概率部分MATLAB实验一随机变量.docx

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概率部分MATLAB实验一随机变量

概率部分MATLAB实验一

（随机变量及其分布）

一、实验学时

2学时

二、实验目的

1、掌握随机数的产生与操作命令

2、掌握计算概率的命令

3、掌握离散型与连续型随机变量有关的操作命令

4、理解随机变量的分布

三、实验准备

1、复习随机变量及分布函数的概念

2、复习离散型随机变量及其分布律和分布函数

3、复习连续型随机变量及其概率密度函数和分布函数

四、实验内容

1、常见离散型随机变量分布的计算及图形演示

（1）0-1分布、二项分布、泊松分布概率的计算；

（2）0-1分布、二项分布、泊松分布的分布函数的计算；

2、常见连续型随机变量分布的计算及图形演示

（1）均匀分布、指数分布、正态分布概率密度函数的计算；

（2）均匀分布、指数分布、正态分布的分布函数的计算；

3、求单个随机变量落在某个区间内的概率

4、求一个随机变量的函数的分布的计算

五、软件命令

MATLAB随机变量命令

命令名称

调用格式

说明

syms

Syms变量名1，变量名2，…

定义符号变量

sym

Sym（‘x’,…）

定义符号变量

…pdf

…pdf（参数）

计算概率密度

binopdf

Binopdf（参数）

计算二项分布的概率密度

poisspdf

poisspdf（参数）

计算泊松分布的概率密度

unifpdf

unifpdf（参数）

计算均匀分布的概率密度

exppdf

exppdf（参数）

计算指数分布的概率密度

normpdf

normpdf（参数）

计算正态分布的概率密度

…cdf

…cdf（参数）

累计分布函数

binocdf

Binocdf（参数）

计算二项分布的累计分布函数

poisscdf

poisscdf（参数）

计算泊松分布的累计分布函数

unifcdf

unifcdf（参数）

计算均匀分布的累计分布函数

expcdf

expcdf（参数）

计算指数分布的累计分布函数

normcdf

normcdf（参数）

计算正态分布的累计分布函数

…rnd

…rnd（参数）

以一定分布产生随机数

binornd

Binornd（参数）

产生二项分布的随机数

poissrnd

poissrnd（参数）

产生泊松分布的随机数

unifrnd

unifrnd（参数）

产生均匀分布的随机数

exprnd

exprnd（参数）

产生指数分布的随机数

normrnd

normrnd（参数）

产生正态分布的随机数

…inv

…inv（参数）

逆累计分布函数

binoinv

Binoinv（参数）

计算逆二项分布的分布函数

poissinv

poissinv（参数）

计算逆泊松分布的分布函数

unifinv

unifinv（参数）

计算逆均匀分布的分布函数

expinv

expinv（参数）

计算逆指数分布的分布函数

norminv

norminv（参数）

计算逆正态分布的分布函数

normstat

normstat（参数）

正态分布的均值和方差函数

plot

Plot（x1,y1,’option’,x2,y2,’option’,…）

绘制散点图

六、实验示例

（一）关于概率密度函数（或分布律）的计算

1、一个质量检验员每天检验500个零件。

如果1%的零件有缺陷，一天内检验员没有发现有缺陷零件的概率是多少？

检验员发现有缺陷零件的数量最有可能是多少？

【理论推导】设X表示检验员每天发现有缺陷零件的数量,X服从二项分布B（500,0.01）。

（1）

（2）500*1%=5

【计算机实现的命令及功能说明】

利用二项分布的概率密度函数binopdf（）计算

格式：

Y=binopdf（X,N,P）

说明：

（1）根据相应的参数N,P计算X中每个值的二项分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵时，X,N,P必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数N必须是正整数，P中的值必须在区间【0,1】上。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）P=binopdf（0,500,0.01）%结果为0.0066

（2）y=binopdf（[0:

500],500,0.01）

[x,i]=max（y）

%结果为x=0.1764,i=6（i是从0开始计算，所以此时取5）

2、一个硬盘生产商观察到在硬盘生产过程中瑕疵的出现是随机的，且平均几率是每一个4GB的硬盘中有两个瑕疵，这种几率是可以接受的。

问生产出一个没有瑕疵的硬盘的概率是多少？

【理论推导】设X表示每一个4GB的硬盘中有瑕疵的数量,X服从泊松分布P（），其中=2。

设A表示“生产出一个没有瑕疵的硬盘”这个事件。

则

【计算机实现的命令及功能说明】

利用泊松分布的概率密度函数poisspdf（）计算

格式：

Y=poisspdf（X,）

说明：

（1）根据相应的参数,计算X中每个值的泊松分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵时，X,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须是正数，X中的值必须是非负整数。

