第22章一元二次方程教案全章.docx
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第22章一元二次方程教案全章.docx
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第22章一元二次方程教案全章
教学时间:
教学课题:
22.1一元二次方程教学课型:
新授课
教学目标
1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
4.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.
5通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
教学重点:
一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点:
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型
教学过程
一、复习引入
小学学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程,二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题,是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
(一)探究课本问题2
分析:
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思?
2.全部比赛场数是多少?
若设应邀请x个队参赛,如何用含x的代数式表示全部比赛场数?
整理所列方程后观察:
1.方程中未知数的个数和次数各是多少?
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些?
4x+3=0;
;
;
;
(二)概念归纳:
1.一元二次方程定义:
首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式:
①为什么规定
≠0?
②方程左边各项之间的运算关系是什么?
关于x的一元二次方程
的各项分别是什么?
各项系数是什么?
3.特殊形式:
;
;
(三)课本例题
类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形,化为一般形式后再写出各项系数,注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号,不是运算符号减号.
(四)一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)x2+1=0(3)x2-3x=0(4)
4.思考:
一元一次方程一定有一个根,一元二次方程呢?
5.排球邀请赛问题中,所列方程
的根是8和-7,但是答案只能有一个,应该是哪个?
归纳:
①一元二次方程的根的情况
②一元二次方程的解要满足实际问题
三、课堂训练
1.课本练习
2补充:
1).在下列方程中①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0,一元二次方程的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2).关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a范围________.
3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________
4).关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一个一元二次方程化为一般形式,并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做:
P28:
1-7
选做:
.P29:
8、9
教学时间:
教学课题:
22.2.1配方法
(1)教学课型:
新授课
教学目标
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想.
2.根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,然后迁移到解(mx+n)2=p(p≥0)型的一元二次方程.
3.把一般形式的一元二次方程(二次项系数是1,一次项系数是偶数)与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比,引入配方法,并掌握.
4.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.
5.通过观察,思考,对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法,配方法
教学重点:
1.运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2用配方法解二次项是1,一次项系数是偶数的一元二次方程
教学难点:
降次思想,配方法
教学过程
一、复习引入
已经学习了一元二次方程的概念,本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法,配方法.
二、探究新知
(一)探究课本问题1
1.用列方程方法解题的等量关系是什么?
2.解方程的依据是什么?
3.方程的解是什么?
问题的答案是什么?
4.该方程的结构是怎样的?
归纳:
可根据数的开方的知识解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程,方程有两个根,但是不一定都是实际问题的解.
(二)解决课本思考
1如何理解降次?
2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的?
3能化为(x+m)2=n(n≥0)的形式的方程需要具备什么特点?
归纳:
1运用平方根知识将形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,解一元一次方程即可;
2左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的一元二次方程可化为(x+m)2=n(n≥0).
(三)探究课本问题2
1.根据题意列方程并整理成一般形式.
2.将方程x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比,怎样将方程x2+6x-16=0化为像x2+6x+9=2一样,左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的方程?
①完成填空:
x2+6x+=(x+)2
②方程移项之后,两边应加什么数,可将左边配成完全平方式?
归纳:
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边,然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成完全平方式的三项式形式,再将左边写成平方形式,右边完成有理数加法运算,到此,方程变形为(x+m)2=n(n≥0)的形式.
三、课堂训练
课本练习:
P31页练习,P34页练习1,2
(1)
四、小结归纳
1.根据平方根的意义,用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.
2.用配方法解二次项系数是1,一次项系数是偶数的一元二次方程,特别地,移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.
3.在用方程解决实际问题时,方程的根一定全实际是问题的解,但是实际问题的解一定是方程的根.
五、作业设计
必做:
P42:
1、2、3
(1)
(2)
选做:
下面补充作业
补充作业:
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
4.方程3x2+9=0的根为().A.3B.-3C.±3D.无实数根
5.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().
A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
6.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
教学时间:
教学课题:
22.2.1配方法
(2)教学课型:
新授课
教学目标:
1.进一步理解配方法和配方的目的.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
4.通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,解二次项系数不是1的一元二次方程,经历从简单到复杂的过程,对配方法全面认识
教学重点:
用配方法解一元二次方程
教学难点:
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程,首先方程两边都除以二次项系数,将方程化为二次项系数是1的类型
教学过程
一、复习引入
我们在上节课,已经学习了用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,以及用配方法解二次项系数是1,一次项系数是偶数的一元二次方程,这节课继续学习配方法解一元二次方程.
