集体备课《空间几何体》.docx
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集体备课《空间几何体》
第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
一、新课标要求:
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图;
3.通过观察画出的视图与直观图
二、知识点精讲
1.柱、锥、台、球的结构特征
(1)柱
棱柱:
一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱:
以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体;
(2)锥
棱锥:
一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥:
以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
(3)台
棱台:
用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台:
用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
(4)球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。
(5)组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质:
名称
棱柱
直棱柱
正棱柱
图形
定义
有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体
侧棱垂直于底面的棱柱
底面是正多边形的直棱柱
侧棱
平行且相等
平行且相等
平行且相等
侧面的形状
平行四边形
矩形
全等的矩形
对角面的形状
平行四边形
矩形
矩形
平行于底面的截面的形状
与底面全等的多边形
与底面全等的多边形
与底面全等的正多边形
名称
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
图形
定义
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体
底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面中心
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分
由正棱锥截得的棱台
侧棱
相交于一点但不一定相等
相交于一点且相等
延长线交于一点
相等且延长线交于一点
侧面的形状
三角形
全等的等腰三角形
梯形
全等的等腰梯形
对角面的形状
三角形
等腰三角形
梯形
等腰梯形
平行于底的截面形状
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
与底面相似的多边形
与底面相似的正多边形
其他性质
高过底面中心;侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
两底中心连线即高;侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等
几种特殊四棱柱的特殊性质:
名称
特殊性质
平行六面体
底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交于一点,且被该点平分
直平行六面体
侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对角线交于一点,且被该点平分
长方体
底面和侧面都是矩形;四条对角线相等,交于一点,且被该点平分
正方体
棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相等,交于一点,且被该点平分
2.空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。
他具体包括:
(1)正视图:
物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度;
(2)侧视图:
物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度;
(3)俯视图:
物体上下方向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;
三视图画法规则
高平齐:
主视图与左视图的高要保持平齐
长对正:
主视图与俯视图的长应对正
宽相等:
俯视图与左视图的宽度应相等
3.空间几何体的直观图
(1)斜二测画法:
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
强调斜二测画法的步骤如下:
①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;
②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O’X’,O’Y’,使
=450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)。
(2)平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点。
三.典例解析
题型一 空间几何体的结构特征
【例1】下列说法正确的是( ).
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
答案 D
【训练1】(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ).
A.圆柱 B.圆锥
C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体
题型二 空间几何体的三视图
【例2】(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( ).
考向三 空间几何体的直观图
【例3】已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( ).
A.
a2 B.
a2 C.
a2 D.
a2
.
【训练3】如图,
矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是( ).
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
第二节 空间几何体的表面积和体积
一.新课标要求:
球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式
二.知识点精讲
1.多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h(S上底+S下底+
)
正棱台
(c+c′)h′
表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。
2.旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h(即πr2l)
πr2h
πh(r21+r1r2+r22)
πR3
表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径。
两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图.
(2)等积法:
等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.
三.典例解析
题型一 几何体的表面积
【例1】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).
A.48 B.32+8
C.48+8
D.80
【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,
则其侧面积等于( ).
A.
B.2 C.2
D.6
题型二 几何体的体积
【例2】?
(2011·广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).
A.18
B.12
C.9
D.6
【训练2】(2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( ).
A.
π B.
π C.
π+8 D.12π
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