【计算机实现的具体应用过程】

P=poisspdf（0,2）%结果为0.1353

3、对于X服从【0,1】、【-1,1】上的均匀分布，请计算

（1）X=0.5对应的概率密度函数值；

（2）X=5对应的概率密度函数值；

（3）X=（0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6）对应的概率密度函数值；

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用均匀分布的概率密度函数unifpdf（）计算

格式：

Y=unifpdf（X,A,B）

说明：

（1）根据相应的参数A,B,计算X中每个值的均匀分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,A,B必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）B中参数必须大于A中的参数。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）P=unifpdf（0.5,0,1）或P=unifpdf（0.5）%结果为1

P=unifpdf（0.5,-1,1）%结果为0.5

（2）P=unifpdf（5,0,1）或P=unifpdf（5）%结果为0

P=unifpdf（5,-1,1）%结果为0

（3）x=0.1:

0.1:

0.6;

P=unifpdf（x,0,1）%结果为111111

或P=unifpdf（x）%结果为111111

x=0.1:

0.1:

0.6;P=unifpdf（x,-1,1）

%结果为0.50.50.50.50.50.5

4、对于X服从参数分别为1,2,3的指数分布，请计算

（1）X=2对应的概率密度函数值；

（2）（X,）分别取（1,1），（2,2），（3,3）对应的概率密度函数值；

（3）X=（1,2,3）对应的概率密度函数值；

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用指数分布的概率密度函数exppdf（）计算

格式：

Y=exppdf（X,）

说明：

（1）根据相应的参数,计算X中每个值的指数分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须大于0。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）y=exppdf（2,1:

3）%结果为0.13530.18390.1711或y=exppdf（2,1）;y=exppdf（2,2）;y=exppdf（2,3）

（2）x=1:

1:

3;theta=1:

1:

3;

y=exppdf（x,theta）%结果为0.36790.18390.1226

或y=exppdf（1:

3,1:

3）%结果为0.36790.18390.1226

（3）x=1:

1:

3;y=exppdf（x,1）%结果为0.36790.13530.0498

x=1:

1:

3;y=exppdf（x,2）%结果为0.30330.18390.1116

x=1:

1:

3;y=exppdf（x,3）%结果为0.23880.17110.1226

或

theta=1:

1:

3;y=exppdf（1,theta）%结果为0.36790.30330.2388theta=1:

1:

3;y=exppdf（2,theta）%结果为0.13530.18390.1711

theta=1:

1:

3;y=exppdf（3,theta）%结果为0.04980.11160.1226

请注意

（2）（3）在计算程序上的不同结果。

5、对于X服从正态分布N（mu,sigma）

（1）mu=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,sigma=2,计算X=5对应的概率密度函数值；

（2）请说明对于

（1）中的mu取何值时，X=5对应的概率密度函数值最大？

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用正态分布N（mu,sigma）的概率密度函数normpdf（）计算

格式：

Y=normpdf（X,mu,sigma）

说明：

（1）根据相应的参数mu,sigma,计算X中每个值的正态分布N（mu,sigma）概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,mu,sigma,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数sigma必须大于0。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）y=normpdf（5,0:

0.1:

0.5,2）

%结果为0.00880.00990.01120.01260.01420.0159

或mu=0:

0.1:

0.5;y=normpdf（5,mu,2）

%结果为0.00880.00990.01120.01260.01420.0159

（2）mu=[0:

0.1:

0.5];[yi]=max（normpdf（5,mu,2））;mumax=mu（i）

%结果为0.5（其实从上面的计算结果也可以看出mu=0.5时对应的概率密度值最大）

6、

（1）X服从二项分布B（500,0.01）、泊松分布P

（2）,请分别计算P（X=5）

（2）X服从【-1,1】上的均匀分布、参数为2的指数分布、正态分布N（-1,3），请分别计算x=5对应的概率密度函数值。

【理论推导】略

【计算机实现的命令及功能说明】

利用概率密度函数pdf（）计算

格式：

Y=pdf（‘name’,X,A1,A2,A3）

说明：

（1）根据相应的参数A1,A2,A3,计算X中每个值的对应的特定分布’name’的概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,A1,A2,A3,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

