5 探究弹性势能的表达式.docx
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5探究弹性势能的表达式
5 探究弹性势能的表达式
[学习目标] 1.知道探究弹性势能表达式的思路.2.理解弹性势能的概念,会分析决定弹性势能大小的相关因素.3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法.4.领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法.
一、弹性势能
[导学探究]
(1)如图1所示,在光滑水平面上用物块向左压缩弹簧一定距离后处于静止,然后把物块释放,会看到什么现象?
说明了什么?
(物块与弹簧不连接)
图1
(2)我们在研究重力势能的时候,是从分析重力做功入手的,由此你得到什么启发?
答案
(1)弹簧会恢复原长,在弹簧恢复原长的过程中,弹力推着物块前进,即弹力对物块做功,物块具有了速度.弹簧能对物块做功,说明弹簧具有弹性势能.
(2)可以通过探究弹力做功来研究弹性势能.
[知识梳理] 对弹性势能的理解
(1)弹性势能:
发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用,也具有势能,这种势能叫做弹性势能.
(2)探究弹性势能表达式的方法
通过计算克服弹力所做的功,即拉力(或压力)所做的功来定量计算弹性势能的大小.
[即学即用] 下列物体具有弹性势能的是( )
A.下落的陨石B.海上行驶的轮船
C.凹陷的橡皮泥D.钟表中上紧的发条
答案 D
解析 钟表中上紧的发条,发条发生了弹性形变,具有弹性势能,其他物体没有弹性形变,所以无弹性势能.选项D正确.
二、探究弹性势能的表达式
[导学探究]
图2
(1)如图2所示,物块压缩弹簧的长度越大,物块被弹开的速度越大;在压缩量相同的情况下,劲度系数越大的弹簧,弹开物块的速度越大.由此可以猜测弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关?
(2)如图3所示,弹簧处于原长时,其右端位于A点.现将弹簧由A点缓慢拉到B点,使其伸长Δl(仍处于弹性限度内),思考并讨论以下问题:
图3
①弹簧的弹性势能如何变化?
弹性势能与拉力做的功有什么关系?
②拉力F是恒力吗?
怎样计算拉力的功?
③作出F-Δl图象并类比v-t图象中面积的含义,思考F-Δl图象中“面积”有何物理意义?
当Δl=x时,其表达式是怎样的?
答案
(1)与弹簧的形变量和弹簧的劲度系数有关.
(2)①弹簧的弹性势能变大.拉力做的功越多,弹簧储存的弹性势能越大且拉力做的功等于弹簧的弹性势能.
②拉力F是变力,故不能用W=FΔl计算拉力的功.若将从A到B的过程分成很多小段Δl1、Δl2、Δl3…,在各个小段上拉力可近似认为是不变的.各小段上拉力做的功分别是F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3…,拉力在整个过程中做的功W=F1Δl1+F2Δl2+F3Δl3+….
③根据胡克定律,F-Δl图象是一条过原点的倾斜直线,如图.阴影部分面积代表拉力做的功即弹性势能,当Δl=x时,Ep=
kx2,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的伸长量.
[知识梳理] 探究思路及方法
(1)猜想:
①弹性势能与弹簧的形变量有关,同一弹簧形变量越大,弹簧的弹性势能也越大.
②弹性势能与弹簧的劲度系数有关,在形变量相同时,劲度系数k越大,弹性势能越大.
(2)探究思想:
弹性势能的变化量与弹力做功相等.
(3)计算弹簧弹力做功的两种方法
①微元法:
把整个过程划分为很多小段,整个过程做的总功等于各段做功的代数和即W总=F1Δl1+F2Δl2+…+FnΔln.
②图象法:
作出弹力F与弹簧伸长量l关系的F-l图象,则弹力做的功等于F-l图象与l轴围成的面积.
[即学即用] (多选)关于弹簧的弹性势能,下列说法正确的是( )
A.弹簧越长,弹性势能就越大
B.弹簧越短,弹性势能就越小
C.在拉伸长度相同时,劲度系数k越大的弹簧,它的弹性势能越大
D.同一根弹簧在拉伸时的弹性势能可能会小于压缩时的弹性势能
答案 CD
解析 弹性势能与形变量有关,同一根弹簧形变量大的弹性势能大,故A、B错.D正确.形变量相同的不同弹簧,劲度系数k越大,弹性势能就越大,故C正确.
