傅里叶变换参考.docx
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傅里叶变换参考
快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。
它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。
傅里叶变换属于谐波分析。
傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
卷积定理指出:
傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段。
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统,原因是运算量太大(涉及到复数运算),比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n矩阵Fn,需要n×n次乘法。
若n=1024,则是104,8576次乘法运算。
哇,这么多呀!
什么概念呢?
如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算,那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算,对于大多数实时系统,这个处理时间实在太长。
于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。
虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量,但对于一般的单片机而言,处理FFT运算还是力不从心。
主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算,要分开实部和虚部分别计算这显然是很繁琐的事情。
可能会有些初学者会对此表示怀疑,因为我们在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。
但是那只是是C++封装了对复数处理的类,直接调用就可以运行。
在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间,多一至两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。
因此我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法,根据以上的简单介绍可以得出以下两点:
1.处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作,因为复数运算要多次查表相乘才能实现。
2.间接寻址,可以实现增/减1个变址量,方便各种查表方法。
FFT要对原始序列进行反序排列,处理器要有反序间接寻址的能力。
所以,在数字信号的分析处理应用中,DSP比其它的处理器有绝对的优势,因为DSP完全具备以上条件。
这就是单片机(51系列,AVR,PIC等等)或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。
以下是快速傅立叶变换FFT的C语言程序:
#include
#include
/*********************************************************************
快速傅里叶变换C函数
函数简介:
此函数是通用的快速傅里叶变换C语言函数,移植性强,以下部分不依
赖硬件。
此函数采用联合体的形式表示一个复数,输入为自然顺序的复
数(输入实数是可令复数虚部为0),输出为经过FFT变换的自然顺序的
复数
使用说明:
使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变,FFT_N的
应该为2的N次方,不满足此条件时应在后面补0
函数调用:
FFT(s);
**********************************************************************/
#include
#definePI3.1415926535897932384626433832795028841971//定义圆周率值
#defineFFT_N128//定义傅里叶变换的点数
structcompx{floatreal,imag;};//定义一个复数结构
structcompxs[FFT_N];//FFT输入和输出:
从S[1]开始存放,根据大小自己定义
/*******************************************************************
函数原型:
structcompxEE(structcompxb1,structcompxb2)
函数功能:
对两个复数进行乘法运算
输入参数:
两个以联合体定义的复数a,b
输出参数:
a和b的乘积,以联合体的形式输出
*******************************************************************/
structcompxEE(structcompxa,structcompxb)
{
structcompxc;
c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag;
c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real;
return(c);
}
/*****************************************************************
函数原型:
voidFFT(structcompx*xin,intN)
函数功能:
对输入的复数组进行快速傅里叶变换(FFT)
输入参数:
*xin复数结构体组的首地址指针,struct型
*****************************************************************/
voidFFT(structcompx*xin)
{
intf,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0;
structcompxu,w,t;
nv2=FFT_N/2;//变址运算,即把自然顺序变成倒位序,采用雷德算法
nm1=FFT_N-1;