A1,A2,A3中的一些参数不是必须的，根据具体分布‘name’来定它们的取值情况。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）y=pdf（‘bino’,5,500,0.01）%结果为0.1764

y=pdf（‘poiss’5,2）%结果为0.0361

（2）y=pdf（‘unif’,5,-1,1）%结果为0

y=pdf（‘exp’5,2）%结果为0.0410

y=pdf（‘norm’,5,-1,3）%结果为0.0180

（二）关于概率分布函数的计算

1、如果一个足球队在一个赛季中有78场比赛，任一场比赛获胜的机会都为50%，请问：

（1）这支球队在一个赛季中获胜超过50场的概率是多少？

（2）这支球队在一个赛季中获胜不超过45场的概率是多少？

（3）这支球队在一个赛季中获胜在450至50场之间的概率是多少？

【理论推导】设X表示该球队在一个赛季中获胜的场数,X服从二项分布B（78,0.5）。

（1）

（2）

（3）

【计算机实现的命令及功能说明】

利用二项分布的概率分布函数binocdf（）计算

格式：

Y=binocdf（X,N,P）

说明：

（1）根据相应的参数N,P计算X中每个值的二项分布概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵时，X,N,P必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数N必须是正整数，P中的值必须在区间【0,1】上。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）P=1-binocdf（50,78,0.5）%结果为0.0044

（2）p=binocdf（45,78,0.5）%结果为0.9297

（3）p=binocdf（50,78,0.5）-binocdf（45,78,0.5）

-binopdf（50,78,0.5）%结果为0.0618

2、一个质量监督机构对硬盘进行随机抽样检验。

他们的原则是如果一个监督员在一个硬盘上发现的坏扇区超过6个，就将停止生产过程。

如果坏扇区的平均数（）为2，问停止生产过程的概率为多大？

【理论推导】设X表示每一个硬盘上发现的坏扇区的数量,X服从泊松分布P（），其中=2。

设A表示“停止生产过程”这个事件。

则

。

【

】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用泊松分布的分布函数poisscdf（）计算

格式：

Y=poisspdf（X,）

说明：

（1）根据相应的参数,计算X中每个值的泊松分布的分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵时，X,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须是正数，X中的值必须是非负整数。

【计算机实现的具体应用过程】

P=1-poisscdf（6,2）%结果为0.0045

3、X服从【-5,35】上的均匀分布,求

;

【理论推导】

X服从【-5,35】上的均匀分布，则

及

的值为所求。

【计算机实现的命令及功能说明】

利用均匀分布的概率分布函数unifcdf（）计算

格式：

Y=unifcdf（X,A,B）

说明：

（1）根据相应的参数A,B,计算X中每个值的均匀分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,A,B必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）B中参数必须大于A中的参数。

【计算机实现的具体应用过程】

P=unifcdf（70,-5,35）%结果为1

P=unifcdf（13,-5,35）%结果为0.45

4、对于X服从参数分别为3的指数分布，请计算

（1）X小于等于2对应的概率分布函数值；

（2）X小于2对应的概率分布函数值；

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用指数分布的概率分布函数expcdf（）计算

格式：

Y=expcdf（X,）

说明：

（1）根据相应的参数,计算X中每个值的指数分布概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须大于0。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）y=expcdf（2,3）%结果为0.4866

（2）y=expcdf（2,3）%结果为0.4866

5、对于X服从正态分布N（-1,2）,计算X小于5对应的概率分布函数值；

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用正态分布N（mu,sigma）的概率分布函数normcdf（）计算

格式：

Y=normcdf（X,mu,sigma）

说明：

（1）根据相应的参数mu,sigma,计算X中每个值的正态分布N（mu,sigma）概率密度。

（2）输入的向量或矩阵X,mu,sigma,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数sigma必须大于0。

【计算机实现的具体应用过程】

y=normcdf（5,-1,2）%结果为0.9987

6、

（1）X服从二项分布B（500,0.01）、泊松分布P

（2）,请分别计算P（X<=5）

（2）X服从【-1,1】上的均匀分布、参数为2的指数分布、正态分布N（-1,3），请分别计算x<5对应的概率分布函数值。

【理论推导】略

【计算机实现的命令及功能说明】

利用概率分布函数cdf（）计算

格式：

Y=cdf（‘name’,X,A1,A2,A3）

说明：

（1）根据相应的参数A1,A2,A3,计算X中每个值的对应的特定分布’name’的概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵X,A1,A2,A3,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

A1,A2,A3中的一些参数不是必须的，根据具体分布‘name’来定它们的取值情况。

【计算机实现的具体应用过程】

（1）y=cdf（‘bino’,5,500,0.01）%结果为0.6160

y=cdf（‘poiss’5,2）%结果为0.9834

（2）y=cdf（‘unif’,5,-1,1）%结果为1

y=cdf（‘exp’5,2）%结果为0.9179

y=cdf（‘norm’,5,-1,3）%结果为0.9772

（三）关于概率分布函数的反函数的计算

1、如果一个足球队在一个赛季中有78场比赛，任一场比赛获胜的机会都为50%，请问：

这支球队在一个赛季中至少要获胜多少场次，才能保证它们获胜的概率达到95%？

【理论推导】设X表示该球队在一个赛季中获胜的场数,X服从二项分布B（78,0.5）。

【计算机实现的命令及功能说明】

利用二项分布的逆概率分布函数binoinv（）计算

格式：

X=binoinv（Y,N,P）

说明：

（1）返回二项分布函数值大于或等于Y的最小的整数值X。

根据相应的参数N,P计算X中每个值的二项分布概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵时，Y,N,P必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数N必须是正整数，Y，P中的值必须在区间【0,1】上。