一、弹性势能的理解
例1 关于弹性势能,下列说法中正确的是( )
A.任何发生弹性形变的物体,都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体,一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变,就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
解析 发生弹性形变的物体的各部分之间,由于弹力作用而具有的势能,叫做弹性势能.任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能,任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变,故A、B正确;物体发生了形变,若是非弹性形变,无弹力作用,则物体就不具有弹性势能,故C错误;弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或被压缩的长度有关外,还跟弹簧的劲度系数有关,故D错误.
答案 AB
[总结提升]
1.弹性势能的系统性:
弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量,因此弹性势能具有系统性.
2.弹性势能的相对性:
弹性势能的大小与选定的零势能位置有关,对于弹簧,一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零.
注意 对于同一个弹簧,伸长和压缩相同的长度时,弹簧的弹性势能是相同的.
针对训练1 关于弹簧的弹性势能,下列说法中正确的是( )
A.当弹簧变长时,它的弹性势能一定增大
B.当弹簧变短时,它的弹性势能一定减小
C.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0,则其他长度的弹性势能均为正值
D.若选弹簧自然长度时的弹性势能为0,则伸长时弹性势能为正值,压缩时弹性势能为负值
答案 C
解析 如果弹簧原来处在压缩状态,当它变长时,它的弹性势能应该减小,当它变短时,它的弹性势能应该增大,在原长处它的弹性势能最小,A、B错;由于弹簧处于自然长度时的弹性势能最小,若选弹簧自然长度时的弹性势能为0,则其他长度时的弹性势能均为正值,C对,D错.
二、弹力做功与弹性势能变化的关系
例2 如图4所示,处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触,另一端与置于光滑地面上的物体接触,现在物体上施加一水平推力F,使物体缓慢压缩弹簧,当推力F做功100J时,弹簧的弹力做功________J,以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零,则弹簧的弹性势能为________J.
图4
解析 在物体缓慢压缩弹簧的过程中,推力F始终与弹簧弹力等大反向,所以推力F做的功等于克服弹簧弹力所做的功,即W弹=-WF=-100J.由弹力做功与弹性势能的变化关系知,弹性势能增加了100J.
答案 -100 100
[总结提升]
弹力做功与弹性势能变化的关系:
弹性势能的变化量总等于弹力对外做功的负值,表达式为W弹=-ΔEp.
(1)弹力做负功弹性势能增大.
(2)弹力做正功弹性势能减小.
注意 弹力做功和重力做功一样也和路径无关.弹性势能的变化只与弹力做功有关.
针对训练2 如图5所示,轻弹簧下端系一重物,O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置),今用手向下拉重物,第一次把它直接拉到A点,弹力做功为W1,第二次把它拉到B点后再让其回到A点,弹力做功为W2,则这两次弹力做功的关系为( )
图5
A.W1 C.W2=2W1D.W1=W2 答案 D 解析 弹力做功与路径无关,只与初、末位置有关,两次初、末位置相同,故W1=W2,D正确. 三、利用F-x图象求解变力做功的问题 例3 弹簧原长l0=15cm,受拉力作用后弹簧逐渐伸长,当弹簧伸长到长度为l1=20cm时,作用在弹簧上的力为400N,问: (1)弹簧的劲度系数k为多少? (2)在该过程中弹力做了多少功? 解析 (1)根据胡克定律F=kx得 k= = = N/m=8000N/m. (2)由于F=kx,作出F-x图象如图所示,求出图中的阴影部分面积,即为 弹力做功的绝对值,由于在伸长过程中弹力F的方向与位移x的方向相反,故弹力F在此过程中做负功,W=- ×0.05×400J=-10J. 答案 (1)8000N/m (2)-10J [方法点拨] 当力F与位移x成线性关系时,求该力做功的方法. (1)图象法: F-x图象与坐标轴x围成的面积,即为F在这段位移x上所做的功. (2)平均值法: 求出某段位移x上力的平均值 .利用W= x得出力F在这段位移x上所做的功. 1.关于弹性势能,下列说法中正确的是( ) A.弹簧处于自然状态时其本身仍具有弹性势能 B.弹簧伸长时有弹性势能,压缩时没有弹性势能 C.在弹性限度内,同一个弹簧形变量越大,弹性势能就越大 D.