3．已知角α的终边过点p（－5，12），则cosα}，tanα=．

4．的符号为．

5．若cosθtanθ＞0，则θ是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一、二象限角D．第二、三象限角

【讲练平台】

例1已知角的终边上一点P（－，m），且sinθ=m，求cosθ与tanθ的值．

分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．

解由题意知r=，则sinθ==．

又∵sinθ=m，∴=m．∴m=0，m=±．

当m=0时，cosθ=－1，tanθ=0；

当m=时，cosθ=－，tanθ=－；

当m=－时，cosθ=－，tanθ=．

点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法（三角函数的定义）解决．

例2已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．

解E=｛θ｜＜θ＜}，F=｛θ｜＜θ＜π，或＜θ＜2π}，

∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．

例3设θ是第二象限角，且满足｜sin|=－sin，是哪个象限的角?

解∵θ是第二象限角，∴2kπ+＜θ＜2kπ+，k∈Z．

∴kπ+＜＜kπ+，k∈Z．

∴是第一象限或第三象限角．①

又∵｜sin|=－sin，∴sin＜0.∴是第三、第四象限的角．②

由①、②知，是第三象限角．

点评已知θ所在的象限，求或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易出错．

【知能集成】

注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．

【训练反馈】

1．已知α是钝角，那么是（）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角

2．角α的终边过点P（－4k，3k）（k＜0}，则cosα的值是（）

A．B．C．－D．－

3．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是（）

A．（，）∪（π，）B．（，）∪（π，）

C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）

4．若sinx=－，cosx=，则角2x的终边位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

5．若4π＜α＜6π，且α与－终边相同，则α=．

6．角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为．

8．如果θ是第三象限角，则cos（sinθ）·sin（sinθ）的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

第2课同角三角函数的关系及诱导公式

【考点指津】

掌握同角三角函数的基本关系式：

sin2α+cos2α=1，=tanα，tanαcotα=1，掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题．

【知识在线】

1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是（）

A．B．C．D．

2．已知sin（π+α）=－，则（）

A．cosα=B．tanα=C．cosα=－D．sin（π－α）=

3．已tanα=3，的值为．

4．化简=．

5．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（）

A．B．－C．D．－

【讲练平台】

例1化简．

分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．

解原式==

==1．

点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．

例2若sinθcosθ=，θ∈（，），求cosθ－sinθ的值．

分析已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．

解（cosθ－sinθ）2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－=．

∵θ∈（，），∴cosθ＜sinθ．

∴cosθ－sinθ=－．

变式1条件同例，求cosθ+sinθ的值．

变式2已知cosθ－sinθ=－，求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．

点评sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．

例3已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．

解原式=cos2θ+sinθcosθ===．

点评1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．

2．注意1的作用:

1=sin2θ+cos2θ等．

【知能集成】

1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．

2．注意1的作用：

如1=sin2θ+cos2θ．

3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子．

4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题．

【训练反馈】

1．sin600°的值是（）

A．B．－C．D．－

2．sin（+α）sin（－α）的化简结果为（）

A．cos2αB．cos2αC．sin2αD．sin2α

3．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是（）

A．－B．－C．±D．－或－

4．已知tanα=－，则=．

5．的值为．

6．证明=．

7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

第3课两角和与两角差的三角函数

（一）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

【知识在线】

1．cos105°的值为（）

A．B．C．D．

2．对于任何α、β∈（0，），sin（α+β）与sinα+sinβ的大小关系是（）

A．sin（α+β）＞sinα+sinβB．sin（α+β）＜sinα+sinβ

C．sin（α+β）=sinα+sinβD．要以α、β的具体值而定

3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于（）

A．B．－C．D．±

4．已知tanα=，tanβ=，则cot（α+2β）=．

5．已知tanx=，则cos2x=．

【讲练平台】

例1已知sinα－sinβ=－，cosα－cosβ=，求cos（α－β）的值．

分析由于cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．

解∵sinα－sinβ=－，①cosα－cosβ=，②

①2＋②2，得2－2cos（α－β）=．

∴cos（α－β）=．

点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

例2求的值．

分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解∵10°=30°－20°，

∴原式=

===．

点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3已知：

sin（α+β）=－2sinβ．求证：

tanα=3tan（α+β）．

分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解∵2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）－α，

∴sin［（α+β）+α］=－2sin［（α+β）－α］．

∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=－2sin（α+β）cosα+2cos（α+β）sinα．

若cos（α+β）≠0，cosα≠0，则3tan（α+β）=tanα．

点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．

【训练反馈】

1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos（α+β）=－，则sinβ等于（）

A．0B．0或C．D．0或－

2．的值等于（）

A．2+B．C．2－D．

3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（）

A．B．C．或D．或

4．若α是锐角，且sin（α－）=，则cosα的值是．

5．coscoscos=．

6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：

θ+φ=45°．

7．已知cos（α－β）=－，cos（α+β）=，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值．

8．已知sin（α+β）=，且sin（π+α－β）=，求．

第4课两角和与两角差的三角函数

（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．

【知识在线】

求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．

2．（cos15°+sin15°）=．

3．化简1+2cos2θ－cos2θ=．

4．cos（20°+x）cos（25°－x）－cos（70°－x）sin（25°－x）=．

5．－=．

【讲练平台】

例1求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+tan10°tan50°；

（2）．

（1）解原式=tan（10°+50°）（1－tan10°tan50°）+tan10°tan50°=．

（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

解原式==

=

=

点评

（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan（A+B）（1－tanAtanB），asinx+bsinx=

sin（x+φ）的运用；

（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

例2求证=．

分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

由欲证的等式可知，可先证等式=，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

证略

点评注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：

①升幂公式1+cos2α=2cos2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α=，cos2α=的运用；三角恒等式证明的方法：