【计算机实现的具体应用过程】

X=binoinv（0.95,78,0.5）%结果为46

2、由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=50的泊松分布来描述，为了有95%以上的把握不使商品脱销，问商店在每月月底应进该种商品多少件？

【理论推导】设X表示某种商品每月的销售的数量,X服从泊松分布P（），其中=50。

则

【计算机实现的命令及功能说明】

利用泊松分布的逆概率分布函数poissinv（）计算

格式：

X=poissinv（P,）

说明：

（1）根据相应的参数,返回泊松分布函数值大于或等于P的最小的正整数X.

（2）输入的向量或矩阵时，P,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须是正数。

【计算机实现的具体应用过程】

X=poissinv（0.95,50）%结果为62

3、X服从【-1,1】上的均匀分布,

，求

【理论推导】显然，

是【-1,1】上的均匀分布的99%上侧分位数，即上0.01分位数。

则

，故得到

。

【计算机实现的命令及功能说明】

利用均匀分布的逆概率分布函数unifinv（）计算

格式：

X=unifinv（P,A,B）

说明：

（1）根据相应的参数A,B,计算P中概率值的连续均匀分布逆概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵P,A,B必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）B中参数必须大于A中的参数。

标准连续均匀分布中A=0,B=1.

【计算机实现的具体应用过程】

X=unifinv（0.99,-1,1）%结果为0.98

4、对于X服从参数分别为30的指数分布，

，求

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用指数分布的逆概率分布函数expinv（）计算

格式：

X=expinv（P,）

说明：

（1）根据相应的参数,计算P中概率值的指数分布逆概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵P,,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数必须大于0,P的值必须在【0,1】上。

【计算机实现的具体应用过程】

X=expinv（0.68,30）%结果为34.1830

5、对于X服从标准正态分布N（0,1）,

，求

【理论推导】

【计算机实现的命令及功能说明】

利用正态分布N（mu,sigma）的逆概率分布函数norminv（）计算

格式：

X=norminv（P,mu,sigma）

说明：

（1）根据相应的参数mu,sigma,计算P中概率值的正态分布N（mu,sigma）逆概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵P,mu,sigma,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

（3）参数sigma必须大于0，P的值必须在【0,1】上。

【计算机实现的具体应用过程】

X=norminv（[0.025,0.975],0,1）%结果为-1.96001.9600

或X=norminv（[0.01,0.96],0,1）%结果为-2.32631.7507

注意：

说明本题结果不唯一；但是，第一个区间比第二个要小。

6、X服从【-1,1】上的均匀分布、参数为2的指数分布、正态分布N（-1,3），且

，分别求

【理论推导】略

【计算机实现的命令及功能说明】

利用逆概率分布函数icdf（）计算

格式：

X=icdf（‘name’,P,A1,A2,A3）

说明：

（1）根据相应的参数A1,A2,A3,计算P中概率值的对应的特定分布’name’的逆概率分布函数值。

（2）输入的向量或矩阵P,A1,A2,A3,必须形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维数的常数矩阵或数组。

A1,A2,A3中的一些参数不是必须的，根据具体分布‘name’来定它们的取值情况。

【计算机实现的具体应用过程】

X=icdf（‘unif’,0.68,-1,1）%结果为0.3600

X=icdf（‘exp’,0.68,2）%结果为2.2789

X=icdf（‘norm’,0.68,-1,3）%结果为0.4031

（四）关于随机数发生函数的计算

1、产生参数为20，概率为0.25的二项分布的随机数。

（1）产生1个随机数；

（2）产生5个随机数；

（3）产生15个（3行5列）的随机数

【理论推导】设X服从二项分布B（20,0.25）。

【计算机实现的命令及功能说明】

利用二项分布的随机数函数binornd（）计算

格式：

R=binornd（N,P）

R=binornd（N,P,mm）

R=binornd（N,P,mm,nn）

说明：

（1）R=binornd（N,P），生成一个服从参数N,P的二项分布的随机数；输入的向量或矩阵时，N,P必须形式相同，输出R也和它们形式相同；如果其中有一个按标量输入，则自动扩展成和其它输入具有相同维