二、探究新知
1.填空:
①
②
③
④
2.填空:
①
是完全平方式,a=
②
是完全平方式,m=
3.解下列方程:
①x2-8x+7=0②2x2+8x-2=0③2x2+1=3x④3x2-6x+4=0
分析:
(1)解方程①,复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤;
(2)对比
的解法得到方程
的解法,总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤:
①.把常数项移到方程右边;
②.方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1;
③.方程两边都加上一次项系数一半的平方;
④.原方程变形为(x+m)2=n的形式;
⑤.如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
(3)运用总结的配方法步骤解方程
,先观察将其变形,即将一次项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;解方程
配方后右边是负数,确定原方程无解.
(4)不写出完整的解方程过程,到哪一步就可以确定方程的解得情况?
三、课堂训练
1.方程
()
A.
B.
C.
D.
2.配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为().
A.(x-
)2=
B.(x-
)2=0C.(x-
)2=
D.(x-
)2=
3.下列方程中,一定有实数解的是().
A.x2+1=0B.(2x+1)2=0C.(2x+1)2+3=0D.(
x-a)2=a
4.解决课本练习2
(2)到(6)
5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是().
A.1B.2C.-1D.-2
6.
,
,
是
的三条边
①当
时,试判断
的形状.
②证明
四、小结归纳:
用配方法解一元二次方程的步骤
1.把原方程化为
的形式,
2.把常数项移到方程右边;
3.方程两边同除以二次项系数,化二次项系数为1;
4.方程两边都加上一次项系数一半的平方;
5.原方程变形为(x+m)2=n的形式;
6.如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
不写出完整的解方程过程,原方程变形为(x+m)2=n的形式后,若n为0,原方程有两个相等的实数根;若n为正数,原方程有两个不相等的实数根;若n为负数,则原方程无实数根.
五、作业设计
必做:
P42:
3(3)(4)
选做:
P43:
8、9
教学时间:
教学课题:
22.2.2公式法教学课型:
新授课
教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.掌握公式结构,知道使用公式前先将方程化为一般形式,通过判别式判断根的情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
4.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程,探索求根公式,发展学生合情合理的推理能力,并认识到配方法是理解公式的基础.;
5.通过对公式的推导,认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程,操作简单.
教学重点:
求根公式的推导,公式的正确使用
教学难点:
求根公式的推导
教学过程
一、复习引入
我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程,能否用配方法解一般形式的一元二次方程
二、探究新知
活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同?
①6x2-7x+1=0②
活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解:
1.移项得到6x2-7x=-1,
2.二次项系数化为1得到
3.配方得到x2-
x+(
)2=-
+(
)2
x2+
x+(
)2=-
+(
)2
4.写成(x+m)2=n形式得到(x-
)2=
,(x+
)2=
5.直接开平方得到x-
=±
,注意:
(x+
)2=
是否可以直接开平方?
活动3.对(x+
)2=
观察,分析,在
时对
的值与0的关系进行讨论
活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式,公式法.
活动5.初步使用公式解方程6x2-7x+1=0.
活动6.总结使用公式法的一般步骤:
①把方程整理成一般形式,确定a,b,c的值,注意符号
②求出
的值,方程
,当Δ>0时,有两个不等实根;Δ=0时有两个相等实根;Δ<0时无实根.
③在
≥0的前提下把a,b,c的值带入公式x=
进行计算,最后写出方程的根.
三、课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
(1)2x2-4x-1=0
(2)5x+2=3x2
(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+1=0
2.课本例2
四、小结归纳
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根
2.用求根公式求一元二次方程的根
3.一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
五、作业设计
必做:
P42:
4、5
选做:
P43:
11、12
某电厂规定:
该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时
元收费.
(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?
(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量(千瓦时)
交电费总金额(元)
3
80
25
4
45
10
根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
教学时间:
教学课题:
22.2.3因式分解法教学课型:
新授课
教学目标
1.了解因式分解法的概念.
2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解,根据两个因式的积等于0,必有因式为0,从而降次解方程.
3.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程,发展学生合情合理的推理能力.
4.体验解决问题方法的多样性,灵活选择解方程的方法.
教学重点:
会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解,从而降次解方程
教学难点:
将整理成一般形式的方程左边因式分解
教学过程
一、复习引入
我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程,这节课我们来学习一种新的方法.
二、探究新知
1.因式分解
x2-5x;;2x(x-3)-5(x-3);25y2-16;x2+12x+36;4x2+4x+1
2.若ab=0,则可以得到什么结论?
3.试求下列方程的根:
x(x-5)=0;(x-1)(x+1)=0;(2x-1)(2x+1)=0;(x+1)2=0;(2x-3)2=0.
分析:
解左边是两个一次式的积,右边是0的一元二次方程,初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点,只要令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解.
