练习:
1、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
π
<C<
3
π
b
且=
2
a-b
sin2C
。
sinA-sin2C
(1)判断△ABC的性状;
(2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范围.
解:
(1)由
bsin2C
=及正弦定理得sinB=sin2C,∴B=2C,且B+2C=π,
a-bsinA-sin2C
ππ2
若B=2C,<C<π<B<π,B+C>π(舍);∴B+2C=π,则A=C,∴△ABC为等腰三
,∴
323
角形.
2
2+c2+2ac·cosB=4,∴cosB=2-aπ
(2)∵|BA+BC|=2,∴a
2(∵a=c),而cosB=-cos2C,<
a3
C<
π
,∴
2
12<4,又BA·BC=accosB=2-a2,∴BA·BC∈(2
<cosB<1,∴1<a,1).
233
2B
a+c
=,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()2、在△ABC中,cos
22c
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角
三角形
2Ba+ccosB+1a+ca
解析:
∵cos,∴cosB=
22c22cc
=,∴=,
∴
2+c2-b2
a
=
2ac
a
c
,∴a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.答
2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.答
案:
B
3、在ABC中,sin(C-A)=1,sinB=
1
3
。
(I)求sinA的值;(II)设AC=6,求ABC的面积。
解:
(I)由sin(CA)1,CA,知
CA。
2
又ABC,所以2AB,即2,0.
ABA
224
故
213
cos2AsinB,12sinA,sinA.
33
(II)由(I)得:
6
cosA.
3
又由正弦定理,得:
BCACsinA
BCAC32,
sinAsinBsinB
所以
11
SACBCsinCACBCcosA32.
ABC
22
2AB7
4.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且
5.n4isocs2C.
22
(Ⅰ)求角C的大小;
3
(Ⅱ)求sinAsinB的最大值.3
6.在ABC中,a、、b分c别为内角A、、BC的对边,且
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC
2
(Ⅰ)求A的大小;3
.
(Ⅱ)若sinBsinC1,试判断ABC的形状.等腰三角形
6.(2012陕西)在ABC中,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若
2222
abc,则cosC的
最小值为(C)
A.
3
2
B.
2
2
C.
1
2
D.
1
2
7.(2014新标1)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2,且
(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为.
【解析】由a2且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,即
(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,由及正弦定理得:
(ab)(ab)(cb)c∴
222
bcabc,故
cosA
2221
bca
2bc2
,∴
0
A60,∴
224
bcbc
22
4bcbcbc,∴
1
SbcsinA3,
ABC
2
8.(2012安徽文)设ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且有
2siBncAosAsinCcoAsC
(Ⅰ)求角A的大小;学(II)若b2,c1,D为BC的中点,求AD的长。
【答案】(Ⅰ)
3
;(II)
7
2
9.(2014新标2文)四边形ABCD的内角A与C互补,AB1,BC3,CDDA2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
【答案】(I)
0
C60,BD7。
(Ⅱ)23
10(.2013湖北)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A3cos(BC)1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S53,b5,求sinBsinC的值.
【简解】(Ⅰ)由oc2s(o3scA)1BC,得
2
2osc3csoA20A,解得
cos
1
A或cosA2
2
(舍去).
因为0Aπ,所以
π
A.
3
(Ⅱ)由
1133
SbcsinAbcbc53,得bc20.又b5,知c4.
2224
由余弦定理得
2222cos25162021,
abcbcA故a21.
又由正弦定理得
bcbc
2
sinBsinCsinAsinAsinA
2
aaa
2035
2147
.
11.(2013江西)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知cosC+(cosA-3
sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
π
【简解】
(1)由已知sinAsinB-3sinAcosB=0,sinB-3cosB=0,tanB=3,B=
.
3
2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3a+c
(2)b
2
2=1
(a+c)
4
2=1,等号可以成立
,等号可以成立
4
∴b≥
1
10.又a+c>b,∴b<1,∴
1
2
≤b<1.
2A-B
12.(2013四川)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos
13.cosB-sin(A
2
-B)sinB+cos(A+C)=-
3→→
在BC
5.
(1)求cosA的值;
(2)若a=42,b=5,求向量BA
方向
上的投影.
2A-B
【简解】
(1)由2cos
2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-
3
5
,得
[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-
3
5
,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-
3
.
5
则cos(A-B+B)=-
3
,即cosA=-
5
3
5.
(2)由cosA=-
3
5
,04
5
,由正弦定理,有
a
=
sinA
bbsinA
,所以,sinB==
sinBa
2
.
2
π
由题知a>b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(42)
2=52+c2-2×5c×-
4
3
5
,
→→→
解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA在BC方向上的投影为|BA
|cosB=
2
2
13.(2013新标2)△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
【简解】
(1)sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.sinB=cosB.
又B∈(0,π),所以B=
π
4.
(2)△ABC的面积S=
1
2
acsinB=
22+c2-2accosπ
ac.由已知及余弦定理得4=a.
44
又a2+c2≥2ac,故ac≤
2+c2≥2ac,故ac≤
4
,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为
2-2
2+1.
14、(2015年新课标2文)△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.
(I)求
sin
sin
B
C
;(II)若BAC60,求B.
1、已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且
22
2Sabc,则tanC等于
()
A.
3
4
B.
4
3
C.
4
3
D.
3
4
【答案】C由
22
2Sabc得
222
2Sab2abc,即
1
222
2absinCab2abc,所以
2
22
asbinC2ab,a又b
222sin2sin
abcabCabC
cosC1
2ab2ab2
所以
sCin
cCos1,即
2
CCC
2
2cossincos
222
C
所以tan2
2
C
2tan
224
2
即2
tanC
C
123
2
1tan
2
选C.
2、若三角形ABC的内角满足sinA2sinB2sinC,则cosC的最小值是.
【解析】
cosC
2
a
a
2b
3
1
2
3
1
2
2
2
2
2
2
a
b
(
)
a
b
ab
a
2
2
b
c
2
4
2
2
4
2
2ab2ab2ab2ab
2
b
2
4
2
3
4
a
2
1
2
2
b
262
2ab44
3、在△ABC中,D为BC边上一点,BAD, CAD,
25310
cos,cos.
510
(1)求BAC的大小;
(2)当D为BC中点时,求
AC
AD
的值.
解:
(1)由已知,
sin1
2
cos
5
5
,
sin
1
2
cos
10
10
cosBACcos()coscossinsin
253
5
10
10
5
5
10
10
2
2
∵BAC(0,)∴
BAC。
4
(2)
BDAD
ABD中,
(1)
sinsinB
BCAC
ABC中,
(2)
sin()sinB
BD
1
2
BC
(
2)
(1)
AC
AD
BC
sin(
)
sin
BD
2sin25
sin()5
2
2
10
5
4、已知函数f(x)msinx2cosx(m0)的最大值为2.
(1)求函数f(x)在[0,]上的单调递减区间;
(2)△ABC
中,()()46sinsin
fAfBAB,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且C=60,c=3,
44求△ABC的面积.
222.5、在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且abc3bc
(Ⅰ)求A;(Ⅱ)设a3,S为△ABC的面积,求S3cosBcosC的最大值,并指
出此时B的值.
答案:
(1)
5
A
(2)
6
BC,最大值3
12