火车车厢底下的弹簧比自行车座底下的弹簧硬,则将它们压缩相同的长度时,火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小 答案 C 解析 弹簧处于自然状态即不发生弹性形变时,其弹性势能为零,A错;弹簧伸长和压缩时都具有弹性势能,B错;在弹性限度内,同一弹簧形变量越大,弹性势能就越大,C正确;火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大,所以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大,D错. 2.如图6所示,质量为m的物体静止在地面上,物体上面连着一个轻弹簧,用手拉住弹簧上端上移H,将物体缓缓提高h,拉力F做功WF,不计弹簧的质量,则下列说法正确的是( ) 图6 A.重力做功-mgh,重力势能减少mgh B.弹力做功-WF,弹性势能增加WF C.重力势能增加mgh,弹性势能增加FH D.重力势能增加mgh,弹性势能增加WF-mgh 答案 D 解析 可将整个过程分为两个阶段: 一是弹簧伸长到m刚要离开地面阶段,拉力克服弹力做功WF1=-W弹,等于弹性势能的增加;二是弹簧长度不变,物体上升h,拉力克服重力做功WF2=-WG=mgh,等于重力势能的增加,又由WF=WF1+WF2可知A、B、C错,D对. 3.如图7所示,轻弹簧一端与竖直墙壁相连,另一端与一质量为m的木块相连,木块放在光滑的水平面上,弹簧的劲度系数为k,弹簧处于自然状态,用水平力F缓慢拉木块,使木块前进l,求这一过程中拉力对木块做了多少功. 图7 答案 kl2 解析 解法一 缓慢拉动木块,可认为木块处于平衡状态,故拉力大小等于弹力大小,即F=kx.因该力与位移成正比,故可用平均力 = 求功. 当x=l时,W= ·l= kl2 解法二 画出力F随位移x的变化图象. 当位移为l时,F=kl,由于力F做功的大小与图象中阴影部分的面积相等, 则W= (kl)·l= kl2. 一、选择题(1~6为单项选择题,7~9为多项选择题) 1.如图1所示的几个运动过程中,物体的弹性势能增加的是( ) 图1 A.如图甲,撑杆跳高的运动员上升的过程中,杆的弹性势能 B.如图乙,人拉长弹簧的过程中,弹簧的弹性势能 C.如图丙,模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中,橡皮筋的弹性势能 D.如图丁,小球被弹簧向上弹起的过程中,弹簧的弹性势能 答案 B 2.如图2所示,小明玩蹦蹦杆,在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中,小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是( ) 图2 A.重力势能减少,弹性势能增大 B.重力势能增大,弹性势能减少 C.重力势能减少,弹性势能减少 D.重力势能不变,弹性势能增大 答案 A 解析 弹簧向下压缩的过程中,弹簧压缩量增大,弹性势能增大;重力做正功,重力势能减少,故A正确. 3.如图3所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端连一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F的作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动.在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是( ) 图3 A.弹簧的弹性势能逐渐减小 B.弹簧的弹性势能逐渐增大 C.弹簧的弹性势能先增大后减小 D.弹簧的弹性势能先减小后增大 答案 D 解析 由物体处于静止状态可知,弹簧处于压缩状态,撤去F后物体在向右运动的过程中,弹簧的弹力对物体先做正功后做负功,故弹簧的弹性势能先减小后增大. 4.一根弹簧的弹力和形变量的关系图线如图4所示,那么弹簧由伸长量为8cm到伸长量为4cm的过程中,弹力做的功和弹性势能的变化量分别为( ) 图4 A.3.6J,-3.6J B.-3.6J,3.6J C.1.8J,-1.8J D.-1.8J,1.8J 答案 C 解析 F-x图线与x轴围成的面积的数值表示弹力做的功.W= ×0.08×60J- ×0.04×30J=1.8J.弹性势能减少1.8J,故弹性势能的变化量为-1.8J,C对. 5.如图5所示,质量不计的弹簧一端固定在地面上,弹簧竖直放置,将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放,h1>h2,小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧,从开始释放小球到获得最大速度的过程中,小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中,正确的一组是( ) 图5 A.ΔE1=ΔE2,ΔEp1=ΔEp2 B.ΔE1>ΔE2,ΔEp1=ΔEp2 C.ΔE1=ΔE2,ΔEp1>ΔEp2 D.ΔE1>ΔE2,ΔEp1>ΔEp2 答案 B 解析 小球速度最大的条件是弹力等于重力,两种情况下,对应于同一位置,故ΔEp1=ΔEp2,由于h1>h2,所以ΔE1>ΔE2.B正确. 6.如图6所示,质量相等的两木块中间连有一弹簧,今用力F缓慢向上提A,直到B恰好离开地面.开始时木块A静止在弹簧上面.