4.试求下列方程的根
①、4x2-11x=0x(x-2)+(x-2)=0(x-2)2-(2x-4)=0
②、25y2-16=0(3x+1)2-(2x-1)2=0(2x-1)2=(2-x)2
③、x2+10x+25=09x2-24x+16=0;
④、5x2-2x-
=x2-2x+
2x2+12x+18=0;
分析:
观察①②③三组方程的结构特点,在方程右边为0的前提下,对左边灵活选用合适的方法因式分解,并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
首先使方程右边为0,其次将方程的左边分解成两个一次因式的积,再令两个一次因式分别为0,从而实现降次,得到两个一元一次方程,最后解这两个一元一次方程,它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
④中的方程结构较复杂,需要先整理.
5.选用合适方法解方程
x2+x+
=0x2+x-2=0(x-2)2=2-x2x2-3=0.
分析:
四个方程最适合的解法依次是:
利用完全平方公式,求根公式法,提公因式法,直接开平方法或利用平方差公式.
归纳:
配方法要先配方,再降次;公式法直接利用求根公式;因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.解一元二次方程的基本思路:
化二元为一元,即降次.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习:
①已知(x+y)2–x-y=0,求x+y的值.
②下面一元二次方程解法中,正确的是().
A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7
B.(2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x1=
,x2=
C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2
D.x2=x两边同除以x,得x=1
③今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长am,另三边用竹篱围成,如果篱笆的长为35m,问鸡场长与宽各为多少?
(其中a≥20m)
四、小结归纳
本节课应掌握:
1.用因式分解法解一元二次方程
2.归纳一元二次方程三种解法,比较它们的异同,能根据方程特点选择合适的方法解方程
五、作业设计
必做:
P43:
6、10
选做:
P43:
13、14
教学时间:
教学课题:
22.2.4一元二次方程的根与系数关系教学课型:
新授课
教学目标:
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
4.学生经历探索,尝试发现韦达定理,感受不完全归纳验证以及演绎证明
教学重点:
一元二次方程的根与系数关系
教学难点:
对根与系数关系的理解和推导
教学过程
一、复习引入
一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗?
二、探究新知
1.课本思考
分析:
将(x-x1)(x-x2)=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2),q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和的相反数,常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1、x2.的和与积.
x2+3x+2=0;x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0
3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗?
分析:
这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不同,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,检验上面的结论是否成立,若不成立,新的结论是什么?
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的a不一定是1,它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗?
分析:
利用求根公式,求出方程两根,再通过计算两根的和、积,得到方程的两个根x1、x2和系数a,b,c的关系,即韦达定理,也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到,根与系数的关系由求根公式得到,因此,任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1、x2.的和与积.
①3x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0;
②5x-1=4x2;5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
①已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1,3,则b=,c=.
②已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则另一个根是,k的值是.
③若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数,则p=;若两个根互为倒数,则q=.
分析:
方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数;方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时,若方程的两根互为相反数或互为倒数,利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
④两个根均为负数的一元二次方程是()
A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=0
⑤.两根异号,且正根的绝对值较大的方程是()
A.4x2-3=0B.-3x2+5x-4=0C.0.5x2-4x-3=0D.2x2+
x-
=0
⑥.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m时方程有两个正根;当m时方程有两个负根;当m时方程有一个正根一个负根,且正根的绝对值较大.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习:
x1,x2是方程3x2-2x-4=0的两根,利用根与系数的关系求下列各式的值:
①
;②
③
;
④
;⑤
四、小结归纳
本节课应掌握:
1.韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2.运用韦达定理时,注意隐含条件:
二次项系数不为0,△≥0;
3.韦达定理的应用常见题型:
①不解方程,判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根;
②已知方程和方程的一根,求另一个根和字母系数的值;
③由给出的两根满足的条件,确定字母系数的值;
④判断两个根的符号;
不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设计
必做:
P43:
7
选做:
补充作业:
已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是
,求
的值.
教学时间:
教学课题:
22.3实际问题与一元二次方程
(1)教学课型:
新授课
教学目标:
1.使学生会列出一元二次方程解应用题,初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2.培养学生的阅读能力.
3.通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.
4.通过观察,思考,交流,进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
5.经历观察,归纳列一元二次方程的一般步骤
教学重点:
建立数学模型,找等量关系,列方程
教学难点:
找等量关系,列方程
教学过程
一、复习引入
同一元一次方程,二元一次方程(组)等一样,一元二次方程和实际问题,也有紧密的联系,本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.
二、探究新知
●探究课本30页问题1
分析:
设正方体的棱长是xdm,则一个正方体的表面积是多少?
10个呢?
等量关系是什么?
●探究课本38页问题
分析:
设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度是多少?
●某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税为利息的20%)
分析:
设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推
●课本46页
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- 22 一元 二次方程 教案