从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．

例3已知cos（+x）=，＜x＜，求的值．

解原式==sin2x×=sin2xtan（+x）

=－cos［2（x+）］tan（x+）=－［2cos2（x+）－1］tan（+x）

∵＜x＜，∴＜x+＜2π．

∴sin（+x）=－，∴tan（+x）=－．

∴原式=－．

点评

（1）注意两角和公式的逆用；

（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+．

【知能集成】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：

tanA+tanB=tan（A+B）［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=

sin（x+φ）及升幂、降幂公式的运用．

【训练反馈】

1．cos75°+cos15°的值等于（）

A．B－C．－D．

2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=，则（）

A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c

3．化简=．

4．化简sin（2α+β）－2sinαcos（α+β）=．

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为．

6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）．

7化简sin50°（1+tan10°）．

8已知sin（α+β）=1，求证：

sin（2α+β）+sin（2α+3β）=0．

第5课三角函数的图象与性质

（一）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．

【知识在线】

1．若+2cosx＜0，则x的范围是．

2．下列各区间，使函数y=sin（x+π）的单调递增的区间是（）

A．[，π]B．［0，］C．［－π，0］D．[，]

3．下列函数中，周期为的偶函数是（）

A．y=sin4xB．y=cos22x－sin22xC．y=tan2xD．y=cos2x

4．判断下列函数的奇偶性

（1）y=xsinx+x2cos2x是函数；

（2）y=｜sin2x｜－xcotx是函数；

（3）y=sin（+3x）是函数．

5．函数f（x）=cos（3x+φ）是奇函数，则φ的值为．

【讲练平台】

例1

（1）函数y=

的定义域为

（2）若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足（C）

A．α＞βB．α＜βC．α+β＜D．α+β＞

分析

（1）函数的定义域为

（*）的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出（－，）上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}．

分析

（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，cosβ转化成sin（－β），运用y=sinx在［0，］的单调性，便知答案为C．

点评

（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；

（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2判断下列函数的奇偶性：

（1）y=

；

（2）y=

分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．

解

（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．

（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．

点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

例3求下列函数的最小正周期：

（1）y=sin（2x－）sin（2x+）；

（2）y=

分析对形如y=Asin（ωx+φ）、y=Acos（ωx+φ）和y=Atan（ωx+φ）的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．

解

（1）y=sin（2x－）sin（2x+－）=sin（4x－），

所以最小正周期为=．

（2）y=

=

=

∴是小正周期为．

点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin（ωx+φ）＋k或y=Acos（ωx+φ）＋k或y=Atan（ωx+φ）＋k的形式（其中A、ω、φ、k为常数，ω≠0）．

例4已知函数f（x）=5sinxcosx－5

cos2x+

（x∈R）．

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）求f（x）图象的对称轴、对称中心．

分析函数表达式较复杂，需先化简．

解f（x）=sin2x－5

×＋

=5sin（2x－）．

（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－，kπ+］（k∈Z）为f（x）的单调增区间．

（2）令2x－=kπ+，得x=π+（k∈Z），则x=π+（k∈Z）为函数y=f（x）图象的对称轴所在直线的方程，令2x－=kπ，得x=π+（k∈Z），∴y=f（x）图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．

点评研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．

【知能集成】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：

若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．

【训练反馈】

1．函数y=lg（2cosx－1）的定义域为（）

A．{x｜－＜x＜}B．{x｜－＜x＜｝

C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z}D．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+，k∈Z}

2．如果α、β∈（，π），且tanα＜cotβ，那么必有（）

A．α＜βB．β＜αC．α+β＜D．α+β＞

3．若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）

A．sinxB．cosxC．sin2xD．cos2x

4．下列命题中正确的是（）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－，2kπ+），k∈Z

C．函数y=的最小正周期是2π

D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=＋，k∈Z

5．函数y=sin+cos在（－2π，2π）内的递增区间是．

6．y=sin6x+cos6x的周期为．

7．比较下列函数值的大小：

（1）sin2，sin3，sin4；

（2）cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．

8．设f（x）=sin（x+）（k≠0）．

（1）写出f（x）的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个M与m．

第6课三角函数的图象与性质

（二）

【考点指津】

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．

【知识在线】

1．将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是（）

A．y=cosx+1B．y=cosx－1C．y=－cosx+1D．y=－cosx－1

2．函数f（x）=sin3x图象的对称中心的坐标一定是（）

A．（kπ，0），k∈ZB．（kπ，0），k∈Z

C．（kπ，0），k∈ZD．（kπ，0），k∈Z

3．函数y=cos（2x+）的图象的一个对称轴方程为（）

A．x=－－B．x=－C．x=D．x=π

4．为了得到函数y=4sin（3x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+）的图象上所有点（）

A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．

5．要得到y=sin（2x－）的图象，只需将y=sin2x的图象（）

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

【讲练平台】

例1函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．

分析求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得T=6π，所以ω=．所以y=2sin（+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin（＋）．

解略

点评y=Asin（ωx+φ）中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．

O

例2右图为某三角函数图像的一段

（1）试用y=Asin（ωx+φ）型函数表示其解析式；

（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

解：

（1）T=－=4π．

∴ω==．又A=