设开始时弹簧的弹性势能为Ep1,B刚要离开地面时,弹簧的弹性势能为Ep2,则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp说法中正确的是( ) 图6 A.Ep1=Ep2B.Ep1>Ep2 C.ΔEp>0D.ΔEp<0 答案 A 解析 开始时弹簧形变量为x1,有kx1=mg,设B离开地面时形变量为x2,有kx2=mg,由于x1=x2,所以Ep1=Ep2,ΔEp=0,A对. 7.在探究弹簧的弹性势能的表达式时,下面猜想有一定道理的是( ) A.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关 B.重力势能与物体被举起的高度h有关,所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关 C.重力势能与物体所受的重力mg大小有关,所以弹性势能很可能与弹簧的劲度系数有关 D.重力势能与物体的质量有关,所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关 答案 BC 解析 弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和弹簧的形变量有关,与弹簧的长度、质量等因素无关. 8.如图7所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放,让它自由摆下,不计空气阻力,在重物由A点摆向最低点B的过程中( ) 图7 A.重力做正功,弹力不做功 B.重力做正功,弹力做负功,弹性势能增加 C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做正功,弹力不做功 D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做功不变,弹力不做功 答案 BC 解析 用细绳拴住重物向下摆动时,重力做正功,弹力不做功,C对;用弹簧拴住重物向下摆动时,弹簧要伸长,重物轨迹不是圆弧,弹力做负功,弹性势能增加,重力做正功,且做功多,所以A、D错,B对. 9.如图8所示,小球自a点由静止自由下落,到b点与竖直放置的轻弹簧接触,到c点时弹簧被压缩到最短,不计空气阻力,则小球在a→b→c的运动过程中( ) 图8 A.小球的加速度在ab段不变,在bc段逐渐变小 B.小球的速度在bc段逐渐减小 C.小球的重力势能在a→b→c过程中不断减小 D.弹簧的弹性势能在bc段不断增大 答案 CD 解析 小球在ab段做自由落体运动,a=g不变.在bc段小球受到的重力开始大于弹力,直至重力等于弹力,此过程中,小球受到的合外力向下,且不断减小,故小球做加速度减小、速度不断增大的变加速运动;过平衡点后,小球继续压缩弹簧,受到的重力小于弹力,直至压缩弹簧最短到c点,此过程中,小球受到的合外力向上,且不断增大,故小球做加速度不断增大的变减速运动,故A、B错误.小球在a→b→c的过程中,高度越来越低,重力做正功,重力势能不断减小,故C正确.小球在bc段,弹簧压缩越来越短,形变量增大,弹力对小球做负功,弹性势能不断增大,故D正确. 二、非选择题 10.如图9所示,光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切,轻弹簧的一端固定在水平轨道的左端,OP是可绕O点转动的轻杆,且摆到某处就能停在该处,另有一小球,现在利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能. 图9 (1)还需要的器材是________、________. (2)以上测量实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量,进而转化为对________和________的直接测量. (3)为了探究弹簧的弹性势能与劲度系数和形变量的关系,除以上器材外,还准备了三个轻弹簧,所有弹簧的劲度系数均不相同.试设计记录数据的表格. 答案 (1)天平 刻度尺 (2)重力势能 小球质量 小球上升的高度 (3)设计的记录数据表格如下表所示 弹簧 劲度系数k/(N/m) 压缩量x/m 上升高度h/m 重力势能Ep/J A B C 11.如图10所示,在水平地面上竖直放置一轻质弹簧,弹簧上端与一个质量为2.0kg的木块相连.若在木块上再作用一个竖直向下的变力F,使木块缓慢向下移动0.1m时,力F做功2.5J,木块再次处于平衡状态,此时力F的大小为50N.(取g=10m/s2)求: 图10 (1)弹簧的劲度系数; (2)在木块下移0.1m的过程中弹性势能的增加量. 答案 (1)500N/m (2)4.5J 解析 (1)设木块开始静止时,弹簧的压缩量为l1,后来静止时,弹簧的压缩量为l2,由胡克定律及平衡条件得, 未施加力F时,弹力F1=mg=kl1=20N, 施加力F后,弹力F2=F+mg=kl2=70N, 且l2-l1=0.1m, 联立以上各式得k=500N/m. (2)由以上方程得l1=0.04m,l2=0.14m,根据以上数据作出F-l图象如图所示.在木块下移0.1m的过程中,弹力做负功,且W=-S阴影=- ×(20+70)×0.1J=-4.5J. 所以弹性势能的增加量ΔEp=-W=4.5J.
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