for(i=0;i { if(i { t=xin[j]; xin[j]=xin[i]; xin[i]=t; } k=nv2;//求j的下一个倒位序 while(k<=j)//如果k<=j,表示j的最高位为1 { j=j-k;//把最高位变成0 k=k/2;//k/2,比较次高位,依次类推,逐个比较,直到某个位为0 } j=j+k;//把0改为1 } { intle,lei,ip;//FFT运算核,使用蝶形运算完成FFT运算 f=FFT_N; for(l=1;(f=f/2)! =1;l++)//计算l的值,即计算蝶形级数 ; for(m=1;m<=l;m++)//控制蝶形结级数 {//m表示第m级蝶形,l为蝶形级总数l=log (2)N le=2<<(m-1);//le蝶形结距离,即第m级蝶形的蝶形结相距le点 lei=le/2;//同一蝶形结中参加运算的两点的距离 u.real=1.0;//u为蝶形结运算系数,初始值为1 u.imag=0.0; w.real=cos(PI/lei);//w为系数商,即当前系数与前一个系数的商 w.imag=-sin(PI/lei); for(j=0;j<=lei-1;j++)//控制计算不同种蝶形结,即计算系数不同的蝶形结 { for(i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le)//控制同一蝶形结运算,即计算系数相同蝶形结 { ip=i+lei;//i,ip分别表示参加蝶形运算的两个节点 t=EE(xin[ip],u);//蝶形运算,详见公式 xin[ip].real=xin[i].real-t.real; xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag; xin[i].real=xin[i].real+t.real; xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag; } u=EE(u,w);//改变系数,进行下一个蝶形运算 } } } } /************************************************************ 函数原型: voidmain() 函数功能: 测试FFT变换,演示函数使用方法 输入参数: 无 输出参数: 无 ************************************************************/ voidmain() { inti; for(i=0;i { s[i].real=sin(2*3.141592653589793*i/FFT_N);//实部为正弦波FFT_N点采样,赋值为1 s[i].imag=0;//虚部为0 } FFT(s);//进行快速傅里叶变换 for(i=0;i s[i].real=sqrt(s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag); while (1); } #include #include /********************************************************************* 快速傅里叶变换C程序包 函数简介: 此程序包是通用的快速傅里叶变换C语言函数,移植性强,以下部分不依 赖硬件。 此程序包采用联合体的形式表示一个复数,输入为自然顺序的复 数(输入实数是可令复数虚部为0),输出为经过FFT变换的自然顺序的 复数.此程序包可在初始化时调用create_sin_tab()函数创建正弦函数表, 以后的可采用查表法计算耗时较多的sin和cos运算,加快可计算速度 使用说明: 使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变,FFT_N的 应该为2的N次方,不满足此条件时应在后面补0。 若使用查表法计算sin值和 cos值,应在调用FFT函数前调用create_sin_tab()函数创建正弦表 函数调用: FFT(s); **********************************************************************/ #include #defineFFT_N128//定义福利叶变换的点数 #definePI3.1415926535897932384626433832795028841971//定义圆周率值 structcompx{floatreal,imag;};//定义一个复数结构 structcompxs[FFT_N];//FFT输入和输出: 从S[0]开始存放,根据大小自己定义 floatSIN_TAB[FFT_N/2];//定义正弦表的存放空间 /******************************************************************* 函数原型: structcompxEE(structcompxb1,structcompxb2) 函数功能: 对两个复数进行乘法运算 输入参数: 两个以联合体定义的复数a,b 输出参数: a和b的乘积,以联合体的形式输出 *******************************************************************/ structcompxEE(structcompxa,structcompxb) { structcompxc; c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag; c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real; return(c); } /****************************************************************** 函数原型: voidcreate_sin_tab(float*sin_t) 函数功能: 创建一个正弦采样表,采样点数与傅里叶变换点数相同 输入参数: *sin_t存放正弦表的数组指针 输出参数: 无 ******************************************************************/ voidcreate_sin_tab(float*sin_t) { inti; for(i=0;i sin_t[i]=sin(2*PI*i/FFT_N); } /****************************************************************** 函数原型: voidsin_tab(floatpi) 函数功能: 采用查表的方法计算一个数的正弦值 输入参数: pi所要计算正弦值弧度值,范围0--2*PI,不满足时需要转换 输出参数: 输入值pi的正弦值 ******************************************************************/ floatsin_tab(floatpi) { intn; floata; n=(int)(pi*FFT_N/2/PI); if(n>=0&&n a=SIN_TAB[n]; elseif(n>=FFT_N/2&&n a=-SIN_TAB[n-FFT_N/2]; returna; } /****************************************************************** 函数原型: voidcos_tab(floatpi) 函数功能: 采用查表的方法计算一个数的余弦值 输入参数: pi所要计算余弦值弧度值,范围0--2*PI,不满足时需要转换 输出参数: 输入值pi的余弦值 ******************************************************************/ floatcos_tab(floatpi) { floata,pi2; pi2=pi+PI/2; if(pi2>2*PI) pi2-=2*PI; a=sin_tab(pi2); returna; } /***************************************************************** 函数原型: voidFFT(structcompx*xin,intN) 函数功能: 对输入的复数组进行快速傅里叶变换(FFT) 输入参数: *xin复数结构体组的首地址指针,struct型 输出参数: 无 *****************************************************************/ voidFFT(structcompx*xin) { intf,m,nv2,nm1,i,k,l,j=0; structcompxu,w,t; nv2=FFT_N/2;//变址运算,即把自然顺序变成倒位序,采用雷德算法 nm1=FFT_N-1; for(i=0;i { if(i { t=xin[j]; xin[j]=xin[i]; xin[i]=t; } k=nv2;//求j的下一个倒位序 while(k<=j)//如果k<=j,表示j的最高位为1 { j=j-k;//把最高位变成0 k=k/2;//k/2,比较次高位,依次类推,逐个比较,直到某个位为0 } j=j+k;//把0改为1 } { intle,lei,ip;//FFT运算核,使用蝶形运算完成FFT运算 f=FFT_N; for(l=1;(f=f/2)! =1;l++)//计算l的值,即计算蝶形级数 ; for(m=1;m<=l;m++)//控制蝶形结级数 {//m表示第m级蝶形,l为蝶形级总数l=log (2)N le=2<<(m-1);//le蝶形结距离,即第m级蝶形的蝶形结相距le点 lei=le/2;//同一蝶形结中参加运算的两点的距离 u.real=1.0;//u为蝶形结运算系数,初始值为1 u.imag=0.0; //w.real=cos(PI/lei);//不适用查表法计算sin值和cos值 //w.imag=-sin(PI/lei); w.real=cos_tab(PI/lei);//w为系数商,即当前系数与前一个系数的商 w.imag=-sin_tab(PI/lei); for(j=0;j<=lei-1;j++)//控制计算不同种蝶形结,即计算系数不同的蝶形结 { for(i=j;i<=FFT_N-1;i=i+le)//控制同一蝶形结运算,即计算系数相同蝶形结 { ip=i+lei;//i,ip分别表示参加蝶形运算的两个节点 t=EE(xin[ip],u);//蝶形运算,详见公式 xin[ip].real=xin[i].real-t.real; xin[ip].imag=xin[i].imag-t.imag; xin[i].real=xin[i].real+t.real; xin[i].imag=xin[i].imag+t.imag; } u=EE(u,w);//改变系数,进行下一个蝶形运算 } } } } /************************************************************ 函数原型: voidmain() 函数功能: 测试FFT变换,演示函数使用方法 输入参数: 无 输出参数: 无 ************************************************************/ voidmain() { inti; create_sin_tab(SIN_TAB); for(i=0;i { s[i].real=sin(2*3.141592653589793*i/FFT_N);//实部为正弦波FFT_N点采样,赋值为1 s[i].imag=0;//虚部为0 } FFT(s);//进行快速傅里叶变换 for(i=0;i s[i].real=sqrt(s[i].real*s[i].real+s[i].imag*s[i].imag); while (1); } #include #include /********************************************************************* 快速傅里叶变换C程序包 函数简介: 此程序包是通用的快速傅里叶变换C语言函数,移植性强,以下部分不依 赖硬件。 此程序包采用联合体的形式表示一个复数,输入为自然顺序的复 数(输入实数是可令复数虚部为0),输出为经过FFT变换的自然顺序的 复数.此程序包可在初始化时调用create_sin_tab()函数创建正弦函数表, 以后的可采用查表法计算耗时较多的sin和cos运算,加快可计算速度.与 Ver1.1版相比较,Ver1.2版在创建正弦表时只建立了1/4个正弦波的采样值, 相比之下节省了FFT_N/4个存储空间 使用说明: 使用此函数只需更改宏定义FFT_N的值即可实现点数的改变,FFT_N的 应该为2的N次方,不满足此条件时应在后面补0。 若使用查表法计算sin值和 cos值,应在调用FFT函数前调用create_sin_tab()函数创建正弦表 函数调用: FFT(s); 时间: 2010-2-20 版本: Ver1.2 参考文献: **********************************************************************/ #include #defineFFT_N128//定义傅里叶变换的点数 #definePI3.1415926535897932384626433832795028841971//定义圆周率值 structcompx{floatreal,imag;};//定义一个复数结构 structcompxs[FFT_N];//FFT输入和输出: 从S[0]开始存放,根据大小自己定义 floatSIN_TAB[FFT_N/4+1];//定义正弦表的存放空间 /******************************************************************* 函数原型: structcompxEE(structcompxb1,structcompxb2) 函数功能: 对两个复数进行乘法运算 输入参数: 两个以联合体定义的复数a,b 输出参数: a和b的乘积,以联合体的形式输出 *******************************************************************/ structcompxEE(structcompxa,structcompxb) { structcompxc; c.real=a.real*b.real-a.imag*b.imag; c.imag=a.real*b.imag+a.imag*b.real; return(c); } /****************************************************************** 函数原型: voidcreate_sin_tab(float*sin_t) 函数功能: 创建一个正弦采样表,采样点数与傅里叶变换点数相同 输入参数: *sin_t存放正弦表的数组指针 输出参数: 无 ******************************************************************/ voidcreate_sin_tab(float*sin_t) { inti; for(i=0;i<=FFT_N/4;i++) sin_t[i]=sin(2*PI*i/FFT_N); } /**********************************************************
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